Correction des exercices 32 à 37 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction des exercices 32 à 37 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Monotonie, détermination de l’image J, existence de f⁻¹ et calcul du nombre dérivé de la réciproque.

Pour construire une fonction réciproque, on commence par établir la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle choisi. Les valeurs aux extrémités et les limites déterminent ensuite l’intervalle image.

Pour calculer un nombre dérivé de la réciproque en b, on identifie son antécédent a, on vérifie \(f(a)=b\) et \(f'(a)\ne0\), puis on utilise \((f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}\). Aux bornes, on distingue les dérivées unilatérales.

Repère de cours — Dérivabilité de la fonction réciproque

Si f est continue et strictement monotone sur I, elle admet une réciproque sur J=f(I). Lorsque f'(a)≠0, (f⁻¹)'(f(a))=\(\frac1{f'(a)}\).

Exercice 32 — Réciproque de \(x\sqrt{x^3+1}\)

Énoncé. \[f(x)=x\sqrt{x^3+1},\quad x\geqslant0\]

Question 1a

Calculer \(f'(x)\).

Méthode et stratégie.

Dériver le produit x·\(\sqrt{x^3+1}\), puis mettre au même dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Par la règle du produit :

\[f'(x)=\sqrt{x^3+1}+\frac{3x^3}{2\sqrt{x^3+1}}=\frac{5x^3+2}{2\sqrt{x^3+1}}\]

\[\boxed{f'(x)=\frac{5x^3+2}{2\sqrt{x^3+1}}}\]

Question 1b

Croissance de \(f\).

Méthode et stratégie.

Contrôler le signe du numérateur et du dénominateur de f′, y compris la continuité à l’extrémité 0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le numérateur et le dénominateur de \(f'\) sont positifs pour \(x\geqslant0\).

\[\boxed{f\text{ est strictement croissante sur }\mathbb R^+}\]

Question 2

Existence de la réciproque et intervalle \(J\).

Méthode et stratégie.

Appliquer le théorème de la bijection à une fonction continue strictement monotone ; déterminer l’image à partir des bornes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction est continue, strictement croissante, \(f(0)=0\) et sa limite à l’infini est \(+\infty\).

\[\boxed{J=[0;+\infty[}\]

Question 3a

Dérivabilité de \(f^{-1}\) sur \(J\).

Méthode et stratégie.

Vérifier que f′ ne s’annule pas aux antécédents ; distinguer la dérivée usuelle et la dérivée à droite au bord de l’image.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La dérivée \(f'(x)\) est strictement positive sur \(I\), y compris à droite en 0 ; la formule de la réciproque s’applique sur l’intérieur de \(J\) et à droite en 0.

\[\boxed{(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(f^{-1}(y))}}\]

Question 3b

Calculer \(f(2)\) et \((f^{-1})'(6)\).

Méthode et stratégie.

Identifier l’antécédent de 6 puis appliquer la formule de dérivation de la réciproque après contrôle de f′ à cet antécédent.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise le théorème de dérivation d’une fonction réciproque. La continuité et la stricte monotonie ont été établies sur l’intervalle considéré. Il reste à identifier l’antécédent de l’ordonnée demandée et à vérifier que la dérivée en cet antécédent est non nulle.

On a \(f(2)=2\sqrt9=6\) et \(f'(2)=\frac{42}{6}=7\).

\[\boxed{(f^{-1})'(6)=\frac17}\]

Question 3c

Calculer \((f^{-1})'(0)\).

Méthode et stratégie.

Comme 0 est une extrémité de l’image, utiliser un taux d’accroissement à droite de la réciproque.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Notons \(r=f^{-1}\). On a \(f(0)=0\) et \(r(0)=0\). Comme f est continue et strictement croissante de \([0;+\infty[\) sur lui-même, sa réciproque est continue en 0. Quand \(y\to0^+\), on peut donc poser \(x=r(y),\qquad \lim_{y\to0^+}\left(r(y)\right)=0\) et \(y=f(x)\). Alors

\[\frac{r(y)-r(0)}{y-0}=\frac{x}{x\sqrt{x^3+1}}=\frac1{\sqrt{x^3+1}},\qquad \lim_{y\to0^+}\left(\frac{r(y)-r(0)}{y-0}\right)=1\]

\[\boxed{(f^{-1})'_d(0)=1.}\]

Il s’agit bien d’une dérivée à droite : 0 est une extrémité de l’intervalle de définition de la réciproque.

Exercice 33 — Réciproque d’une fonction racine

Énoncé. \[g(x)=x-3+\sqrt{x^2-x},\quad x\geqslant1\]

Question 1

Dérivabilité à droite en 1.

Méthode et stratégie.

