Correction des exercices 28 à 39 — Continuité sur un intervalle — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 28 à 39 — Continuité sur un intervalle — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Continuité sur un intervalle • Exercices d'application

Dans cette série, nous étudions la continuité d'une fonction sur un intervalle. Les exercices permettent de reconnaître la continuité à partir d'une courbe, d'étudier les fonctions définies par plusieurs expressions et d'utiliser les propriétés des fonctions continues.

Pour une fonction définie par morceaux, on étudie chaque expression sur son intervalle, puis on vérifie la continuité aux points où l'expression change.

Repère de cours — Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle ouvert lorsqu'elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Sur un intervalle fermé \([a;b]\), elle doit être continue sur \(]a;b[\), continue à droite en \(a\) et continue à gauche en \(b\).

Pour étudier une fonction définie par morceaux, il faut vérifier la continuité de chaque expression, puis étudier les points de raccordement.

Exercice 28 — Lecture graphique de la continuité

On a tracé la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-3;4]\).

1) La fonction \(f\) est-elle continue en \(-2\), en \(1\) et en \(2\) ?

2) La fonction \(f\) est-elle continue sur les intervalles \([-3;0]\), \([1;2]\) et \(]2;4]\) ?

4) Donner un intervalle de longueur \(4\) sur lequel \(f\) est continue.

Question 1

Étudier la continuité en \(-2\), \(1\) et \(2\).

Méthode et stratégie.

Comparer valeur du point et limites gauche et droite sur le graphique, en distinguant points pleins et points ouverts.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Méthode.

Sur une courbe, on examine si les branches se rejoignent au point considéré. Lorsqu'elles ne se rejoignent pas, les limites à gauche et à droite sont différentes.

En \(-2\), la courbe ne présente aucune interruption. On lit :

\[ f(-2)=-1 \]

et :

\[ \lim_{x\to-2}f(x)=-1. \]

Ainsi, \(f\) est continue en \(-2\).

En \(1\), on lit sur les deux branches :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=3. \]

Ces limites sont différentes. La fonction n'est donc pas continue en \(1\).

En \(2\), on obtient :

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=2, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=1. \]

Les deux limites sont également différentes. La fonction n'est pas continue en \(2\).

\[ \boxed{ \begin{gathered} f\text{ est continue en }-2,\\ f\text{ n'est pas continue en }1,\\ f\text{ n'est pas continue en }2. \end{gathered}} \]

Question 2

Étudier la continuité sur \([-3;0]\), \([1;2]\) et \(]2;4]\).

Méthode et stratégie.

Sur un intervalle fermé, tester seulement la continuité du côté intérieur aux extrémités ; contrôler les raccords à l’intérieur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \([-3;0]\), la première branche ne présente aucune interruption. La fonction est continue sur cet intervalle.

Sur \([1;2]\), on suit la branche supérieure du graphique. Avec les extrémités retenues sur le schéma, la fonction est continue à droite en \(1\), à gauche en \(2\), ainsi qu'en tout point de \(]1;2[\).

Sur \(]2;4]\), la dernière branche est continue. L'abscisse \(2\), où se produit le changement de branche, n'appartient pas à l'intervalle.

\[ \boxed{ f\text{ est continue sur chacun des trois intervalles.} } \]

Question 4

Donner un intervalle de longueur \(4\) sur lequel \(f\) est continue.

Méthode et stratégie.

Choisir un segment de longueur 4 qui ne traverse aucun point de discontinuité et vérifier ses deux bornes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La première branche est continue de \(-3\) jusqu'aux valeurs strictement inférieures à \(1\). On peut donc choisir :

\[ \boxed{[-3;1[}. \]

La longueur de cet intervalle est :

\[ 1-(-3)=4. \]

Exercice 29 — Fonction définie par morceaux

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f(x)= \begin{cases} |x|+x+1 & \text{si }x\le1,\\ \sqrt{x}(x^2+2) & \text{si }x>1. \end{cases} \]

1) Montrer que \(f\) est continue sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).

