Correction des exercices 23 à 28 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction des exercices 23 à 28 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Lecture de la monotonie d’une courbe, étude du signe de f' et tableaux de variations décrits intégralement en texte.

Une étude de fonction commence par son domaine, puis par les limites à ses bornes. On ne dérive que sur les intervalles où les opérations sont licites ; aux points de raccordement et aux extrémités, on revient au taux d’accroissement.

Le signe de la dérivée permet ensuite d’établir les variations et de repérer les extrema. Pour une racine ou un quotient, on justifie le signe de chaque facteur plutôt que de se limiter à annoncer le sens de variation.

Repère de cours — Dérivation et monotonie

Le signe de la dérivée indique le sens des variations sur chaque intervalle de dérivabilité. Ne pas confondre signe de f' et signe de f ; séparer les intervalles de définition.

Exercice 23 — Fonction rationnelle à racine

Énoncé. \[f(x)=\frac{3x+3}{\sqrt{2x-1}}\]

Question 1

Domaine et limites aux bornes.

Méthode et stratégie.

La racine est au dénominateur : imposer un radicande strictement positif, puis examiner séparément les deux bornes du domaine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La racine figure au dénominateur : \(2x-1\gt0\), donc \(D_f=]\frac{1}{2};+\infty[\). En \(\frac{1}{2}\), le numérateur tend vers \(\frac{9}{2}\) et le dénominateur vers \(0^+\), d’où \(+\infty\).

Pour \(x\gt1\), \(\sqrt{2x-1}\lt\sqrt{2x}\), donc \(f(x)\gt(\frac{3}{\sqrt2})\sqrt x\). Par comparaison, la limite en \(+\infty\) est \(+\infty\).

\[\boxed{D_f=]\frac{1}{2};+\infty[,\quad\lim_{x\to(\frac{1}{2})^+}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.\]

Question 2

Montrer l’expression de \(f'(x)\).

Méthode et stratégie.

Réécrire la division par une racine en produit avec une puissance −\(\frac{1}{2}\), puis utiliser produit et chaîne.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On écrit \(f(x)=3(x+1)(2x-1)^{-\frac{1}{2}}\). Règle du produit :

\[f'(x)=3(2x-1)^{-\frac{1}{2}}-3(x+1)(2x-1)^{-\frac{3}{2}}=\frac{3(x-2)}{(2x-1)^{\frac{3}{2}}}\]

\[\boxed{f'(x)=\frac{3(x-2)}{(2x-1)^{\frac{3}{2}}}}\]

Question 3

Variations de \(f\).

Méthode et stratégie.

Le dénominateur de f′ est positif : étudier son numérateur et calculer la valeur à l’abscisse critique.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le dénominateur est strictement positif : le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x-2\). La fonction décroît jusqu’à 2 et croît ensuite ; \(f(2)=3\sqrt3\).

\[\boxed{\min_{x>\frac{1}{2}}f(x)=f(2)=3\sqrt3}\]

Exercice 24 — Étude d’une fonction définie par morceaux

Énoncé. \[f(x)=\begin{cases}x-3\sqrt[3]{x-1},&x\geqslant1,\\\frac1{\sqrt x},&0<x<1.\end{cases}\]

Question 1

Dérivabilité en 1 et interprétation.

Méthode et stratégie.

Contrôler la continuité au raccord, puis calculer séparément les taux d’accroissement gauche et droit.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(h=x-1\), donc \(x=1+h\). Lorsque \(x\to1^+\), on a \(h\to0^+\).

La continuité en 1 résulte de \(f(1)=1\) et des deux limites égales à 1. À gauche, \(f'_g(1)=-\frac{1}{2}\). À droite, pour \(h>0\) :

\[\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=1-\frac{3}{h^{\frac{2}{3}}},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\right)=-\infty\]

\[\boxed{f'_g(1)=-\frac12,\quad \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\infty}\]

Demi-tangente de pente −\(\frac{1}{2}\) à gauche, verticale à droite.

Question 2a

Dérivée pour \(0<x<1\).

Méthode et stratégie.

Utiliser la branche \(x^{-\frac{1}{2}}\) uniquement sur l’intervalle où elle définit la fonction.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur cet intervalle \(f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\).

\[\boxed{f'(x)=-\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}}\]

Question 2b

Dérivée pour \(x>1\) ; vérifier la forme du manuel.