Écrire g(1+h)−g(1) pour h>0 et simplifier le taux d’accroissement ; une limite infinie n’est pas une dérivée finie.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On a \(g(1)=-2\). À droite de 1, posons \(h=x-1>0\), donc \(x=1+h\). Lorsque \(x\to1^+\), on a \(h\to0^+\). Le taux d’accroissement est

\[\frac{g(1+h)-g(1)}h=1+\frac{\sqrt{h(1+h)}}h=1+\frac{\sqrt{1+h}}{\sqrt h}.\]

Le numérateur de la dernière fraction a pour limite 1 et le dénominateur pour limite \(0^+\). Ainsi

\[\boxed{\lim_{x\to1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=+\infty.}\]

Il n’y a pas de dérivée à droite finie en 1. La courbe admet une demi-tangente verticale en \((1,-2)\).

Question 2

Variations de \(g\).

Méthode et stratégie.

Dériver sur ]1;+∞[, examiner le signe, puis utiliser la continuité en 1 et la limite à l’infini.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(]1;+\infty[\), \(g'(x)=1+\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}>0\). Avec la continuité en 1, \(g\) est strictement croissante sur \([1;+\infty[\). Sa limite à l’infini est \(+\infty\).

\[\boxed{g([1;+\infty[)=[-2;+\infty[}\]

Question 3a

Existence d’une réciproque.

Méthode et stratégie.

La continuité et la stricte monotonie donnent la réciproque ; préciser son domaine à partir de g(1) et de la limite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La continuité et la stricte croissance de \(g\) sur \([1;+\infty[\) permettent d’appliquer le théorème de la réciproque.

\[\boxed{g^{-1}\text{ définie sur }J=[-2;+\infty[}\]

Question 3b

Calculer \((g^{-1})'(\sqrt2-1)\).

Méthode et stratégie.

Chercher l’antécédent de √2−1 et vérifier que g′ y est définie et non nulle avant d’inverser sa valeur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(g(2)=\sqrt2-1\), on a \(g'(2)=1+\frac{3}{(2\sqrt2)}\).

\[\boxed{(g^{-1})'(\sqrt2-1)=\frac{2\sqrt2}{2\sqrt2+3}}\]

Exercice 34 — Réciproque du cosinus double

Énoncé. \[f(x)=\cos(2x),\quad I=[0;\frac{\pi}{2}]\]

Question 1

Montrer l’existence de la réciproque.

Méthode et stratégie.

Vérifier la continuité et la stricte décroissance sur l’intervalle restreint ; calculer les valeurs aux deux extrémités.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction est continue ; \(f'(x)=-2\sin(2x)<0\) pour \(0<x<\frac{\pi}{2}\). Elle décroît de \(f(0)=1\) à \(f(\frac{\pi}{2})=-1\).

\[\boxed{J=[-1;1]}\]

Question 2

Dérivée de la réciproque en 0.

Méthode et stratégie.

Résoudre cos(2a)=0 dans l’intervalle choisi, calculer f′(a), puis appliquer le théorème de la réciproque.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On a \(f(\frac{\pi}{4})=0\) et \(f'(\frac{\pi}{4})=-2\). Par la formule de dérivation de la fonction réciproque :

\[\boxed{(f^{-1})'(0)=-\frac12}\]

Exercice 35 — Réciproque d’un polynôme

Énoncé. \[f(x)=x^3-3x-3\]

Question 1

Variations de \(f\).

Méthode et stratégie.

Factoriser le polynôme dérivé et faire un tableau de signes autour de ses deux racines.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On a \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\). Elle est positive sur \(]-\infty;-1[\) et \(]1;+\infty[\), et négative sur \(]-1;1[\). De plus \(f(-1)=-1\), \(f(1)=-5\).

\[\boxed{\nearrow\ ]-\infty;-1],\quad\searrow[-1;1],\quad\nearrow[1;+\infty[}\]

Question 2a

Réciproque de la restriction \(g=f|_{[1;+\infty[}\).

Méthode et stratégie.

Se placer sur la restriction demandée, où la fonction est continue et strictement croissante ; calculer son image.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Cette restriction est continue et strictement croissante de \(-5\) vers \(+\infty\).

\[\boxed{J=[-5;+\infty[}\]

Question 2b

Une unique racine entre 2 et 3.

Méthode et stratégie.

Séparer existence par le théorème des valeurs intermédiaires et unicité par la stricte monotonie.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \([2;3]\), \(g\) est continue et strictement croissante, et \(g(2)=-1<0<15=g(3)\).

\[\boxed{\exists!\ \alpha\in]2;3[\colon g(\alpha)=0}\]

Question 2c

Dérivée de la réciproque en 0.