2) Montrer que \(f\) est continue en \(1\). Que peut-on en déduire ?

Question 1

Montrer la continuité sur les deux intervalles ouverts.

Méthode et stratégie.

Utiliser la continuité des expressions usuelles sur chacun des intervalles ouverts, sans oublier les dénominateurs.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(]-\infty;1[\), la fonction est définie par :

\[ f(x)=|x|+x+1. \]

La fonction valeur absolue et les fonctions polynomiales sont continues sur \(\mathbb R\). Leur somme est donc continue sur \(]-\infty;1[\).

Sur \(]1;+\infty[\), on a :

\[ f(x)=\sqrt{x}(x^2+2). \]

Les fonctions \(x\mapsto\sqrt{x}\) et \(x\mapsto x^2+2\) sont continues sur cet intervalle. Leur produit est donc continu.

\[ \boxed{ f\text{ est continue sur } ]-\infty;1[ \text{ et } ]1;+\infty[. } \]

Question 2

Montrer que \(f\) est continue en \(1\), puis conclure.

Méthode et stratégie.

Calculer les deux limites au raccord 1 et les comparer à f(1), puis réunir les intervalles déjà traités.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour calculer \(f(1)\), on utilise la première expression :

\[ f(1)=|1|+1+1=3. \]

À gauche de \(1\), on a :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(|x|+x+1)=3. \]

À droite :

\[ \lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}\sqrt{x}(x^2+2)=3. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) =f(1)=3. \]

\[ \boxed{f\text{ est continue en }1}. \]

La fonction est continue sur les deux intervalles ouverts et au point qui les sépare. On en déduit qu'elle est continue sur \(\mathbb R\).

Exercice 30 — Raccordement par factorisation

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{3x^2+2x-1}{x^2-1} & \text{si }x\lt-1,\\[2mm] 5x^2+x-2 & \text{si }x\ge-1. \end{cases} \] Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Question

Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Méthode et stratégie.

Séparer les domaines des branches puis vérifier la continuité à chaque point de raccord.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Méthode.

Chaque expression est continue sur son intervalle. Il reste à étudier le point de raccordement \(-1\). Pour la limite à gauche, on factorise le numérateur et le dénominateur.

Pour \(x\lt-1\), on a :

\[ 3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1) \]

et :

\[ x^2-1=(x+1)(x-1). \]

Comme \(x\ne-1\), on simplifie :

\[ f(x)=\frac{3x-1}{x-1}. \]

D'où :

\[ \lim_{x\to-1^-}f(x) = \frac{-3-1}{-1-1} =2. \]

À droite, on utilise l'expression polynomiale :

\[ \lim_{x\to-1^+}f(x) =5(-1)^2-1-2=2. \]

De plus :

\[ f(-1)=2. \]

Les limites à gauche et à droite sont donc égales à \(f(-1)\).

\[ \boxed{f\text{ est continue sur }\mathbb R}. \]

Exercice 31 — Ensemble de définition et continuité

Soit \(f\) la fonction définie par : \[ f(x)= \begin{cases} 2\sqrt{x-1}+x+3 & \text{si }x>1,\\[2mm] -\dfrac{x^2+x+2}{x-2} & \text{si }x\lt1,\\[2mm] 4 & \text{si }x=1. \end{cases} \]

1) Déterminer \(D_f\), ensemble de définition de \(f\).

2) Étudier la continuité de \(f\) sur \(D_f\).

Question 1

Déterminer \(D_f\).

Méthode et stratégie.

Résoudre les restrictions de définition de chaque branche et réunir uniquement les valeurs autorisées.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x>1\), on a \(x-1>0\), donc \(\sqrt{x-1}\) est définie.

Pour \(x\lt1\), le dénominateur \(x-2\) ne s'annule pas.

Enfin, la valeur \(f(1)=4\) est donnée.