Méthode et stratégie.

Dériver la racine cubique puis poser t=\(\sqrt[3]{x-1}\) ; relier t−1 à x−2 par la différence de cubes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x>1\) :

\[f'(x)=1-(x-1)^{-\frac{2}{3}}=\frac{(\sqrt[3]{x-1})^2-1}{(\sqrt[3]{x-1})^2}\]

On factorise le numérateur : \((t^2-1)=(t-1)(t+1)\) et \(t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\) avec \(t=\sqrt[3]{x-1}\).

\[\boxed{f'(x)=\frac{(x-2)(\sqrt[3]{x-1}+1)}{(\sqrt[3]{x-1})^2\left((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}+1\right)}}\]

Question 3

Signe de la dérivée et variations.

Méthode et stratégie.

Réunir les signes des deux branches à l’aide de la continuité au raccord ; ne pas supposer une dérivée en 1.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(]0,1[\), la dérivée est négative. Sur \(]1,+\infty[\), son signe est celui de \(x-2\). Ainsi la fonction décroît de \(+\infty\) à \(1\), puis continue de décroître jusqu’à \(f(2)=-1\), puis croît vers \(+\infty\).

\[\boxed{f(2)=-1\text{ est le minimum global}}\]

Exercice 25 — Racines carrées et variations

Énoncé. \[f(x)=\frac12\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)\]

Question 1

Déterminer \(D_f\).

Méthode et stratégie.

Factoriser x²−4 et résoudre l’inéquation de définition de la racine carrée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La condition \(x^2-4\geqslant0\) équivaut à \(|x|\geqslant2\).

\[\boxed{D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[}\]

Question 2

Limites à l’infini.

Méthode et stratégie.

À gauche, la somme présente une indétermination : rationaliser. À droite, utiliser une minoration simple.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

À droite, \(f(x)\geqslant\frac{x}{2},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{2}\right)=+\infty\). À gauche, la rationalisation donne \(f(x)=\frac{2}{(x-\sqrt{x^2-4})}\) donc \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=0\).

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}\]

Question 3

Dérivabilité aux bornes en 2 et −2.

Méthode et stratégie.

Calculer les quotients aux deux extrémités avec h>0 ; leur divergence décide directement de la demi-tangente.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les valeurs aux bornes sont \(f(2)=1\) et \(f(-2)=-1\).

À droite de 2, posons \(h=x-2>0\). Alors \(x=2+h\), et \(h\to0^+\) lorsque \(x\to2^+\). On obtient

\[\frac{f(2+h)-f(2)}h=\frac12+\frac{\sqrt{4+h}}{2\sqrt h},\qquad\lim_{h\to0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}h=+\infty.\]

À gauche de −2, posons \(h=-2-x>0\). Alors \(x=-2-h\), et \(h\to0^+\) lorsque \(x\to-2^-\). Ainsi

\[\frac{f(-2-h)-f(-2)}{-h}=\frac12-\frac{\sqrt{4+h}}{2\sqrt h},\qquad\lim_{h\to0^+}\frac{f(-2-h)-f(-2)}{-h}=-\infty.\]

Ces limites prouvent l’absence de dérivée unilatérale finie.

\[\boxed{\text{Demi-tangente }x=2\text{ en }(2,1),\quad\text{demi-tangente }x=-2\text{ en }(-2,-1).}\]

Question 4

Dérivée sur le domaine ouvert.

Méthode et stratégie.

Appliquer la dérivée d’une racine composée seulement là où le radicande est strictement positif.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On dérive sur chacun des intervalles ouverts autorisés :

\[f'(x)=\frac12\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\right),\qquad |x|>2\]

\[\boxed{f'(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}+x}{2\sqrt{x^2-4}}}\]

Question 5

Variations de \(f\).

Méthode et stratégie.

Comparer x et −\(\sqrt{x^2-4}\) sur la branche négative ; traiter la branche positive séparément.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x<-2\), \(x< -\sqrt{x^2-4}\) entraîne une dérivée négative ; pour \(x>2\), elle est positive. D’où décroissance vers \(f(-2)=-1\) puis croissance à partir de \(f(2)=1\) sur les deux composantes disjointes.

\[\boxed{\searrow\ ]-\infty;-2]\ ;\ \nearrow\ [2;+\infty[}\]

Exercice 26 — Étude complète d’une racine cubique

Énoncé. \[f(x)=x-\sqrt[3]{x+1},\quad x\geqslant-1\]

Question 1

Vérifier la valeur particulière et calculer la limite à l’infini.

