Correction des exercices 18 à 20 — Loi de composition interne
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Les tableaux de lois, les propriétés de l’exponentielle complexe et la composition de fonctions illustrent plusieurs façons de reconnaître un morphisme. Certaines formulations nécessitent aussi une vérification préalable des ensembles et des paramètres, afin de ne pas attribuer à une application des propriétés qui n’ont pas de sens sur le domaine annoncé.
Exercice 18
On considère \(E=\{1,2,3,4\}\) et \(F=\{a,b,c,d,e\}\), munis de deux lois \(*\) et \(T\) définies par les tables suivantes :
1) Trouver les neutres. 2) On définit \(f:E\to F\) par \(f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=b\). Étudier injectivité, surjectivité, morphisme, image du neutre et neutre de \(f(E)\).
Un morphisme vérifie \(f(x*y)=f(x)Tf(y)\). Sa propriété de transport du neutre concerne d’abord l’image \(f(E)\), qui peut être strictement plus petite que \(F\).
Question 1 — Neutres des deux tables
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Dans une table, un neutre doit reproduire les éléments sur sa ligne et sur sa colonne. Ici, la ligne et la colonne de \(1\) reproduisent \(1,2,3,4\). De même, la ligne et la colonne de \(a\) reproduisent \(a,b,c,d,e\).
Neutres : \(1\) pour \((E,*)\), et \(a\) pour \((F,T)\).
Une ligne seule ne garantit qu’une identité d’un seul côté ; il faut vérifier également la colonne.
Question 2.a — Injectivité et surjectivité de \(f\)
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L’application est constante : tous les éléments de \(E\) ont pour image \(b\). En particulier, \(f(1)=f(2)\) alors que \(1\neq2\), donc \(f\) n’est pas injective.
Son image est \(f(E)=\{b\}\), strictement incluse dans \(F\) : elle n’est pas surjective.
\(f\) n’est ni injective ni surjective.
Question 2.b — Morphisme
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Pour tous \(x,y\in E\), on a \(f(x*y)=b\), puisque \(x*y\in E\). D’autre part :
comme le montre la case située à l’intersection de la ligne \(b\) et de la colonne \(b\).
Oui : \(f\) est un morphisme, bien qu’elle ne soit pas bijective.
Question fréquente. Un morphisme doit-il toujours être injectif ?
Non. L’injectivité est exigée pour un isomorphisme, pas pour un morphisme quelconque.
Question 2.c — Image du neutre
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Le neutre de \((E,*)\) est \(1\), et \(f(1)=b\).
Question 2.d — Neutre de l’image et neutre de \(F\)
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On a \(f(E)=\{b\}\). Puisque \(bTb=b\), l’élément \(b\) est neutre pour la loi induite sur ce singleton.
Cependant, le neutre de tout \(F\) est \(a\), et \(a\neq b\).
Neutre de \(f(E)\) : \(b\) ; neutre de \(F\) : \(a\).
Ne pas affirmer qu’un morphisme non surjectif transporte nécessairement le neutre vers celui de l’ensemble d’arrivée tout entier.
Exercice 19
On considère \(F:\mathbb C\to\mathbb C^*\), définie pour \(z=x+iy\) par \(F(z)=e^x(\cos y+i\sin y)\). L’exercice porte sur le module, l’argument, la surjectivité, l’injectivité et les morphismes.
La forme exponentielle complexe permet de calculer le module et l’argument. Les propriétés d’un morphisme doivent respecter la loi cible : l’exponentielle transforme l’addition en multiplication, et non en addition.
Question 1 — Module et argument
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La formule donne directement \(|F(z)|=e^x\). Par conséquent :
Pour l’argument, \(y\) est déterminé seulement à un multiple entier de \(2\pi\) près :
Le module détermine \(x\) ; un argument détermine \(y\) modulo \(2\pi\).
Question fréquente. Peut-on retrouver une valeur unique de \(y\) grâce à l’argument ?
Non, les nombres \(y\) et \(y+2k\pi\) produisent le même complexe pour tout entier \(k\).
Question 2 — Surjectivité
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Soit \(w\in\mathbb C^*\). Écrivons \(w=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), avec \(r>0\). Choisissons \(z=\ln r+i\theta\). Alors :
\(F\) est surjective sur \(\mathbb C^*\).
Question 3 — Injectivité
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Nous avons \(F(0)=1\) et \(F(2\pi i)=1\), alors que \(0\neq 2\pi i\).
\(F\) n’est pas injective.
Une périodicité fournit immédiatement deux antécédents distincts d’une même valeur.