La fonction est donc définie pour tout réel \(x\).

\[ \boxed{D_f=\mathbb R}. \]

Question 2

Étudier la continuité de \(f\) sur \(D_f\).

Méthode et stratégie.

Traiter la continuité à l’intérieur de chaque composante du domaine puis aux raccords qui appartiennent au domaine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les deux expressions sont continues sur leurs intervalles respectifs. Il reste à vérifier la continuité en \(1\).

À gauche :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = -\frac{1+1+2}{1-2} =4. \]

À droite :

\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = 2\sqrt0+1+3=4. \]

Or :

\[ f(1)=4. \]

Les limites à gauche et à droite sont égales à la valeur de la fonction en \(1\).

\[ \boxed{f\text{ est continue sur }\mathbb R}. \]

Exercice 32 — Continuité en zéro

Soit \(f\) définie sur \(]-2;2[\) par : \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x^2+4}-2}{x} & \text{si }-2\lt x\lt0,\\[2mm] 0 & \text{si }x=0,\\ x^3-5x^2 & \text{si }0\lt x\lt2. \end{cases} \] Étudier la continuité de \(f\) sur \(]-2;2[\).

Question

Étudier la continuité de \(f\) sur \(]-2;2[\).

Méthode et stratégie.

Vérifier les conditions des formules de chaque côté, puis calculer les limites au point de raccord intérieur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction est continue sur \(]-2;0[\) et \(]0;2[\), car les expressions sont continues sur ces intervalles.

Étudions la continuité en \(0\).

À gauche de \(0\), on utilise la quantité conjuguée :

\[ \frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x} = \frac{x^2}{x(\sqrt{x^2+4}+2)}. \]

Pour \(x\ne0\), on simplifie :

\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}+2}. \]

On obtient :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0. \]

À droite :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}(x^3-5x^2)=0. \]

Comme \(f(0)=0\), les deux limites sont égales à la valeur de la fonction.

\[ \boxed{f\text{ est continue sur }]-2;2[}. \]

Exercice 33 — Propriétés des fonctions continues

Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction \(f\) est continue sur son ensemble de définition.

Méthode générale.

On détermine l'ensemble de définition, puis on utilise les propriétés de continuité des fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques, de la valeur absolue et de la racine carrée. Pour les fonctions définies par morceaux, on vérifie les points de raccordement.

Question 1

\[ f(x)=x^2+3x+\cos x. \]

Méthode et stratégie.

Utiliser la continuité du polynôme et du cosinus, puis celle de leur somme.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le polynôme \(x^2+3x\) est continu sur \(\mathbb R\), ainsi que la fonction cosinus. Leur somme est continue sur \(\mathbb R\).

\[ \boxed{D_f=\mathbb R,\quad f\text{ continue sur }\mathbb R}. \]

Question 2

\[ f(x)=\sqrt{x^2-5x-6}. \]

Méthode et stratégie.

Résoudre l’inéquation du radicande factorisé ; la racine est continue même aux zéros autorisés du radicande.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La racine carrée est définie lorsque :

\[ x^2-5x-6\ge0. \]

Or :

\[ x^2-5x-6=(x+1)(x-6). \]

L'étude du signe donne :

\[ D_f=]-\infty;-1]\cup[6;+\infty[. \]

La fonction polynomiale est continue et la racine carrée est continue sur \([0;+\infty[\). Leur composition est donc continue sur \(D_f\).

\[ \boxed{f\text{ continue sur }D_f}. \]

Question 3

\[ f(x)=\frac{3x^2+5x-4}{x^2+3} +\sqrt{2x^2-x+3}. \]

Méthode et stratégie.

Montrer que le dénominateur et le radicande restent strictement positifs ; appliquer ensuite les règles de somme et de composition.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On a \(x^2+3>0\) pour tout réel \(x\).

Le discriminant du trinôme \(2x^2-x+3\) est :

\[ \Delta=1-24=-23. \]

Comme son coefficient de \(x^2\) est positif, ce trinôme est strictement positif sur \(\mathbb R\).

