Correction des exercices 46 à 49 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 46 à 49 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Asymptotes, branches infinies et fonctions périodiques.

Une branche infinie se recherche à chaque borne du domaine. Les limites finies à l’infini donnent des asymptotes horizontales ; pour une droite oblique, il faut vérifier que la différence entre la fonction et la droite tend vers zéro.

Les exercices distinguent aussi une direction de branche parabolique d’une véritable asymptote. Pour les fonctions périodiques, on vérifie l’égalité \(f(x+T)=f(x)\) et la stabilité du domaine avant de réduire l’intervalle d’étude.

Exercice 46 — Asymptotes parallèles aux axes

\[f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-3}\]

Question 1

Déterminer les asymptotes.

Méthode et stratégie.

Lire les limites infinies aux bornes finies puis soustraire la droite candidate aux infinis ; une direction ne suffit pas à prouver une asymptote.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{3\}\). Au voisinage de 3, le numérateur tend vers \(\sqrt{37}>0\) : la droite \(x=3\) est une asymptote verticale.

\[\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-3}=\frac{|x|\sqrt{4+\frac1{x^2}}}{x\left(1-\frac3x\right)}.\]\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=2,\qquad\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2.\]

\[\boxed{x=3,\quad y=2,\quad y=-2}\]

Les signes des deux limites au voisinage de 3 sont distincts :

\[\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty.\]

Pour les limites à l’infini, le facteur \(\frac{|x|}{x}\) vaut 1 à droite et -1 à gauche ; c’est pourquoi les deux asymptotes horizontales ont des ordonnées opposées.

Exercice 47 — Deux asymptotes obliques

\[f(x)=\sqrt{x^2+5}+3x\]

Question 1

Déterminer les deux asymptotes.

Méthode et stratégie.

Pour chaque droite proposée, calculer la différence entre la fonction et cette droite et vérifier sa limite nulle.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

À droite, \(f(x)-4x=\frac{5}{(\sqrt{x^2+5}+x)},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-4x\right)=0\). À gauche, \(f(x)-2x=\frac{5}{(\sqrt{x^2+5}-x)},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-2x\right)=0\).

\[\boxed{y=4x\ (x\to+\infty),\qquad y=2x\ (x\to-\infty)}\]

Les dénominateurs employés dans les deux rationalisations sont positifs et tendent vers \(+\infty\) du côté considéré. Les différences avec les droites tendent donc bien vers 0. Comme ces différences restent positives, la courbe se situe au-dessus de chacune de ses asymptotes.

Exercice 48 — Branches infinies

Étudier les branches infinies de la courbe de chaque fonction.

Méthode. Examiner les bornes du domaine, puis les limites de \(\frac{f(x)}x\) et des différences avec les droites candidates.

Question 1

\[f(x)=2x-1+\frac4{x^2}\]

Méthode et stratégie.

Séparer la partie affine du terme correctif et examiner aussi le comportement en 0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \(x\ne0\). Comme \(\lim_{x\to0}\left(\frac{4}{x^2}\right)=+\infty\) en 0, \(x=0\) est asymptote verticale. Comme \[f(x)-(2x-1)=\frac{4}{x^2},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-(2x-1)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(2x-1)\right)=0\] en chaque infini, \(y=2x-1\) est asymptote oblique.

La seule valeur interdite est 0. Les termes \(2x-1\) restent finis quand x tend vers 0 et \(\frac{4}{x^2}\) tend vers \(+\infty\) des deux côtés : les deux branches montent le long de l’asymptote verticale. À l’infini, la différence \(\frac{4}{x^2}\gt 0\) montre aussi que la courbe reste au-dessus de \(y=2x-1\).

Question 2

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}+2x\]

Méthode et stratégie.

Comparer d’abord \(\frac{f(x)}x\) à une constante, puis tester la différence à la droite correspondante : la racine cubique peut encore diverger.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(\mathbb R\), \[\frac{f(x)}{x}=2+\frac{\sqrt[3]{x^2+1}}{x},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=2\] aux deux infinis, tandis que \[f(x)-2x=\sqrt[3]{x^2+1},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-2x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-2x\right)=+\infty\]. Branche parabolique de direction \(y=2x\), sans asymptote.

Pour justifier le quotient, pour \(x\ne0\) on écrit :

\[\frac{\sqrt[3]{x^2+1}}x=\sqrt[3]{\frac1x+\frac1{x^3}},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x^2+1}}x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x^2+1}}x\right)=0\]

La limite de la différence avec \(2x\) étant infinie, aucune constante b ne peut rendre \(f(x)-(2x+b)\) de limite nulle.

Question 3

\[f(x)=\frac{1-2x}{x^2+1}\]

Méthode et stratégie.