Méthode et stratégie.

Pour la valeur exacte, remplacer l’abscisse indiquée ; à l’infini, factoriser par x et comparer les puissances.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour justifier la limite sans dire seulement qu’un terme domine, on écrit pour \(x\gt 0\) :

\[x-\sqrt[3]{x+1}=x\left(1-\sqrt[3]{\frac1{x^2}+\frac1{x^3}}\right).\]

La parenthèse tend vers 1 et reste donc positive, par exemple supérieure à \(\frac{1}{2}\), pour x assez grand. L’expression est alors supérieure à \(\frac{x}{2}\), qui tend vers \(+\infty\).

Comme \((\frac{\sqrt3}{3})^3=\frac{\sqrt3}{9}\), on trouve :

\[f\left(\frac{\sqrt3}{9}-1\right)=\frac{\sqrt3}{9}-1-\frac{\sqrt3}{3}=-1-\frac{2\sqrt3}{9}\]

Pour \(x\to+\infty\), le terme linéaire domine la racine cubique (mettre \(x\) en facteur pour le justifier).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}\]

Question 2

Dérivabilité à droite en −1.

Méthode et stratégie.

Écrire le taux en −1+h avec h>0 et simplifier la racine cubique avant de passer à la limite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(h=x+1\), donc \(x=-1+h\). Lorsque \(x\to-1\), on a \(h\to0\).

Pour \(h>0\) :

\[\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=1-h^{-\frac{2}{3}},\qquad \lim_{h\to0}\left(\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}\right)=-\infty\]

\[\boxed{\lim_{x\to-1^+}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=-\infty}\]

Demi-tangente verticale à droite au point (−1,−1).

Question 3

Dérivée et variations.

Méthode et stratégie.

Sur x>−1, isoler le signe de la dérivée ; raccorder à l’extrémité par continuité.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x>-1\) : \(f'(x)=1-\frac{1}{(3(x+1)^{\frac{2}{3}})}\). Elle s’annule en \(a=\frac{\sqrt3}{9}-1\) ; elle est négative sur \(]-1;a[\) puis positive sur \(]a;+\infty[\). La valeur en \(a\) est donnée à la question 1.

\[\boxed{\min_{x\geqslant-1} f(x)=-1-\frac{2\sqrt3}{9}}\]

Exercice 27 — Huit fonctions à étudier

Énoncé. Calculer la dérivée de chaque fonction et décrire ses variations, sur les intervalles où elle est définie.

Question 1

\[f(x)=x^3+2x-1\]

Méthode et stratégie.

Ce polynôme est dérivable sur R ; montrer que sa dérivée est strictement positive pour tout réel.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On calcule la dérivée sur les intervalles de dérivabilité :

\[f'(x)=3 x^{2} + 2\]

Étude du signe : la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb R\), car la dérivée est positive.

\[\boxed{f'(x)=3 x^{2} + 2}\]

Question 2

\[f(x)=x^4-4x\]

Méthode et stratégie.

Factoriser la différence de cubes de la dérivée ; le facteur quadratique est toujours positif.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le facteur \(x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\) est strictement positif. Le signe de \(4(x-1)(x^2+x+1)\) est donc exactement celui de \(x-1\). C’est cette factorisation qui justifie les variations.

On calcule la dérivée sur les intervalles de dérivabilité :

\[f'(x)=4 \left(x - 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right)\]

Étude du signe : la fonction est décroissante sur \(]-\infty,1]\), puis croissante sur \([1,+\infty[\) ; minimum −3 en 1.

\[\boxed{f'(x)=4 \left(x - 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right)}\]

Question 3

\[f(x)=\frac{x^2-3x+2}{(x+1)^2}\]

Méthode et stratégie.

Dériver par quotient, exclure x=−1 puis étudier les signes du numérateur et du cube du dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{-1\}\). Par la règle du quotient,

\[f\prime(x)=\frac{(2x-3)(x+1)-2(x^2-3x+2)}{(x+1)^3}=\frac{5x-7}{(x+1)^3}.\]

La dérivée est positive sur \(]-\infty;-1[\), négative sur \(]-1;\frac{7}{5}[\), puis positive sur \(]\frac{7}{5};+\infty[\). Ainsi, \(f\) croît sur la première composante, décroît sur \(]-1;\frac{7}{5}]\), puis croît sur \([\frac{7}{5};+\infty[\). Le minimum de la seconde composante vaut \(f(\frac{7}{5})=-\frac{1}{24}\).