Les deux termes de \(f(x)\) sont donc définis et continus sur \(\mathbb R\). Leur somme est continue.

\[ \boxed{D_f=\mathbb R,\quad f\text{ continue sur }\mathbb R}. \]

Question 4

\[ f(x)=\frac{\sin x}{x^2-3x+2}. \]

Méthode et stratégie.

Factoriser le dénominateur, exclure ses zéros, puis appliquer le théorème de continuité d’un quotient.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le dénominateur se factorise :

\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]

Il ne doit pas s'annuler. Par conséquent :

\[ D_f=\mathbb R\setminus\{1;2\}. \]

Le sinus et le polynôme du dénominateur sont continus. Leur quotient est continu sur \(D_f\).

\[ \boxed{f\text{ continue sur }D_f}. \]

Question 5

\[ f(x)=5\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right). \]

Méthode et stratégie.

Composer l’affine de l’angle avec le sinus, tous deux continus sur R.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction \(x\mapsto3x-\frac{\pi}{4}\) est continue sur \(\mathbb R\). La fonction sinus est continue sur \(\mathbb R\). Leur composition, multipliée par \(5\), est continue.

\[ \boxed{D_f=\mathbb R,\quad f\text{ continue sur }\mathbb R}. \]

Question 6

\[ f(x)=|5x^3-7x^2+4x-3|. \]

Méthode et stratégie.

Composer le polynôme avec la valeur absolue, continue même en 0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction polynomiale \(5x^3-7x^2+4x-3\) est continue sur \(\mathbb R\). La fonction valeur absolue étant continue, \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

\[ \boxed{D_f=\mathbb R,\quad f\text{ continue sur }\mathbb R}. \]

Question 7

\[ f(x)=\cos(-3x^2+5). \]

Méthode et stratégie.

Composer le polynôme intérieur avec le cosinus ; aucun dénominateur ne restreint le domaine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction polynomiale \(-3x^2+5\) est continue sur \(\mathbb R\), ainsi que la fonction cosinus. Leur composition est donc continue.

\[ \boxed{D_f=\mathbb R,\quad f\text{ continue sur }\mathbb R}. \]

Question 8

\[ f(x)=\frac{\sin x}{x^2-3x+2}. \]

Méthode et stratégie.

Exclure les racines du dénominateur comme dans l’expression identique de la série ; conserver le numéro imprimé.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise le dénominateur :

\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]

La fonction est définie pour \(x\ne1\) et \(x\ne2\). Comme le sinus et le polynôme sont continus, le quotient est continu partout où le dénominateur est non nul.

\[ \boxed{ D_f=\mathbb R\setminus\{1;2\}, \quad f\text{ continue sur }D_f }. \]

Question 9

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1} & \text{si }x\ne1,\\[2mm] \dfrac12 & \text{si }x=1. \end{cases} \]

Méthode et stratégie.

Rationaliser pour x≠1 puis comparer la limite à la valeur spéciale en 1 ; ne pas supprimer cette valeur du domaine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La présence de \(\sqrt{x}\) impose \(x\ge0\). En \(1\), une valeur particulière est donnée. Ainsi :

\[ D_f=[0;+\infty[. \]

Pour \(x\ne1\), on utilise la quantité conjuguée :

\[ \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac1{\sqrt{x}+1}. \]

On obtient alors :

\[ \lim_{x\to1}f(x)=\frac12=f(1). \]

La fonction est donc continue en \(1\). Elle est également continue sur les autres parties de \(D_f\).

\[ \boxed{f\text{ continue sur }[0;+\infty[}. \]

Question 10

\[ f(x)= \begin{cases} x^2-3x & \text{si }x\le1,\\[2mm] \dfrac{x^3-5x^2+5x-1}{x-1} & \text{si }x>1. \end{cases} \]

Méthode et stratégie.