Comparer les degrés du numérateur et du dénominateur aux deux infinis ; vérifier que le dénominateur ne s’annule pas.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le dénominateur est strictement positif et \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=0\) aux deux infinis : asymptote horizontale \(y=0\).

On divise le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :

\[f(x)=\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=0\quad(x\to\pm\infty).\]

Le dénominateur initial ne s’annule jamais, donc il n’existe pas d’asymptote verticale.

Question 4

\[f(x)=\frac{2x^2+x+3}{x+1}\]

Méthode et stratégie.

Effectuer la division du numérateur par x+1 ; le reste permet de contrôler l’asymptote oblique et le pôle.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\ne-1\), \(f(x)=2x-1+\frac{4}{(x+1)}\). Donc \(y=2x-1\) est asymptote aux deux infinis et \(x=-1\) est asymptote verticale.

La décomposition est vérifiée par \((2x-1)(x+1)+4=2x^2+x+3\). Au voisinage de -1, le terme \(\frac{4}{(x+1)}\) tend vers \(-\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite ; les autres termes restent finis.

Question 5

\[f(x)=\frac{2x+5}{x^3-8}\]

Méthode et stratégie.

Factoriser x³−8 pour le pôle réel et comparer les degrés pour les limites à l’infini.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En divisant par \(x^3\), on obtient \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=0\) aux deux infinis : \(y=0\) est asymptote horizontale. En 2, le numérateur tend vers 9 et le dénominateur s’annule : \(x=2\) est asymptote verticale.

Pour les limites à l’infini :

\[f(x)=\frac{\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}}{1-\frac{8}{x^3}},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=0\]

On factorise \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\), où le second facteur vaut \((x+1)^2+3\gt 0\). Près de 2, le numérateur est positif, donc \(\lim_{x\to2^-}\left(f(x)\right)=-\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite.

Question 6

\[f(x)=3x-1+\frac1{\sqrt x}\]

Méthode et stratégie.

Préciser le domaine positif ; distinguer le pôle en 0 de la droite approchée à l’infini.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \(]0;+\infty[\). En \(0^+\), \(\lim_{x\to0^+}\left(f(x)\right)=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\). En \(+\infty\), \(f(x)-(3x-1)=\frac{1}{\sqrt x},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(3x-1)\right)=0\) : asymptote \(y=3x-1\).

Le domaine n’autorise qu’une approche de 0 par la droite. Le terme \(\frac{1}{\sqrt x}\) tend alors vers \(+\infty\). À l’infini, la différence avec \(3x-1\) est positive et tend vers 0 : la courbe est au-dessus de l’asymptote oblique.

Question 7

\[f(x)=\sqrt[3]{x^3-x}+x\]

Méthode et stratégie.

Pour isoler une droite, utiliser la différence de cubes afin de contrôler la différence entre la racine cubique et x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]{x^3-x}\). On a \(\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{u}{x}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{u}{x}\right)=1\) aux deux infinis et \(u-x=-\frac{x}{(u^2+ux+x^2)},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(u-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(u-x\right)=0\). Ainsi \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-2x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-2x\right)=0\) : asymptote \(y=2x\) aux deux infinis.

L’identité utilisée est \((u-x)(u^2+ux+x^2)=u^3-x^3=-x\). Pour \(x\ne0\) assez grand en valeur absolue :

\[u-x=-\frac{\frac{1}{x}}{(\frac{u}{x})^2+\frac{u}{x}+1},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(u-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(u-x\right)=0\qquad\frac{u}{x}=\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{u}{x}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{u}{x}\right)=1\]

Cette écriture justifie la limite aux deux infinis sans développement limité.

Question 8

\[f(x)=2x-\sqrt{x^2+1}\]

Méthode et stratégie.

Utiliser \(\sqrt{x^2}\)=|x| : les droites candidates diffèrent selon le signe de x. Rationaliser ensuite les restes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En \(+\infty\), \(f(x)-x=x-\sqrt{x^2+1}=-\frac{1}{(x+\sqrt{x^2+1})},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=0\). En \(-\infty\), \(f(x)-3x=-x-\sqrt{x^2+1}=-\frac{1}{(\sqrt{x^2+1}-x)},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-3x\right)=0\). Asymptotes respectives : \(y=x\) et \(y=3x\).

La fonction est définie sur R et continue en tout point fini : il n’y a pas d’asymptote verticale. Les rationalisations utilisent \((\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)=1\). Les deux différences calculées sont négatives : la courbe est sous les deux asymptotes.

Question 9

\[f(x)=\sqrt{x^2+2x}-5x-3\]

Méthode et stratégie.

Déterminer les deux composantes du domaine puis rationaliser la racine séparément aux deux infinis.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \(]-\infty;-2]\cup[0;+\infty[\). L’identité \((\sqrt{x^2+2x}-(x+1))(\sqrt{x^2+2x}+x+1)=-1\) donne en \(+\infty\) l’asymptote \(y=-4x-2\). En \(-\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)=0\), d’où l’asymptote \(y=-6x-4\). Les valeurs aux bornes finies sont finies.