Question 4

\[f(x)=\sqrt{x^2+1}-x\]

Méthode et stratégie.

Après dérivation, comparer \(\sqrt{x^2+1}\) à |x| ; à l’infini, utiliser la quantité conjuguée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour tout réel x, \(\sqrt{x^2+1}\gt |x|\ge x\), donc \(x-\sqrt{x^2+1}\lt 0\). Le dénominateur de la dérivée est positif : la dérivée est strictement négative sur R. Pour la limite en \(+\infty\), on rationalise :

\[\sqrt{x^2+1}-x=\frac1{\sqrt{x^2+1}+x},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=0\]

On calcule la dérivée sur les intervalles de dérivabilité :

\[f'(x)=\frac{x - \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\]

Étude du signe : la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb R\) ; limite 0 en +∞.

\[\boxed{f'(x)=\frac{x - \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}\]

Question 5

\[f(x)=6x-4x\sqrt[3]x+1\]

Méthode et stratégie.

Dériver le produit hors de 0, puis vérifier directement le taux d’accroissement en 0 avant de dresser les variations.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\ne0\), la règle du produit donne

\[f'(x)=6-4\left(\sqrt[3]x+\frac{x}{3(\sqrt[3]x)^2}\right)=6-\frac{16}3\sqrt[3]x.\]

La formule précédente a été calculée hors de 0 : il reste donc à vérifier ce point directement. Comme \(f(0)=1\),

\[\frac{f(x)-f(0)}x=6-4\sqrt[3]x,\qquad \lim_{x\to0}\left(\frac{f(x)-f(0)}x\right)=6\]

Ainsi la même formule vaut aussi en 0. La racine cubique étant strictement croissante, \(f'(x)\) est positive pour \(x\lt a\), nulle en \(a\), puis négative, où \(a=(\frac{9}{8})^3=\frac{729}{512}\).

\[\boxed{f\text{ croît sur }]-\infty;a]\text{ puis décroît sur }[a;+\infty[.}\]

Il s’agit d’un maximum global, de valeur \(f(a)=\frac{3211}{1024}\). Le produit est donc dérivable en 0 alors que la racine cubique seule ne l’est pas : on ne peut pas transférer automatiquement sa non-dérivabilité au produit.

Question 6

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}\]

Méthode et stratégie.

Utiliser la racine cubique réelle ; pour les variations, on peut aussi composer x²+2x avec une fonction strictement croissante.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La racine cubique réelle est définie et continue sur tout \(\mathbb R\). Ainsi \(D_f=\mathbb R\). Pour \(x\notin\{-2,0\}\),

\[f'(x)=\frac{2(x+1)}{3\left(\sqrt[3]{x^2+2x}\right)^2}.\]

Le dénominateur est strictement positif : la dérivée a le signe de \(x+1\). Pour justifier les variations sans perdre les points −2 et 0, on peut aussi écrire \(x^2+2x=(x+1)^2-1\). Ce polynôme décroît sur \(]-\infty;-1]\), puis croît sur \([-1;+\infty[\). Sa composition avec la racine cubique, strictement croissante, conserve ces deux sens de variation.

\[\boxed{f\searrow\text{ sur }]-\infty;-1],\qquad f\nearrow\text{ sur }[-1;+\infty[,\qquad \min f=f(-1)=-1.}\]

En −2, posons \(h=x+2\), donc \(x=-2+h\). Lorsque \(x\to-2\), on a \(h\to0\), et

\[\frac{f(-2+h)-f(-2)}h=\sqrt[3]{\frac{h-2}{h^2}},\qquad\lim_{h\to0}\frac{f(-2+h)-f(-2)}h=-\infty.\]

En 0, on calcule directement, pour \(x\ne0\),

\[\frac{f(x)-f(0)}x=\sqrt[3]{\frac{x+2}{x^2}},\qquad\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x=+\infty.\]

Les points −2 et 0 appartiennent au domaine, mais n’admettent pas de nombre dérivé fini ; ils ne coupent pas les intervalles de monotonie.