Factoriser le numérateur de la branche rationnelle pour calculer sa limite au raccord, puis comparer à l’autre branche.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les deux expressions sont continues sur leurs intervalles respectifs. Il reste à étudier le raccordement en \(1\).

On calcule :

\[ f(1)=1-3=-2. \]

À droite, on factorise le numérateur :

\[ x^3-5x^2+5x-1 =(x-1)(x^2-4x+1). \]

Pour \(x>1\), on simplifie :

\[ f(x)=x^2-4x+1. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1-4+1=-2. \]

À gauche :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1-3=-2. \]

Les deux limites sont égales à \(f(1)\).

\[ \boxed{f\text{ continue sur }\mathbb R}. \]

Exercice 34 — Continuité après simplification

Soit \(f\) définie sur \([-4;+\infty[\) par : \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{\sqrt{4+x}-2} & \text{si }x\ne0,\\[2mm] 4 & \text{si }x=0. \end{cases} \] Étudier la continuité de \(f\) sur \([-4;+\infty[\).

Question

Étudier la continuité de \(f\) sur son intervalle de définition.

Méthode et stratégie.

Déterminer où chaque formule usuelle est continue puis contrôler les limites aux raccords de l’énoncé.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Méthode.

La quantité conjuguée permet d'obtenir une expression plus simple, dont la continuité est facile à étudier.

Pour \(x\ne0\), on écrit :

\[ f(x)= \frac{x(\sqrt{4+x}+2)} {(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)}. \]

Au dénominateur :

\[ (\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)=x. \]

On simplifie donc :

\[ f(x)=\sqrt{4+x}+2. \]

Cette expression vaut \(4\) en \(0\), ce qui correspond à \(f(0)\).

On peut donc écrire, pour tout \(x\in[-4;+\infty[\) :

\[ f(x)=\sqrt{4+x}+2. \]

La fonction racine carrée est continue sur \([0;+\infty[\). Par conséquent, cette expression est continue sur \([-4;+\infty[\).

\[ \boxed{f\text{ continue sur }[-4;+\infty[}. \]

Exercice 35 — Continuité d'un quotient trigonométrique

Soit \(f\) définie sur \(]0;\pi[\) par : \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin^2x-\sin x} {2\sin^2x-\sin x-1} & \text{si }x\ne\dfrac{\pi}{2},\\[3mm] \dfrac13 & \text{si }x=\dfrac{\pi}{2}. \end{cases} \] Étudier la continuité de \(f\) sur \(]0;\pi[\).

Question

Étudier la continuité de \(f\) sur \(]0;\pi[\).

Méthode et stratégie.

Utiliser l’intervalle ]0;π[ pour vérifier la non-nullité des facteurs trigonométriques au dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le remplacement direct en \(\frac{\pi}{2}\) conduit à la forme \(\frac00\).

On factorise le numérateur :

\[ \sin^2x-\sin x =\sin x(\sin x-1). \]

On factorise également le dénominateur :

\[ 2\sin^2x-\sin x-1 =(2\sin x+1)(\sin x-1). \]

Pour \(x\ne\frac{\pi}{2}\), on simplifie :

\[ f(x)=\frac{\sin x}{2\sin x+1}. \]

Comme \(\sin x>0\) sur \(]0;\pi[\), le dénominateur \(2\sin x+1\) est strictement positif. Le quotient simplifié est donc continu sur cet intervalle.

De plus :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}f(x) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}. \]

Or :

\[ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac13. \]

\[ \boxed{f\text{ continue sur }]0;\pi[}. \]

Exercice 36 — Fonction partie entière et continuité

Soit \(f\) la fonction définie sur \([-2;1[\) par : \[ f(x)=xE(x)+1, \] où \(E(x)\) désigne la partie entière de \(x\).

1) Donner l'expression de \(f(x)\) sur \([-2;-1[\), \([-1;0[\) et \([0;1[\).

2) Tracer la courbe représentative \(\mathcal C_f\).

3) La fonction \(f\) est-elle continue sur \([-2;1[\) ?

