Correction des exercices 20 à 21 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid
2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application
Calcul des limites sous la forme d’un taux d’accroissement et réinvestissement des dérivées usuelles.
Avant de transformer un quotient, on calcule les limites de son numérateur et de son dénominateur. Si le dénominateur a une limite non nulle, la continuité suffit. Si les deux s’annulent, on cherche une expression de la forme \(\frac{(F(x)-F(a))}{(x-a)}\).
La limite vaut alors \(F'(a)\), à condition de justifier la dérivabilité en a. Un facteur constant dans le dénominateur doit être conservé. L’exercice 21 propose aussi un encadrement pour une limite trigonométrique plus délicate.
Si F est dérivable en a, la définition du nombre dérivé donne :
\[\lim_{x\to a}\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=F'(a).\]Vérifier la valeur de F(a), la dérivabilité en a et les éventuels facteurs constants.
Exercice 20 — Limites par le nombre dérivé
Question 1
Reconnaître le taux d’accroissement en 1 de la puissance composée ; vérifier d’abord la valeur de cette fonction en 1.
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La fonction \(F:x\mapsto(2x-1)^{15}\) est dérivable sur R et \(F(1)=1\). Le quotient proposé est donc exactement un taux d’accroissement en 1.
\[F'(x)=15(2x-1)^{14}\times2=30(2x-1)^{14}.\]Par définition du nombre dérivé :
\[\boxed{\lim_{x\to1}\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=F'(1)=30}.\]Question 2
Vérifier que g s’annule en \(\frac{\pi}{3}\), puis extraire le facteur 3 du dénominateur avant d’utiliser g′.
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On calcule d’abord \(g(\frac{\pi}{3})=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0\). Le dénominateur se réécrit \(3x-\pi=3(x-\frac{\pi}{3})\). On fait ainsi apparaître le nombre dérivé de g.
\[g'(x)=-6\cos x\sin x-2\sin x\cos x=-8\sin x\cos x.\]\[\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{g(x)}{3x-\pi}=\frac{1}{3}g'(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{3}\left(-8\times\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{2}\right)=\boxed{-\frac{2\sqrt3}{3}}.\]Question 3
Vérifier que h(2)=0 et que les deux racines sont dérivables au voisinage de 2 ; reconnaître ensuite h′(2).
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Les deux radicandes sont strictement positifs au voisinage de 2 : h y est dérivable. De plus, \(h(2)=\sqrt[3]8-\sqrt4=0\). Le quotient est donc \(\frac{(h(x)-h(2))}{(x-2)}\).
\[h'(x)=\frac5{3(\sqrt[3]{5x-2})^2}-\frac1{2\sqrt{x+2}}.\]\[\boxed{\lim_{x\to2}\frac{h(x)}{x-2}=h'(2)=\frac5{12}-\frac14=\frac16}.\]Exercice 21 — Dix limites trigonométriques et algébriques
Question 1
Identifier la différence de valeurs de x⁴ en 5 ; le dénominateur correspond au déplacement x−5.
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Posons \(F(x)=x^4\). Comme \(F(5)=625\), le quotient s’écrit \(\frac{(F(x)-F(5))}{(x-5)}\). La fonction F est dérivable en 5 et \(F'(x)=4x^3\).
\[\boxed{\lim_{x\to5}\frac{x^4-625}{x-5}=F'(5)=4\times125=500}.\]Question 2
Reconnaître le taux d’accroissement en 0 de (1+x)¹⁰, dont la valeur en 0 est 1.
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La fonction \(F(x)=(1+x)^{10}\) est dérivable en 0, avec \(F(0)=1\). Par la règle de dérivation d’une composée, \(F'(x)=10(1+x)^9\).
\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=F'(0)=10}.\]Question 3
Utiliser la dérivée de la racine cubique en 8, ou factoriser une différence de cubes ; l’argument ne s’y annule pas.
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Posons \(F(x)=\sqrt[3]{x+8}\). Au voisinage de 0, \(x+8\gt0\) ; F y est dérivable et \(F(0)=2\). La dérivation de la racine cubique composée donne
\[F'(x)=\frac1{3(\sqrt[3]{x+8})^2},\qquad F'(0)=\frac1{3\times4}=\frac1{12}.\]Le quotient de l’énoncé est exactement \(\frac{(F(x)-F(0))}{(x-0)}\). Par définition du nombre dérivé,
Question 4
Avant de chercher un taux d’accroissement, remplacer x par 6 : le dénominateur ne s’annule pas.
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Le manuel indique bien \(x\to6\) et le dénominateur \(x-3\). Les fonctions du numérateur sont continues en \(6\), et le dénominateur y vaut \(3\ne0\). Ainsi :
\[\lim_{x\to6}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{4x+3}}{x-3}=\frac{3-3}{3}=\boxed{0}.\]Pour cet item, la continuité suffit ; il ne s’agit pas d’un taux d’accroissement en \(6\).