Question 7

\[f(x)=(2x-3)\sqrt x\]

Méthode et stratégie.

Dériver sur x>0, étudier le signe du facteur 2x−1 et conserver l’extrémité 0 par continuité.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La racine impose \(D_f=[0;+\infty[\). Pour \(x\gt0\), on dérive le produit :

\[f'(x)=2\sqrt x+\frac{2x-3}{2\sqrt x}=\frac{3(2x-1)}{2\sqrt x}.\]

Le dénominateur est positif. Le signe est donc négatif sur \(]0;\frac{1}{2}[\), nul en \(\frac{1}{2}\) puis positif. La fonction est continue en 0, ce qui permet d’inclure cette extrémité dans la première phase de variation.

\[\boxed{f\searrow\text{ sur }[0;\frac{1}{2}],\quad f\nearrow\text{ sur }[\frac{1}{2};+\infty[,\quad f(\frac{1}{2})=-\sqrt2.}\]

En 0, la formule de dérivation n’est pas utilisable. Le quotient à droite vaut

\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{2x-3}{\sqrt x},\qquad \lim_{x\to0^+}\left(\frac{f(x)-f(0)}x\right)=-\infty\quad(x\to0^+).\]

Il n’y a pas de dérivée à droite finie : la courbe possède une demi-tangente verticale en \((0,0)\).

Question 8

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\frac{x^2}{3}\]

Méthode et stratégie.

Exprimer la dérivée avec la racine cubique réelle de x, puis distinguer les intervalles séparés par −1, 0 et 1.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction est définie et continue sur R. Pour \(x\ne0\), on utilise la racine cubique réelle :

\[f'(x)=\frac2{3\sqrt[3]x}-\frac{2x}3=\frac{2(1-x\sqrt[3]x)}{3\sqrt[3]x}.\]

Or \(x\sqrt[3]x=(\sqrt[3]x)^4\) est inférieur à 1 pour \(|x|\lt 1\) et supérieur à 1 pour \(|x|\gt 1\). Le dénominateur a le signe de x. On en déduit les signes successifs +, −, +, − sur les intervalles séparés par -1, 0 et 1.

Par le signe de la dérivée et la continuité en 0, f croît sur \(]-\infty;-1]\), décroît sur \([-1;0]\), croît sur \([0;1]\), puis décroît sur \([1;+\infty[\). En 0, les taux d’accroissement ont des limites infinies opposées : aucune dérivée finie. On a \(f(-1)=f(1)=\frac{2}{3}\) et \(f(0)=0\).

Exercice 28 — Cinq études sur des intervalles imposés

Énoncé. Calculer la dérivée et dresser les variations sur l’intervalle donné.

Question 1

\[f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+8},\qquad I=\mathbb R^+\]

Méthode et stratégie.

Prouver d’abord que le radicande reste positif sur R+ ; appliquer ensuite la chaîne et étudier x(x−2).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur l’intervalle imposé \(I=[0;+\infty[\), le radicande ne s’annule pas. En effet,

\[x^3-3x^2+8=(x-2)^2(x+1)+4\ge4.\]

La dérivation de la racine cubique composée est donc permise pour tout point intérieur de I :

\[f'(x)=\frac{3x^2-6x}{3\left(\sqrt[3]{x^3-3x^2+8}\right)^2}=\frac{x(x-2)}{\left(\sqrt[3]{x^3-3x^2+8}\right)^2}.\]

Le dénominateur est positif. Sur x>0, le signe est celui de x−2 : négatif avant 2, positif après. La continuité permet d’inclure 0.

\[\boxed{f\searrow\text{ sur }[0;2],\quad f\nearrow\text{ sur }[2;+\infty[,\quad\min_I f=\sqrt[3]4.}\]

On a aussi \(f(0)=2\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). La positivité du radicande justifie ici l’absence de point singulier dans le tableau.

Question 2

\[f(x)=\sqrt{x^2-x+1}-x,\qquad I=\mathbb R\]

Méthode et stratégie.

Compléter le carré du radicande puis comparer deux quantités positives pour obtenir le signe de la dérivée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le radicande vaut \((x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\gt 0\). Pour déterminer le signe de la dérivée, on compare \(2x-1\) et \(2\sqrt{x^2-x+1}\). Si \(2x-1\le0\), l’inégalité stricte est immédiate ; sinon on compare les carrés :

\[4(x^2-x+1)-(2x-1)^2=3\gt 0.\]

Dans tous les cas, le numérateur de la dérivée est strictement négatif et son dénominateur positif.