Question 1

Déterminer l'expression de \(f\) sur chaque intervalle.

Méthode et stratégie.

Sur chaque intervalle, déterminer la valeur constante de la partie entière avant de simplifier f.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\in[-2;-1[\), on a \(E(x)=-2\). Donc :

\[ f(x)=-2x+1. \]

Pour \(x\in[-1;0[\), on a \(E(x)=-1\). Donc :

\[ f(x)=-x+1. \]

Enfin, pour \(x\in[0;1[\), on a \(E(x)=0\), d'où :

\[ f(x)=1. \]

\[ \boxed{ f(x)= \begin{cases} -2x+1 & \text{si }-2\le x\lt-1,\\ -x+1 & \text{si }-1\le x\lt0,\\ 1 & \text{si }0\le x\lt1. \end{cases}} \]

Question 2

Tracer la courbe représentative de \(f\).

Méthode et stratégie.

Tracer chaque morceau avec les extrémités ouvertes ou fermées imposées par la partie entière.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La courbe est composée de trois segments. Les extrémités appartenant à l'intervalle sont représentées par des points pleins, et les autres par des points non remplis.

La première branche va de \((-2;5)\) jusqu'au voisinage de \((-1;3)\), sans atteindre ce dernier point.

La deuxième commence en \((-1;2)\) et rejoint le voisinage de \((0;1)\). La dernière est horizontale, d'ordonnée \(1\).

Question 3

La fonction est-elle continue sur \([-2;1[\) ?

Méthode et stratégie.

Comparer les limites et les valeurs aux entiers intérieurs ; aux extrémités de l’intervalle, utiliser uniquement le côté intérieur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Étudions le point \(-1\), où l'expression change.

À gauche :

\[ \lim_{x\to-1^-}f(x) = -2(-1)+1=3. \]

À droite :

\[ \lim_{x\to-1^+}f(x) = -(-1)+1=2. \]

Or :

\[ f(-1)=2. \]

Les limites à gauche et à droite sont différentes. La fonction n'est donc pas continue en \(-1\).

En revanche, en \(0\), les deux expressions voisines donnent la même limite :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1=f(0). \]

Ainsi, \(f\) est continue en \(0\), mais pas en \(-1\).

\[ \boxed{ f\text{ n'est pas continue sur }[-2;1[. } \]

Exercice 37 — Partie entière d'une racine carrée

Soit : \[ f(x)=\frac{E(\sqrt{x})}{x}, \] où \(E(\sqrt{x})\) est la partie entière du nombre \(\sqrt{x}\).

1) Déterminer \(D_f\).

2) Calculer les limites en \(+\infty\) et en \(0^+\).

3) a) Calculer \(f(x)\) pour \(x\in[1;4[\) et pour \(x\in[4;9[\).

b) La fonction \(f\) est-elle continue sur \([1;9[\) ?

Question 1

Déterminer \(D_f\).

Méthode et stratégie.

Le dénominateur impose une restriction supplémentaire à celle de la racine ; déterminer les deux avant de conclure.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La racine carrée exige \(x\ge0\), tandis que le dénominateur impose \(x\ne0\).

\[ \boxed{D_f=]0;+\infty[}. \]

Question 2

Calculer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(0^+\).

Méthode et stratégie.

Utiliser l’encadrement de la partie entière par deux réels consécutifs, puis diviser par un facteur de signe connu.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Par la définition de la partie entière :

\[ 0\le E(\sqrt{x})\le\sqrt{x}. \]

Pour \(x>0\), on divise par \(x\) :

\[ 0\le f(x)\le\frac1{\sqrt{x}}. \]

Lorsque \(x\to+\infty\), le membre de droite tend vers \(0\). D'après le théorème d'encadrement :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}. \]

Lorsque \(x\to0^+\), on a \(x\in]0;1[\) au voisinage de \(0\). Alors :

\[ 0\lt\sqrt{x}\lt1. \]

et donc :

\[ E(\sqrt{x})=0. \]

Par conséquent, \(f(x)=0\) sur \(]0;1[\).

\[ \boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=0}. \]

Question 3.a

Déterminer \(f(x)\) sur \([1;4[\) et \([4;9[\).