À gauche, on utilise explicitement :

\[\sqrt{x^2+2x}+x+1=-\frac1{\sqrt{x^2+2x}-x-1},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)=0\]

Le dénominateur tend vers \(+\infty\) en \(-\infty\). À droite, la différence \(\sqrt{x^2+2x}-x-1\) tend aussi vers 0 par l’autre rationalisation. Aux bornes finies -2 et 0, la racine vaut 0 : aucune limite infinie n’y apparaît.

Question 10

\[f(x)=x\sqrt x+2\]

Méthode et stratégie.

Comparer f(x) et \(\frac{f(x)}x\) à l’infini pour identifier une branche parabolique plutôt qu’une asymptote.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \([0;+\infty[\). En \(+\infty\), \(\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=+\infty\) et \(\frac{f(x)}{x}=\sqrt x+\frac{2}{x},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=+\infty\). Branche parabolique de direction verticale.

La fonction est continue en 0, avec \(f(0)=2\) : aucune asymptote verticale. Pour une droite \(y=ax+b\), une limite nulle de la différence imposerait \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=a\) fini ; la limite infinie du quotient exclut donc toute asymptote affine.

Question 11

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2-4}\]

Méthode et stratégie.

Calculer la limite de f puis celle de \(\frac{f(x)}x\) pour distinguer direction horizontale et asymptote horizontale.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \(\mathbb R\). Aux deux infinis, \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=+\infty\) et \(\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=0\). Branches paraboliques de direction horizontale.

On justifie le quotient aux deux infinis par l’identité valable pour \(x\ne0\) :

\[\frac{\sqrt[3]{x^2-4}}x=\sqrt[3]{\frac1x-\frac4{x^3}},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x^2-4}}x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x^2-4}}x\right)=0\]

La fonction elle-même tend vers \(+\infty\), car \(\lim_{x\to-\infty}\left(x^2-4\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-4\right)=+\infty\). La direction horizontale ne correspond donc pas à une asymptote horizontale.

Question 12

\[f(x)=x-\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}\]

Méthode et stratégie.

Étudier le signe du quotient sous la racine, ses bornes finies puis la différence à une droite aux infinis.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \(]-\infty;-3]\cup]2;+\infty[\). En \(2^+\), \(\lim_{x\to2^+}\left(f(x)\right)=-\infty\) : asymptote verticale \(x=2\). Aux deux infinis, \[f(x)-(x-1)=1-\sqrt{\frac{(x+3)}{(x-2)}},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-(x-1)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(x-1)\right)=0\] : asymptote \(y=x-1\).

Pour contrôler la différence avec la droite, on rationalise :

\[1-\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}=\frac{-5}{(x-2)\left(1+\sqrt{\frac{(x+3)}{(x-2)}}\right)},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(1-\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}\right)=0\]

Au point -3, la racine vaut 0 et \(f(-3)=-3\) : ce bord du domaine ne donne pas d’asymptote verticale.

Question 13

\[f(x)=\frac{x^3-x^2+3}{x^2-4}\]

Méthode et stratégie.

Commencer par une division polynomiale ; contrôler le reste aux infinis et les pôles x=−2 et x=2.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \(\mathbb R\setminus\{-2;2\}\). La division donne \(f(x)=x-1+\frac{(4x-1)}{(x^2-4)}\), d’où l’asymptote \(y=x-1\) aux deux infinis. Le numérateur ne s’annule pas en \(\pm2\) : asymptotes verticales \(x=-2\) et \(x=2\).

La division est contrôlée par \((x-1)(x^2-4)+(4x-1)=x^3-x^2+3\). Près de 2, le numérateur tend vers 7 ; près de -2, il tend vers -9. On obtient :

\[\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.\]

Question 14

\[f(x)=\sqrt[3]{x^4+x}+\sqrt x\]

Méthode et stratégie.

Vérifier le domaine commun des racines et comparer la croissance de f à celle de x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \([0;+\infty[\). Pour \(x>0\), \[\frac{f(x)}{x}=\sqrt[3]{x+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{\sqrt x},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=+\infty\]. Branche parabolique de direction verticale en \(+\infty\).

La racine carrée impose \(x\ge0\), tandis que la racine cubique ne crée aucune restriction supplémentaire. En 0, la fonction vaut 0 et reste continue. À l’infini, les deux termes sont positifs et le premier quotient tend vers \(+\infty\), ce qui donne la direction verticale sans asymptote affine.

Question 15

\[f(x)=x\sqrt[3]{2-x}\]

Méthode et stratégie.