La dérivée s’obtient en utilisant les règles de composition :

\[f'(x)=\frac{2 x - 2 \sqrt{x^{2} - x + 1} - 1}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}}\]

Après étude du signe sur \(I\), la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).

\[\boxed{f'(x)=\frac{2 x - 2 \sqrt{x^{2} - x + 1} - 1}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}}}\]

Question 3

\[f(x)=3\sin(\frac{x}{2})+\cos x-3x,\qquad I=\mathbb R\]

Méthode et stratégie.

Calculer la dérivée composée, puis majorer cos et −sin séparément par 1 ; aucune résolution trigonométrique n’est nécessaire.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La dérivée s’obtient en utilisant les règles de composition :

\[f'(x)=- \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - 3\]

Après étude du signe sur \(I\), la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb R\) car \(f'(x)\leqslant\frac{3}{2}+1-3<0\).

\[\boxed{f'(x)=- \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - 3}\]

Question 4

\[f(x)=2\sin x+\cos(2x),\qquad I=[-\pi;\pi]\]

Méthode et stratégie.

Factoriser la dérivée à l’aide de sin(2x)=2sin x cos x ; classer tous les zéros sur l’intervalle imposé.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise avant l’étude du signe :

\[f'(x)=2\cos x-2\sin(2x)=2\cos x(1-2\sin x).\]

Sur \([-\pi;\pi]\), les zéros du premier facteur sont \(-\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{\pi}{2}\) ; ceux du second sont \(\frac{\pi}{6}\) et \(\frac{5\pi}{6}\). Le produit a les signes successifs −, +, −, +, − sur les cinq intervalles ainsi délimités.

La dérivée s’obtient en utilisant les règles de composition :

\[f'(x)=- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\]

Après étude du signe sur \(I\), la fonction décroît sur \([-\pi,-\frac{\pi}{2}]\), croît sur \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6}]\), décroît sur \([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]\), croît sur \([\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}]\), décroît sur \([\frac{5\pi}{6},\pi]\).

\[\boxed{f'(x)=- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}\]

Question 5

\[f(x)=\frac{\tan x-1}{\tan x+1},\qquad I=]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}[\]

Méthode et stratégie.

Vérifier les restrictions liées à tan x et au dénominateur ; dériver le quotient et calculer les limites aux bornes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(I=]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}[\), on a \(\cos x\gt0\) et \(\tan x\gt-1\). La tangente et le quotient sont donc définis et dérivables sur tout I. Par la règle du quotient,

\[f'(x)=\frac{\dfrac1{\cos^2x}(\tan x+1)-(\tan x-1)\dfrac1{\cos^2x}}{(\tan x+1)^2}=\frac2{(\tan x+1)^2\cos^2x}\gt0.\]

La fonction est strictement croissante sur I. À gauche, le numérateur tend vers −2 et le dénominateur vers 0 positif, donc la limite est \(-\infty\). À droite, on écrit

\[f(x)=1-\frac2{\tan x+1},\qquad \lim_{x\to(\frac\pi2)^-}\left(f(x)\right)=1\]

\[\boxed{f\text{ croît strictement de }-\infty\text{ vers }1\text{ sur }I.}\]

La valeur 1 est une limite au bord de l’intervalle, pas une valeur atteinte par cette fonction sur I.

MATHS PARCOURS MAROC

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Correction des exercices 23 à 28 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction des exercices 23 à 28 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Exercice 23 — Fonction rationnelle à racine

Question 1

Question 2

Question 3

Exercice 24 — Étude d’une fonction définie par morceaux

Question 1

Question 2a

Question 2b

Question 3

Exercice 25 — Racines carrées et variations

Question 1

Question 2

Question 3

Question 4

Question 5

Exercice 26 — Étude complète d’une racine cubique

Question 1

Question 2

Question 3

Exercice 27 — Huit fonctions à étudier

Question 1

Question 2

Question 3

Question 4

Question 5

Question 6

Question 7

Question 8

Exercice 28 — Cinq études sur des intervalles imposés

Question 1

Question 2

Question 3

Question 4

Question 5

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