Méthode et stratégie.

Déterminer les valeurs possibles de la partie entière de \(\sqrt{x}\) sur chaque intervalle demandé.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Si \(x\in[1;4[\), alors :

\[ 1\le\sqrt{x}<2. \]

Donc \(E(\sqrt{x})=1\) et :

\[ f(x)=\frac1x. \]

Si \(x\in[4;9[\), alors :

\[ 2\le\sqrt{x}<3. \]

Donc \(E(\sqrt{x})=2\) et :

\[ f(x)=\frac2x. \]

\[ \boxed{ f(x)= \begin{cases} \dfrac1x & \text{si }1\le x\lt4,\\[2mm] \dfrac2x & \text{si }4\le x\lt9. \end{cases}} \]

Question 3.b

La fonction \(f\) est-elle continue sur \([1;9[\) ?

Méthode et stratégie.

Le raccord x=4 appartient à l’intervalle : comparer sa valeur avec la limite obtenue à gauche.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Il suffit d'étudier le point \(4\), où l'expression change.

À gauche de \(4\) :

\[ \lim_{x\to4^-}f(x) = \lim_{x\to4^-}\frac1x =\frac14. \]

À droite de \(4\) :

\[ \lim_{x\to4^+}f(x) = \lim_{x\to4^+}\frac2x =\frac12. \]

La valeur de la fonction est :

\[ f(4)=\frac{E(2)}4=\frac24=\frac12. \]

La limite à gauche est différente de celle à droite. La fonction n'est donc pas continue en \(4\).

\[ \boxed{ f\text{ n'est pas continue sur }[1;9[. } \]

Exercice 38 — Déterminer tous les couples de paramètres

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f(x)= \begin{cases} a^2x+3 & \text{si }x\lt1,\\[2mm] \dfrac{-b^2x+8}{2x-1} & \text{si }1\le x\le3,\\[3mm] \dfrac25x^2-\dfrac{b^2}{5}x+ab & \text{si }x>3. \end{cases} \] où \(a\) et \(b\) sont deux réels.

Déterminer tous les couples \((a;b)\) pour lesquels \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Question

Déterminer tous les couples \((a;b)\) assurant la continuité sur \(\mathbb R\).

Méthode et stratégie.

Calculer les deux limites à chaque raccord et imposer leur égalité avec la valeur correspondante ; résoudre toutes les conditions simultanément.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Méthode.

Les trois expressions sont continues sur leurs intervalles respectifs. Il suffit donc de vérifier la continuité aux deux points de raccordement : \(1\) et \(3\).

1. Continuité en \(1\)

À gauche de \(1\) :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=a^2+3. \]

La valeur de la fonction en \(1\), donnée par la deuxième expression, est :

\[ f(1)=\frac{-b^2+8}{2-1}=8-b^2. \]

La continuité en \(1\) impose :

\[ a^2+3=8-b^2. \]

D'où la première relation :

\[ \boxed{a^2+b^2=5}. \qquad (1) \]

2. Continuité en \(3\)

La valeur de \(f\) en \(3\) est :

\[ f(3)=\frac{8-3b^2}{6-1} =\frac{8-3b^2}{5}. \]

À droite de \(3\) :

\[ \lim_{x\to3^+}f(x) = \frac25(9)-\frac{b^2}{5}(3)+ab. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to3^+}f(x) = \frac{18-3b^2}{5}+ab. \]

La continuité impose :

\[ \frac{8-3b^2}{5} = \frac{18-3b^2}{5}+ab. \]

On simplifie :

\[ 8=18+5ab. \]

On obtient la deuxième relation :

\[ \boxed{ab=-2}. \qquad (2) \]

