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Correction des exercices 29 à 31 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction des exercices 29 à 31 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Démonstration d’inégalités trigonométriques par l’étude de variations de fonctions auxiliaires.

Une inégalité trigonométrique peut se démontrer en étudiant une fonction auxiliaire égale à la différence entre les deux membres. On calcule sa dérivée, on en justifie le signe, puis on compare ses valeurs à celles obtenues aux bornes de l’intervalle.

Les exercices utilisent le théorème des valeurs intermédiaires avec la stricte monotonie pour obtenir une unique valeur critique. Les angles sont exprimés en radians, et les fonctions contenant une tangente sont étudiées sur des intervalles où le cosinus ne s’annule pas.

Repère de cours — Inégalités par la dérivation

Pour prouver une inégalité, étudier la différence des deux membres : continuité, dérivée, signe, extrema et valeurs aux bornes.

Exercice 29 — Encadrement de la fonction sinus

Énoncé. \[I=[0;\frac{\pi}{2}],\qquad f(x)=\sin x-\frac{2}{\pi} x\]

Question 1a

Montrer que \(f'(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).
Méthode et stratégie.

Traduire f′(x)=0 en une équation sur cos x ; vérifier continuité, valeurs aux bornes et stricte monotonie.

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On a \(f\prime(x)=\cos x-\frac{2}{\pi}\). Le cosinus est continu et strictement décroissant de \(1\) à \(0\) sur \([0;\frac{\pi}{2}]\). Comme \(0\lt\frac{2}{\pi}\lt1\), le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie donnent une unique solution \(\alpha\in]0;\frac{\pi}{2}[\), caractérisée par \(\cos\alpha=\frac{2}{\pi}\).

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Question 1b

Signe de la dérivée.
Méthode et stratégie.

Comparer cos x à cos α à l’aide de sa décroissance sur l’intervalle donné.

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La décroissance stricte du cosinus donne \(f'(x)>0\) si \(x<\alpha\), et \(f'(x)<0\) si \(x>\alpha\).

\[\boxed{f\nearrow[0;\alpha],\quad f\searrow[\alpha;\frac{\pi}{2}]}\]

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Question 1c

En déduire \(\frac2\pi x\leqslant\sin x\).
Méthode et stratégie.

Utiliser les variations et les deux valeurs aux extrémités pour déterminer le signe de la fonction auxiliaire.

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La fonction vaut 0 aux deux extrémités : \(f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0\). Elle augmente puis diminue ; sa valeur est donc positive ou nulle sur tout \(I\).

\[\boxed{\forall x\in[0;\frac{\pi}{2}],\quad\frac{2}{\pi} x\leqslant\sin x}\]

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Question 2

Montrer \(\frac2\pi x\leqslant\sin x\leqslant x\).
Méthode et stratégie.

La borne inférieure étant acquise, étudier séparément la différence x−sin x pour établir la borne supérieure.

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Il reste à prouver \(\sin x\leqslant x\). Pour \(h(x)=x-\sin x\), on a \(h'(x)=1-\cos x\geqslant0\) et \(h(0)=0\).

\[\boxed{\forall x\in[0;\frac{\pi}{2}],\quad\frac{2}{\pi} x\leqslant\sin x\leqslant x}\]

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Exercice 30 — Inégalité trigonométrique sur un demi-intervalle

Énoncé. \[I=[0;\frac{\pi}{2}[,\quad f(x)=2\sin x+\tan x-3x\]

Question 1

Établir l’expression de \(f'(x)\).
Méthode et stratégie.

Dériver les trois termes, puis réduire au même dénominateur en vérifiant que cos x ne s’annule pas sur I.

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On dérive : \(f'(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos^2x}-3\). En ramenant au même dénominateur :

\[\boxed{f'(x)=\frac{2\cos^3x-3\cos^2x+1}{\cos^2x}}\]

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Question 2

Montrer \(P(t)\geqslant0\) pour \(0\leqslant t\leqslant1\).
Méthode et stratégie.

Rechercher une factorisation de P puis justifier le signe de chacun des facteurs sur [0;1].