Question 4 — Égalité additive proposée
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L’énoncé demande de montrer \(F(z+z\prime)=F(z)+F(z\prime)\). Cette égalité est fausse : en prenant \(z=z\prime=0\), on obtient :
La formule additive demandée n’est pas valable.
L’identité effectivement satisfaite par l’application est une identité multiplicative, démontrée à la question suivante.
Question 5 — Morphisme de \((\mathbb C,+)\) vers \((\mathbb C^*,\times)\)
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Pour \(z=x+iy\) et \(z\prime=x\prime+iy\prime\), les formules d’addition trigonométriques donnent :
\(F\) est un morphisme de la loi additive vers la multiplication.
Question fréquente. Quel est le lien entre cette identité et la question 4 ?
C’est le produit, et non la somme, qui apparaît. Cette distinction empêche de confondre les deux lois dans la définition du morphisme.
Question 6 — Image d’un réel
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Si \(x\in\mathbb R\), alors \(F(x)=e^x>0\).
\(F(x)\in\mathbb R_+^*\).
Question 7 — Restriction à un ensemble de nombres imaginaires
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L’énoncé considère \(I=\{ix\mid x\in\mathbb R^*\}\) et \(U=\{w\in\mathbb C\mid |w|=1\}\). Pour \(ix\in I\), on a :
Ainsi \(F(I)\subset U\). En revanche, \(I\) n’est pas stable pour l’addition : \(i+(-i)=0\notin I\). L’expression « morphisme de \((I,+)\) » n’est donc pas valide comme énoncée.
Avec l’ensemble corrigé \(i\mathbb R=\{ix\mid x\in\mathbb R\}\), stable pour l’addition, l’application restreinte prend ses valeurs dans \(U\) et vérifie :
La restriction à \(i\mathbb R\) est un morphisme de \((i\mathbb R,+)\) vers \((U,\times)\).
Exercice 20
On étudie une famille d’applications de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R^2\), notée \(f_a\), pour \(a\neq0\), ainsi que leur composition. La formule proposée comporte un second dénominateur \(b\), bien qu’aucun \(b\) ne soit défini à cet endroit.
La formule mathématiquement cohérente avec l’indice de l’application et les questions de composition est \(f_a(x,y)=(ax,y/a)\), pour \(a\in\mathbb R^*\).
Question préalable — Préciser la famille
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La notation \(f_a(x,y)=(ax,y/b)\) ne détermine pas une application lorsque seul \(a\) est donné. Pour traiter la famille dépendant du paramètre \(a\), on considère explicitement :
Les réponses suivantes concernent cette formulation cohérente de la famille.
Question 1 — Bijectivité de \(f_a\)
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Soit \((u,v)\in\mathbb R^2\). Résoudre \(f_a(x,y)=(u,v)\) revient à résoudre \(ax=u\) et \(y/a=v\). Comme \(a\neq0\) :
Ces valeurs sont uniques et donnent effectivement un antécédent. L’application réciproque est donc \(f_{1/a}\).
\(f_a\) est bijective.
Question 2.a — Composition de deux applications
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Pour \(a,b\in\mathbb R^*\), calculons sur \((x,y)\) :
Question 2.b — Stabilité de la famille
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Si \(a,b\neq0\), alors \(ab\neq0\), donc \(f_{ab}\) appartient encore à \(\mathcal E=\{f_c\mid c\in\mathbb R^*\}\).
La composition est une loi interne sur \(\mathcal E\).
Question 3.a — Isomorphisme
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On pose \(\varphi:\mathbb R^*\to\mathcal E\), \(\varphi(a)=f_a\). Par définition, elle est surjective. Si \(f_a=f_b\), leur première coordonnée évaluée en \((1,0)\) donne \(a=b\) : elle est injective.
Enfin :
\(\varphi\) est un isomorphisme de \((\mathbb R^*,\times)\) vers \((\mathcal E,\circ)\).
Question 3.b — Propriétés de la composition dans la famille
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L’isomorphisme transporte les propriétés de la multiplication : associativité, commutativité, neutre et existence des symétriques.
La composition sur \(\mathcal E\) est associative et commutative, de neutre \(f_1\), et tout élément y est symétrisable.
Question fréquente. La composition est-elle toujours commutative entre applications ?
Non. Elle l’est ici pour cette famille précise grâce à \(f_a\circ f_b=f_{ab}=f_{ba}=f_b\circ f_a\).
À retenir
Un morphisme doit conserver la loi des deux structures considérées. Son image peut avoir un neutre différent de celui de l’ensemble d’arrivée. Pour une exponentielle complexe, la somme devient un produit. Enfin, la famille \(f_a\) offre une situation où la composition se traduit exactement par la multiplication des paramètres.
Parcours Maths Maroc — PMM — Professeur Hammou Boudraa
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