Question 5
Regrouper le numérateur comme différence de valeurs d’une même fonction dérivable en π.
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Posons \(F(x)=x+\sin^2x\). Cette fonction est dérivable sur \(\mathbb R\), avec \(F(\pi)=\pi\). La règle de la chaîne donne
\[F'(x)=1+2\sin x\cos x.\]Le numérateur est \(F(x)-F(\pi)\). Le quotient est donc le taux d’accroissement de F en π, d’où
Question 6
Introduire la différence des deux fonctions du numérateur et vérifier qu’elle s’annule en 0.
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Posons \(F(x)=\sqrt{1+x^{12}}-\cos x\). Le radicande est strictement positif sur \(\mathbb R\), donc F est dérivable. On a \(F(0)=1-1=0\), et
\[F'(x)=\frac{12x^{11}}{2\sqrt{1+x^{12}}}+\sin x=\frac{6x^{11}}{\sqrt{1+x^{12}}}+\sin x.\]Le quotient donné vaut \(\frac{(F(x)-F(0))}{(x-0)}\). Par définition du nombre dérivé,
Question 7
Voir la soustraction de la racine cubique de 5 comme une différence de valeurs au point \(\frac{\pi}{6}\).
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Posons \(F(x)=\sqrt[3]{7-4\sin x}\) et \(a=\frac{\pi}{6}\). On vérifie \(F(a)=\sqrt[3]5\). Le radicande est strictement positif au voisinage de a, donc F y est dérivable et
\[F'(x)=\frac{-4\cos x}{3(\sqrt[3]{7-4\sin x})^2}.\]Le quotient de l’énoncé est \(\frac{(F(x)-F(a))}{(x-a)}\). Sa limite est donc \(F'(a)\), ce qui donne
Question 8
Reconnaître le taux en \(\frac{\pi}{3}\) et ne pas oublier le facteur 3 dans 3x−π.
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Posons \(F(x)=4\cos^2x-1\). On vérifie \(F(\frac{\pi}{3})=0\) et \(3x-\pi=3(x-\frac{\pi}{3})\). Ainsi la limite vaut \(\frac{F'(\frac{\pi}{3})}{3}\).
\[F'(x)=-8\cos x\sin x,\qquad \frac{F'(\frac{\pi}{3})}{3}=\frac{-8(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt3}{2})}{3}.\]\[\boxed{\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{4\cos^2x-1}{3x-\pi}=-\frac{2\sqrt3}{3}}.\]Question 9
Les deux termes s’annulent : comparer leurs dérivées par des encadrements et la monotonie, sans L’Hôpital ni développement limité.
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Posons \(u(x)=x-\sin x\) et \(v(x)=\tan x-x\). Ces deux fonctions sont impaires, donc leur quotient est pair. Il suffit d’étudier la limite à droite.
Pour \(0\lt x\lt\frac{\pi}{2}\), \(v\prime(x)=\tan^2x\gt0\), donc \(v(x)\gt0\). De plus :
\[\frac{u\prime(x)}{v\prime(x)}=\frac{1-\cos x}{\tan^2x}=\frac{\cos^2x}{1+\cos x},\qquad \lim_{x\to0^+}\left(\frac{u\prime(x)}{v\prime(x)}\right)=\frac12\]Soit \(\varepsilon\gt0\). Il existe \(\delta\gt0\) tel que, pour \(0\lt x\lt\delta\),
\[(\tfrac12-\varepsilon)v\prime(x)\le u\prime(x)\le(\tfrac12+\varepsilon)v\prime(x).\]Les fonctions \(u-(\tfrac12-\varepsilon)v\) et \((\tfrac12+\varepsilon)v-u\) sont alors croissantes sur \([0;\delta[\) et nulles en \(0\). On obtient, en divisant par \(v(x)\gt0\),
\[\frac12-\varepsilon\le\frac{x-\sin x}{\tan x-x}\le\frac12+\varepsilon.\]Par encadrement et par parité :
\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{\tan x-x}=\frac12}.\]Question 10
Tester la substitution en \(\frac{\pi}{4}\) : le dénominateur est non nul, donc la continuité suffit.
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Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont continues au voisinage de \(\frac{\pi}{4}\), où le cosinus ne s’annule pas. Le dénominateur a une limite non nulle :
\[2\cos(\frac{\pi}{4})-\sqrt2=0,\qquad \tan(\frac{\pi}{4})+1=2.\]On applique donc directement la règle de la limite d’un quotient :
\[\boxed{\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2\cos x-\sqrt2}{\tan x+1}=\frac{0}{2}=0}.\]Il n’y a ici aucune forme indéterminée : une transformation en taux d’accroissement est inutile.
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