Correction des exercices 21 à 23 — Structures algébriques
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Trois exercices très différents approfondissent les propriétés algébriques d’un anneau. Le premier étudie le commutateur xy−yx et impose de vérifier les affirmations générales, car une partie du texte proposé manque d’hypothèses. Les autres montrent comment déduire une caractéristique, puis utiliser un déterminant pour prouver l’intégrité. Les erreurs du manuel sont clairement distinguées des preuves valables.
Exercice 21 — Commutateur d’un anneau et identité de Jacobi
Dans un anneau unitaire \((A,+,\times)\), on définit \(xTy=xy-yx\). Étudier \(xTy=-(yTx)\), l’associativité, le neutre, la distributivité et les identités de Jacobi figurant au manuel.
Le manuel demande de montrer que \(T\) « n’est pas associative » sans hypothèse garantissant cette conclusion. C’est faux si \(A\) est commutatif : on a alors \(T=0\), qui est associative. Il demande aussi l’absence d’un neutre sans exclure l’anneau nul. Les affirmations doivent être qualifiées, pas acceptées telles quelles.
Le commutateur \([x,y]=xy-yx\) mesure la non-commutativité du produit. Les identités algébriques sont valables dans tout anneau associatif, mais l’absence d’associativité de \(T\) n’est pas une propriété universelle.
Antisymétrie et distributivité
Développer avec les règles de l’anneau, sans supposer la commutativité du produit.
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On a \(yTx=yx-xy=-(xTy)\). Pour \(x,y,z\in A\),
De même, \((x+y)Tz=(xTz)+(yTz)\). Donc \(T\) est distributive par rapport à l’addition.
L’antisymétrie n’affirme pas que la loi \(T\) est commutative.
Assertions sur l’associativité et le neutre
Vérifier les affirmations du manuel avant de les appliquer ; une loi n’est pas obligatoirement non associative dans tous les anneaux.
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Dans tout anneau commutatif non nul, \(xTy=0\) pour tous \(x,y\). La loi constante nulle est associative : l’affirmation « \(T\) n’est pas associative » est donc fausse pour un anneau unitaire quelconque.
Dans un anneau unitaire non nul, supposons qu’il existe un élément neutre \(e\) pour \(T\). En appliquant la propriété de neutre à \(1_A\), on devrait avoir \(1_A T e=1_A\). Pourtant, \(1_A T e=1_Ae-e1_A=e-e=0_A\), contradiction puisque \(1_A\neq0_A\). Dans l’anneau nul \(A=\{0_A\}\), la loi est au contraire associative et son unique élément est neutre. Ces conclusions ne peuvent donc pas être affirmées sans préciser les hypothèses.
Dans l’anneau nul, au contraire, \(0\) est neutre. La conclusion du manuel a donc besoin d’hypothèses supplémentaires.
Une proposition impossible avec les seules hypothèses doit être analysée, non « démontrée ».
Identité de Jacobi et relation de réarrangement
Développer chaque commutateur et grouper les termes de signes opposés.
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En développant \(xT(yTz)+yT(zTx)+zT(xTy)\), chacun des six monômes de degré trois apparaît une fois avec le signe \(+\) et une fois avec le signe \(-\). La somme vaut donc \(0_A\).
En remplaçant l’identité de Jacobi, on obtient également
L’identité de Jacobi est une propriété du commutateur, indépendante de son associativité.
Exercice 22 — Un anneau dont tout élément vérifie \(x^{12}=x\)
Un anneau unitaire \(A\) vérifie \(x^{12}=x\) pour tout \(x\in A\). Montrer \(x=-x\), puis \(x^8+x^4=0\) et enfin \(x^2=x\).
Le premier réflexe du cours est d’appliquer l’hypothèse à des éléments particuliers : \(-1_A\), puis \(x+1_A\). On exploite ensuite les simplifications en caractéristique deux.
Opposé et caractéristique
Appliquer \(u^{12}=u\) à \(u=-1_A\).
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Puisque \((-1_A)^{12}=1_A\), la propriété imposée à \(-1_A\) donne \(1_A=-1_A\). En ajoutant \(x\) et en multipliant par \(x\), on obtient \(x=-x\) pour tout \(x\).
La caractéristique deux est imposée par un simple choix d’élément.
Puissances puis idempotence
Utiliser \((x+1_A)^{12}=x+1_A\) en caractéristique deux, puis réutiliser \(x^{12}=x\).
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Comme \(2=0_A\), on a \((x+1_A)^4=x^4+1_A\), puis
En égalant à \(x+1_A\) et en utilisant \(x^{12}=x\), on en déduit \(x^8+x^4=0_A\), donc \(x^8=x^4\).
Dès lors \(x=x^{12}=x^8x^4=(x^4)^2=x^8=x^4\). En élevant \(x=x^4\) au carré, on obtient \(x^2=x^8=x^4=x\).
Le résultat final signifie que tous les éléments sont idempotents, propriété caractéristique des anneaux booléens.
Exercice 23 — Anneau intègre de matrices à coefficients entiers
Soit \(E=\{\begin{pmatrix}a&b\\7b&a\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb Z\}\). Montrer que \(E\) est un anneau commutatif, étudier la condition \(a^2-7b^2=0\), puis l’intégrité.
Attention à l’équivalence proposée : l’exercice écrit \(a^2-7b^2=0\iff(a=0\ \text{ou}\ b=0)\). C’est faux : \((a,b)=(0,1)\) vérifie le membre de droite mais pas le membre de gauche. L’équivalence correcte utilise « et ».
Pour une partie d’un anneau de matrices, montrer la stabilité, réutiliser l’associativité et la distributivité, puis contrôler les diviseurs de zéro à l’aide du déterminant.
Structure d’anneau
Écrire la formule du produit de deux matrices types et constater qu’elle conserve la forme.
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Si \(M(a,b)=\begin{pmatrix}a&b\\7b&a\end{pmatrix}\), alors
Les lois étant commutatives sur les paramètres, les matrices de \(E\) commutent. Les différences restent dans \(E\), ainsi que l’identité \(M(1,0)=I\). Associativité et distributivité sont héritées des matrices.
Le critère de sous-anneau évite de recalculer des axiomes déjà valables dans \(M_2(\mathbb R)\).
Équation de déterminant et intégrité
Vérifier l’équivalence écrite dans le manuel : un « ou » n’est pas interchangeable avec un « et ».
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Si \(a^2=7b^2\) avec des entiers, alors \(b\ne0\) impliquerait \((a/b)^2=7\), impossible puisque \(\sqrt7\) est irrationnel. Ainsi \(b=0\), puis \(a=0\). La réciproque est immédiate.
Toute matrice non nulle de \(E\) a un déterminant non nul, donc est inversible dans \(M_2(\mathbb R)\). Si \(AB=0\) et \(A\ne0\), on multiplie par \(A^{-1}\) dans \(M_2(\mathbb R)\) et on obtient \(B=0\).
L’intégrité n’affirme pas que l’inverse d’une matrice entière de \(E\) appartient à \(E\).
À retenir
Vérifier les hypothèses avant de conclure : la propriété zéro-produit, le commutateur et les équivalences logiques ne peuvent pas être déduits d’une intuition sur les réels.
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