Méthode et stratégie.

Utiliser la racine α comme antécédent de 0, puis justifier que g′(α) n’est pas nulle.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(g(\alpha)=0\) et \(g'(\alpha)=3(\alpha^2-1)>0\), appliquer la formule de la réciproque.

\[\boxed{(g^{-1})'(0)=\frac1{3(\alpha^2-1)}}\]

Exercice 36 — Réciproque d’une fonction sur \(]0;+\infty[\)

Énoncé. \[f(x)=x+2\sqrt x-\frac1x,\quad x>0\]

Question 1

Dérivée et variations.

Méthode et stratégie.

Calculer chaque terme de la dérivée sur x>0 ; additionner leurs signes avant d’étudier les limites.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour tout \(x>0\), \(f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt x}+\frac{1}{x^2}>0\). La fonction est strictement croissante.

\[\boxed{f'(x)=1+\frac1{\sqrt x}+\frac1{x^2}>0}\]

Question 2

Réciproque et image.

Méthode et stratégie.

Combiner continuité, stricte croissance et limites aux deux bornes pour déterminer l’image et l’existence de la réciproque.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les limites sont \(\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Continuité et stricte croissance assurent la bijection sur \(\mathbb R\).

\[\boxed{J=\mathbb R}\]

Question 3

Calculer \((f^{-1})'(2)\).

Méthode et stratégie.

Vérifier que f(1)=2, puis calculer f′(1) pour obtenir le nombre dérivé de la réciproque.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On a \(f(1)=1+2-1=2\) et \(f'(1)=1+1+1=3\).

\[\boxed{(f^{-1})'(2)=\frac13}\]

Exercice 37 — Réciproque d’une racine cubique de cosinus

Énoncé. \[f(x)=\sqrt[3]{2\cos x-1},\quad I=[0;\frac{\pi}{3}]\]

Question 1

Continuité de \(f\) sur \(I\).

Méthode et stratégie.

Utiliser la continuité du cosinus et de la racine cubique réelle, même lorsque son argument s’annule.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction \(2\cos x-1\) est continue ; la racine cubique est continue sur \(\mathbb R\). Leur composée est continue sur \(I\).

\[\boxed{f\text{ est continue sur }I}\]

Question 2

Réciproque et image.

Méthode et stratégie.

Étudier successivement la monotonie du cosinus composé et celle de la racine cubique ; évaluer les extrémités.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(I\), \(\cos x\) est strictement décroissante, donc \(f\) l’est également. Elle prend les valeurs \(f(0)=1\) et \(f(\frac{\pi}{3})=0\).

\[\boxed{J=[0;1]}\]

Question 3a

Calculer \(f(\frac{\pi}{6})\) et prouver la dérivabilité de la réciproque.

Méthode et stratégie.

Calculer l’image de \(\frac{\pi}{6}\) puis vérifier la dérivabilité et la non-nullité de f′ en ce point intérieur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On a \(2\cos(\frac{\pi}{6})-1=\sqrt3-1>0\). Sur \(]0;\frac{\pi}{3}[\) : \(f'(x)=\frac{-2\sin x}{3(2\cos x-1)^{\frac{2}{3}}}\), quantité non nulle en \(\frac{\pi}{6}\).

\[\boxed{f(\frac{\pi}{6})=\sqrt[3]{\sqrt3-1}}\]

Question 3b

Nombre dérivé de la réciproque.

Méthode et stratégie.

Appliquer la formule au point image calculé précédemment, en conservant une écriture exacte des racines cubiques.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Au point \(\frac{\pi}{6}\), \(f'(\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{[3(\sqrt3-1)^{\frac{2}{3}}]}\).

\[\boxed{(f^{-1})'(\sqrt[3]{\sqrt3-1})=-3(\sqrt3-1)^{\frac{2}{3}}}\]

MATHS PARCOURS MAROC

Rechercher dans ce blog

Correction des exercices 32 à 37 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction des exercices 32 à 37 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Exercice 32 — Réciproque de \(x\sqrt{x^3+1}\)

Question 1a

Question 1b

Question 2

Question 3a

Question 3b

Question 3c

Exercice 33 — Réciproque d’une fonction racine

Question 1

Question 2

Question 3a

Question 3b

Exercice 34 — Réciproque du cosinus double

Question 1

Question 2

Exercice 35 — Réciproque d’un polynôme

Question 1

Question 2a

Question 2b

Question 2c

Exercice 36 — Réciproque d’une fonction sur \(]0;+\infty[\)

Question 1

Question 2

Question 3

Exercice 37 — Réciproque d’une racine cubique de cosinus

Question 1

Question 2

Question 3a

Question 3b

Commentaires

Enregistrer un commentaire