Correction des exercices 24 à 27 — Structures algébriques
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Cette série illustre différentes façons d’obtenir une structure de corps, soit par fermeture d’un ensemble réel, soit à partir de lois sur des couples ou des matrices. Les questions sont traitées dans leur ordre, en contrôlant d’abord l’existence d’un inverse pour chaque élément non nul. Le dernier exercice comporte une incohérence importante dans l’énoncé : la correction en présente une démonstration simple avant de proposer une loi corrigée.
Exercice 24 — Corps quadratique \(\mathbb Q(\sqrt5)\)
Soit \(K=\{a+b\sqrt5:a,b\in\mathbb Q\}\). Montrer que \(K\) est un corps commutatif pour les opérations usuelles.
Méthode du manuel : vérifier que \(K\) est un sous-anneau de \(\mathbb R\), puis que chaque élément non nul possède un inverse dans \(K\).
Stabilité et inverse
Développer les sommes et les produits ; rationaliser le dénominateur à l’aide du conjugué.
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Les sommes, opposés et produits de deux éléments de \(K\) appartiennent encore à \(K\), car
Les réels \(0\) et \(1\) appartiennent à \(K\). Soit \(z=a+b\sqrt5\ne0\). On a \(a^2-5b^2\ne0\) : sinon, si \(b\ne0\), \((a/b)^2=5\) contredirait l’irrationalité de \(\sqrt5\), et si \(b=0\), alors \(a=0\).
La rationalisation du dénominateur est exactement la méthode élémentaire du cours.
Exercice 25 — Anneau sur \(\mathbb Z/6\mathbb Z\) et morphisme
Dans \(\mathbb Z/6\mathbb Z\), montrer que \(x^2=\overline2\) n’a pas de solution. Sur \(A=(\mathbb Z/6\mathbb Z)^2\), on définit l’addition composante par composante et \((x,y)\otimes(u,v)=(xu+2yv,xv+yu)\). Étudier l’anneau et trouver un morphisme de \(B=(\mathbb Z/6\mathbb Z)\times\{0\}\) vers \(\mathbb Z/6\mathbb Z\).
Pour les classes modulo six, calculer les carrés des six représentants. Pour l’anneau, reconnaître la multiplication formelle avec \(t^2=2\) et utiliser la projection sur les couples \((x,0)\).
Absence de racine
Énumérer les carrés des classes de \(\mathbb Z/6\mathbb Z\).
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Pour les représentants \(0,1,2,3,4,5\), les carrés modulo six sont respectivement \(0,1,4,3,4,1\). La classe \(\overline2\) n’apparaît pas.
Le caractère fini de \(\mathbb Z/6\mathbb Z\) permet une vérification exhaustive.
Structure et morphisme
Vérifier la formule multiplicative puis restreindre la première projection à \(B\).
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L’addition usuelle fait de \(A\) un groupe commutatif. La multiplication correspond à \((x+yt)(u+vt)\) avec \(t^2=2\) : elle est associative, commutative, distributive et admet \((\overline1,\overline0)\) comme unité.
La partie \(B\) est stable pour les deux lois et la projection \(\pi:B\to\mathbb Z/6\mathbb Z\), \(\pi(x,0)=x\), respecte addition et multiplication. Elle est bijective.
L’existence du morphisme n’implique pas que \(A\) est un corps : sa base \(\mathbb Z/6\mathbb Z\) possède des diviseurs de zéro.
Exercice 26 — Corps de matrices associé à une équation quadratique
Soit \(E=\{M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\-y&x+y\end{pmatrix}:x,y\in\mathbb R\}\). Étudier la stabilité, l’anneau, l’intégrité, le corps, puis résoudre \(-X^2+4X-3I=0\) dans \(E\).
Utiliser la loi du produit \(M(x,y)M(u,v)=M(xu-yv,xv+yu+yv)\) et le déterminant \(x^2+xy+y^2\). Le zéro-produit d’un corps résout ensuite l’équation matricielle sans développer tous les coefficients.
Anneau et corps
Montrer le produit fermé et repérer l’identité ; calculer ensuite le déterminant de la matrice-type.
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Le produit de deux matrices de \(E\) se réécrit
La différence est également dans \(E\) et \(M(1,0)=I\). On obtient donc un anneau commutatif unitaire. Pour \((x,y)\ne(0,0)\),
La matrice est inversible, et \(M(x,y)^{-1}=\bigl(x^2+xy+y^2\bigr)^{-1}M(x+y,-y)\), qui reste dans \(E\).
La présence de l’inverse dans \(E\), et non seulement dans \(M_2(\mathbb R)\), est la condition décisive.
Résoudre l’équation dans E
Factoriser le polynôme en utilisant la commutativité avec la matrice unité ; appliquer l’intégrité.
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L’équation \(-X^2+4X-3I=0\) équivaut à \(X^2-4X+3I=0\), donc à
Puisque \(E\) est un corps, il est intègre. Un produit nul force donc l’un de ses facteurs à être nul.
Le passage par la structure de corps rend la résolution plus courte et plus sûre.
Exercice 27 — Deux lois sur \(\mathbb C\) : vérification critique de l’énoncé
L’énoncé proposé définit \(z*z'=z-z'-i\), puis pour \(m\in\mathbb C^*\) : \(zTz'=mi zz'+m(z+z')+i(1-m)\). Il demande de prouver un groupe commutatif pour \(*\), puis un corps pour \((\mathbb C,*,T)\).
Attention à la loi proposée : le signe « \(-z'\) » dans la première loi rend la commutativité fausse. La correction plausible « \(+z'\) » est explicitement proposée, non attribuée au manuel sans preuve éditoriale. La version proposée ne peut pas conduire à un corps.
La première obligation est de vérifier la commutativité annoncée. Si elle échoue, aucune preuve des conclusions demandées n’est possible avec la loi proposée.
Contradiction dans la loi proposée
Donner deux complexes dont les produits inversés diffèrent : un contre-exemple suffit.
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Avec \(z=0\) et \(z'=1\), on calcule \(0*1=-1-i\) tandis que \(1*0=1-i\). La loi n’est donc pas commutative.
L’élève ne doit pas essayer de prouver un résultat faux : un contre-exemple permet d’identifier la difficulté de l’énoncé.
Version corrigée, explicitement proposée
Une correction de signe minimale consiste à poser \(z\star z'=z+z'-i\). On prouve alors la structure par transport, et l’on avertit qu’il ne s’agit pas de l’énoncé original.
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Sous la loi proposée \(z\star z'=z+z'-i\), le zéro additif de cette loi est \(i\). Posons \(\theta(z)=mi(z-i)\), bijection de \(\mathbb C\) sur lui-même puisque \(m\ne0\).
Pour tous \(z,w\in\mathbb C\), on a \(\theta(z\star w)=\theta(z)+\theta(w)\). Le calcul direct de la seconde loi donne
Le transfert par \(\theta\) donne donc un corps commutatif. Son zéro est \(i\) et son unité \(i+1/(mi)\).
La solution conditionnelle est distinguée de l’impossibilité de résoudre la version proposée.
À retenir
Lorsque les hypothèses d’un exercice sont insuffisantes ou contradictoires, il faut l’indiquer au lecteur avant de proposer une modification mathématiquement justifiée.
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