3. Résolution du système

Nous devons résoudre :

\[ \begin{cases} a^2+b^2=5,\\ ab=-2. \end{cases} \]

On utilise :

\[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab. \]

Donc :

\[ (a+b)^2=5-4=1. \]

De même :

\[ (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=5+4=9. \]

Ainsi :

\[ a+b=1\quad\text{ou}\quad a+b=-1, \]

et :

\[ a-b=3\quad\text{ou}\quad a-b=-3. \]

En associant les possibilités, on obtient les quatre couples :

\[ \boxed{ (a;b)\in \left\{ (1;-2),\,(-2;1),\,(2;-1),\,(-1;2) \right\}. } \]

Chacun de ces couples vérifie \(a^2+b^2=5\) et \(ab=-2\). Les deux conditions de raccordement sont donc satisfaites, et la fonction est continue sur \(\mathbb R\).

Exercice 39 — Continuité par encadrement

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x\sin\left(\dfrac3x\right)&\text{si }x\ne0,\\[2mm] 0&\text{si }x=0. \end{cases} \]

1) a) Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R^*\),

\[ |f(x)|\le|x|. \]

b) En déduire que \(f\) est continue en \(0\).

2) Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Question 1.a

Montrer que \(|f(x)|\le|x|\) pour \(x\ne0\).

Méthode et stratégie.

Utiliser la borne absolue du facteur trigonométrique puis multiplier par |x|.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour tout réel \(t\), on sait que :

\[ |\sin t|\le1. \]

En prenant \(t=\frac3x\), pour \(x\ne0\), on obtient :

\[ \left|\sin\left(\frac3x\right)\right|\le1. \]

On multiplie les deux membres par \(|x|\), qui est positif :

\[ |x|\left|\sin\left(\frac3x\right)\right| \le|x|. \]

Or :

\[ |f(x)|= \left|x\sin\left(\frac3x\right)\right|. \]

\[ \boxed{|f(x)|\le|x|}. \]

Question 1.b

En déduire que \(f\) est continue en \(0\).

Méthode et stratégie.

Appliquer le théorème des gendarmes et vérifier que la limite obtenue est égale à f(0).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

D'après la question précédente :

\[ 0\le|f(x)|\le|x|. \]

Lorsque \(x\to0\), on a :

\[\lim_{x\to0}\left(|x|\right)=0\]

Le théorème d'encadrement donne :

\[\lim_{x\to0}\left(|f(x)|\right)=0\]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=0. \]

Or \(f(0)=0\). Donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0}. \]

La fonction \(f\) est continue en \(0\), même si l'expression \(\sin(\frac{3}{x})\) n'admet pas de limite en ce point.

Question 2

Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Méthode et stratégie.

Combiner le résultat en 0 et la continuité des compositions usuelles hors de 0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\ne0\), les fonctions

\[ x\longmapsto x \quad\text{et}\quad x\longmapsto\sin\left(\frac3x\right) \]

sont continues. Leur produit est donc continu sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\).

D'après la question précédente, \(f\) est également continue en \(0\).

\[ \boxed{f\text{ est continue sur }\mathbb R}. \]

Ce qu'il faut retenir

Pour étudier la continuité sur un intervalle, on utilise d'abord les propriétés des fonctions usuelles : polynômes, fonctions rationnelles, racine carrée, valeur absolue et fonctions trigonométriques.

Pour une fonction définie par morceaux, on étudie séparément chaque intervalle, puis on vérifie les limites à gauche et à droite aux points de raccordement.

Lorsqu'une expression conduit à une forme indéterminée, une factorisation ou une quantité conjuguée permet parfois de simplifier le calcul.

Pour les fonctions comportant une partie entière, on détermine l'expression de cette partie entière sur chaque intervalle et on vérifie particulièrement les points où sa valeur change.

Enfin, lorsqu'une fonction contient un sinus ou un cosinus dont l'expression est compliquée, le caractère borné de ces fonctions permet souvent d'appliquer le théorème d'encadrement.

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