Correction des exercices 28 à 31 — Structures algébriques
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices examinent plusieurs familles de matrices, une identité générale d’anneau unitaire et l’anneau des entiers de Gauss. Les deux premières familles de matrices présentent des anomalies qui empêchent d’établir les conclusions demandées : les contre-vérifications sont explicitées. Dans les exercices corrects, on utilise les propriétés de l’inversibilité et de la norme pour mener des preuves réutilisables.
Exercice 28 — Famille de matrices : énoncé incomplet ou incorrect
Soit \(K=\{M(x,y)=\begin{pmatrix}x&x\\-5y&x+2y\end{pmatrix}:x,y\in\mathbb R\}\). Le manuel demande de montrer que \(K\) est un corps commutatif.
Attention aux données : sous la forme lisible \(\begin{pmatrix}x&x\\-5y&x+2y\end{pmatrix}\), l’ensemble ne contient pas l’identité, contrairement à ce qu’exige un corps matriciel. L’hypothèse d’une erreur de frappe « \(x\) au lieu de \(y\) » est plausible, mais n’est pas une certitude éditoriale.
Avant d’appliquer les propriétés de corps à des matrices, vérifier que la matrice identité appartient à l’ensemble et que la multiplication est interne.
Vérification de la matrice identité
Écrire les conditions imposées par \(M(x,y)=I\).
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Si \(M(x,y)=I\), l’élément en position \((1,1)\) impose \(x=1\), alors que celui en position \((1,2)\) impose \(x=0\). Ces conditions sont incompatibles.
Cette absence de \(I\) ne suffit pas, à elle seule, pour exclure une unité différente de \(I\). Il faut donc aussi contrôler la stabilité de la multiplication. Prenons \(P=M(1,0)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\). Alors \(P^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\). Si \(P^2=M(x,y)\), les coefficients \((1,1)\) et \((1,2)\) imposeraient simultanément \(x=1\) et \(x=2\), ce qui est impossible. La multiplication n’est donc pas interne dans \(K\) tel qu’il est défini.
Une correction possible du coefficient supérieur droit serait de remplacer \(x\) par \(y\), mais cela change l’énoncé : elle ne doit jamais être adoptée sans avertissement.
Exercice 29 — Matrices d’ordre trois : contrôle de cohérence
L’énoncé affiche des matrices d’ordre trois paramétrées par \((x,y,z)\), mais un domaine \(\mathbb R^2\), et demande de montrer que l’ensemble est un corps commutatif. On lit \(\begin{pmatrix}x&y&z\\2x&x&y\\2y&2z&x\end{pmatrix}\).
Attention aux données : trois paramètres associés à \(\mathbb R^2\) ; de plus, la famille matricielle proposée ne contient pas \(I_3\). Les données ne permettent pas de déterminer une modification unique de l’énoncé. Les contradictions sont détaillées ci-dessous.
Vérifier d’abord la cohérence du nombre de paramètres et l’existence de l’élément unité, avant de chercher un inverse.
Tester l’identité et la dimension des paramètres
Comparer la matrice-type avec \(I_3\) et isoler les contradictions de coefficient.
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La mention \((x,y,z)\in\mathbb R^2\) est impossible telle quelle : trois réels ne forment pas un élément de \(\mathbb R^2\).
Plus décisif encore, la stabilité de la multiplication échoue : pour \(P=M(1,0,0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), on calcule \(P^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\4&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\). Cette matrice n’appartient pas à la famille affichée, car la première coordonnée force \(x=1\), alors que la position \((2,1)\) imposerait \(2x=4\).
En outre, imposer que la diagonale soit \((1,1,1)\) donne \(x=1\), alors que l’élément \((2,1)\) devrait vérifier \(2x=0\), contradiction.
Changer seulement \(\mathbb R^2\) en \(\mathbb R^3\) ne répare pas la seconde contradiction.
Exercice 30 — Inversibilité de \(1-ba\) à partir de \(1-ab\)
Soit \(A\) un anneau unitaire, pas nécessairement commutatif, et \(a,b\in A\). Si \(1-ab\) est inversible, établir \((1-ba)^{-1}=1+b(1-ab)^{-1}a\).
Ne jamais permuter des facteurs dans un anneau non commutatif. Le cours demande ici une preuve d’inverse bilatéral, avec un candidat explicitement construit.
Construire et vérifier l’inverse
Poser \(c=(1-ab)^{-1}\) et montrer séparément les produits à droite et à gauche.
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On a \(c(1-ab)=1=(1-ab)c\), donc \(c-cab=1\) et \(c-abc=1\). Posons \(d=1+bca\).
Les deux vérifications établissent que \(d\) est l’inverse bilatéral de \(1-ba\).
Cette identité est valable sans commutativité ; l’ordre des facteurs est essentiel.
Exercice 31 — Entiers de Gauss et éléments inversibles
Soit \(\mathbb Z[i]=\{a+ib:a,b\in\mathbb Z\}\). Montrer qu’il s’agit d’un anneau commutatif unitaire, puis déterminer tous ses éléments inversibles grâce à \(N(z)=z\bar z=|z|^2\).
Construire d’abord le sous-anneau de \(\mathbb C\). Le cours utilise ensuite une application multiplicative à valeurs entières positives pour caractériser les unités.
Sous-anneau
Vérifier la stabilité par différence et produit ; l’associativité et la distributivité sont héritées de \(\mathbb C\).
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Pour \(z=a+ib\) et \(w=c+id\), \(z-w=(a-c)+i(b-d)\in\mathbb Z[i]\) et \(zw=(ac-bd)+i(ad+bc)\in\mathbb Z[i]\). Le neutre multiplicatif \(1\) appartient à l’ensemble.
Cette démonstration est un exemple standard de critère de sous-anneau.
Unités et norme
Utiliser la multiplicativité \(N(zw)=N(z)N(w)\) et le fait que \(N(z)\) est entier positif.
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Si \(z\) est une unité, il existe \(w\in\mathbb Z[i]\) avec \(zw=1\). D’où \(N(z)N(w)=1\). Les deux normes sont des entiers naturels, donc \(N(z)=1\). Réciproquement, si \(N(z)=1\), on a \(z\bar z=1\) et \(\bar z\in\mathbb Z[i]\) ; \(z\) est inversible.
L’équation \(a^2+b^2=1\) pour \(a,b\in\mathbb Z\) a pour solutions \((\pm1,0)\) et \((0,\pm1)\).
La norme remplace avantageusement une recherche directe de l’inverse.
À retenir
Vérifier la présence de l’unité et la fermeture avant de chercher un corps ; dans un anneau non commutatif, contrôler les deux côtés d’un inverse ; pour les entiers de Gauss, exploiter la norme.
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