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Avec \(P(t)=2t^3-3t^2+1\), la factorisation est \(P(t)=(1-t)^2(2t+1)\). Les facteurs sont positifs ou nuls.

\[\boxed{P(t)=(1-t)^2(2t+1)\geqslant0}\]

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Question 3

Variations de \(f\).
Méthode et stratégie.

Remplacer t par cos x dans le résultat polynomial, en précisant la plage de valeurs de cos x sur I.

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Pour \(x\in I\), \(0<\cos x\leqslant1\). La question 2 montre \(f'(x)\geqslant0\), et \(f'(x)>0\) si \(x>0\).

\[\boxed{f\text{ est strictement croissante sur }I}\]

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Question 4

Démontrer l’inégalité.
Méthode et stratégie.

Comparer f(x) à f(0), puis réécrire l’inégalité f(x)≥0 avec les termes trigonométriques.

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Comme \(f(0)=0\) et que \(f\) est croissante, \(f(x)\geqslant0\).

\[\boxed{\forall x\in I,\quad 3x\leqslant2\sin x+\tan x}\]

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Exercice 31 — Tangente et encadrement

Énoncé. \[I=[0;\frac{\pi}{4}],\quad f(x)=\frac{4}{\pi} x-\tan x\]

Question 1a

Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
Méthode et stratégie.

Dériver deux fois ; pour la dérivée de \(\frac1{\cos^2x}\), appliquer la chaîne et conserver le signe.

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La dérivée de la tangente est \(\frac{1}{\cos^2x}\) et celle-ci est \(\frac{2\tan x}{\cos^2x}\).

\[\boxed{f'(x)=\frac4\pi-\frac1{\cos^2x},\quad f''(x)=-\frac{2\tan x}{\cos^2x}}\]

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Question 1b

Variations de \(f'\).
Méthode et stratégie.

Étudier le signe de f″ sur I pour en déduire les variations de f′, et non directement celles de f.

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Sur \(I\), \(\tan x\geqslant0\) donc \(f''(x)\leqslant0\), strictement pour \(x>0\).

\[\boxed{f'\text{ est strictement décroissante sur }I}\]

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Question 2a

Existence et unicité de \(f'(x)=0\).
Méthode et stratégie.

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à f′ puis utiliser sa stricte décroissance pour l’unicité.

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La fonction \(f\prime\) est continue et strictement décroissante sur \(I\). De plus, \(f\prime(0)=\frac{4}{\pi}-1\gt0\) et \(f\prime(\frac{\pi}{4})=\frac{4}{\pi}-2\lt0\). Le théorème des valeurs intermédiaires donne donc une unique solution \(\alpha\in]0;\frac{\pi}{4}[\), caractérisée par \(\cos\alpha=\frac{\sqrt\pi}{2}\).

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Question 2b

Signe de \(f'(x)\).
Méthode et stratégie.

Utiliser la position du zéro α et la décroissance de f′ pour distinguer les deux signes.

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La dérivée est positive avant \(\alpha\) et négative après ; elle s’annule exactement en \(\alpha\).

\[\boxed{f\nearrow[0;\alpha],\quad f\searrow[\alpha;\frac{\pi}{4}]}\]

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Question 3a

Variations de \(f\).
Méthode et stratégie.

Traduire les signes de f′ en variations de f et calculer les valeurs aux deux extrémités.

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La fonction augmente de \(f(0)=0\) à \(f(\alpha)\), puis diminue jusqu’à \(f(\frac{\pi}{4})=1-1=0\). Son minimum sur l’intervalle fermé est donc 0.

\[\boxed{\forall x\in I,\quad f(x)\geqslant0}\]

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Question 3b

En déduire l’inégalité.
Méthode et stratégie.

Utiliser la positivité de la fonction auxiliaire issue du tableau de variations, puis isoler tan x.

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L’inégalité est exactement \(f(x)\geqslant0\).

\[\boxed{\forall x\in[0;\frac{\pi}{4}],\quad\tan x\leqslant\frac{4}{\pi} x}\]

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