Séparer les deux infinis et conserver le signe de la racine cubique ; examiner le quotient \(\frac{f(x)}x\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \(\mathbb R\). Aux deux infinis, \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=-\infty\) et \[|\frac{f(x)}{x}|=|\sqrt[3]{2-x}|,\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(|\frac{f(x)}{x}|\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(|\frac{f(x)}{x}|\right)=+\infty\]. Branches paraboliques de direction verticale.

En \(+\infty\), x est positif et \(\sqrt[3]{2-x}\) tend vers \(-\infty\), d’où \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=-\infty\). En \(-\infty\), x est négatif et la racine tend vers \(+\infty\), d’où encore \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=-\infty\). Le quotient vaut exactement \(\sqrt[3]{2-x}\), de module infini.

Question 16

\[f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt x\]

Méthode et stratégie.

Le domaine est positif : comparer la somme de racines à x sans transformer une direction en asymptote.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \([0;+\infty[\). En \(+\infty\), \(\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=+\infty\) et \[\frac{f(x)}{x}=\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+\frac{1}{\sqrt x},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=0\]. Branche parabolique de direction horizontale.

La fonction est continue sur \([0;+\infty[\) et vaut \(\sqrt2\) en 0. Le quotient s’écrit :

\[\frac{f(x)}x=\sqrt{\frac1x+\frac2{x^2}}+\frac1{\sqrt x},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}x\right)=0\quad(x\to+\infty).\]

Comme \(f(x)\ge\sqrt x,\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt x\right)=+\infty\), la branche a une direction horizontale mais aucune asymptote horizontale.

Question 17

\[f(x)=3x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{3}{2}}\]

Méthode et stratégie.

Sur le domaine commun des puissances réelles, isoler le terme dominant puis étudier \(\frac{f(x)}x\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Domaine : \([0;+\infty[\). En \(+\infty\), \(f(x)=x^{\frac{3}{2}}(3x^{-\frac{5}{6}}-2),\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=-\infty\) et \(\frac{f(x)}{x}=3x^{-\frac{1}{3}}-2\sqrt x,\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=-\infty\). Branche parabolique de direction verticale.

On isole le signe du terme principal sans utiliser d’équivalent :

\[f(x)=x^{\frac{3}{2}}(3x^{-\frac{5}{6}}-2),\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=-\infty\]

La parenthèse tend vers -2 et le facteur \(x^{\frac{3}{2}}\) vers \(+\infty\). La limite infinie du quotient écarte une asymptote affine ; la fonction reste continue et finie en 0.

Question 18

\[f(x)=\begin{cases}x\sqrt{x^2+1},&x\le0,\\\sqrt{x+1}-1,&x>0.\end{cases}\]

Méthode et stratégie.

Choisir la bonne branche à chaque infini et étudier séparément ses limites et celles de \(\frac{f(x)}x\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En \(-\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)\right)=-\infty\) et \(\frac{f(x)}{x}=\sqrt{x^2+1},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=+\infty\) : direction verticale. En \(+\infty\), \(\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)=+\infty\) et \(\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=0\) : direction horizontale. Aucune asymptote affine.

À gauche, le produit d’un nombre négatif de module infini par \(\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}\right)=+\infty\) tend vers \(-\infty\). À droite, \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-1\right)=+\infty\), et la quantité conjuguée donne \(\frac{(\sqrt{x+1}-1)}{x}=\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)}\). Au raccordement en 0, les deux expressions ont la même limite nulle : aucune asymptote verticale.

Exercice 49 — Périodes et ensembles d’étude

Déterminer une période puis un ensemble d’étude pour chaque fonction.

Question 1

\[f(x)=\sin(\frac{x}{2})\cos(3x)\]

Méthode et stratégie.

Une fonction périodique non constante ne tend pas vers une limite à l’infini ; vérifier d’abord période et non-constance.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les deux facteurs admettent la période commune \(4\pi\) : \(f(x+4\pi)=f(x)\). De plus, f est impaire ; un ensemble d’étude est \([0;2\pi]\).

La période commune se vérifie dans chaque facteur : \(\sin(\frac{(x+4\pi)}{2})=\sin(\frac{x}{2}+2\pi)\) et \(\cos(3x+12\pi)=\cos(3x)\). La parité impaire permet de reconstruire les valeurs sur \([-2\pi;0]\) à partir de celles sur \([0;2\pi]\), puis la périodicité complète la courbe.

Question 2

\[f(x)=\cos(4x+\frac{\pi}{6})\]

Méthode et stratégie.

Utiliser la période de ce cosinus et deux suites de points donnant des valeurs différentes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\(f(x+\frac{\pi}{2})=\cos(4x+2\pi+\frac{\pi}{6})=f(x)\). Une période est \(\frac{\pi}{2}\) ; un intervalle d’étude est \([0;\frac{\pi}{2}]\).

Question 3

\[f(x)=\sin(2x)-\cos^2x\]

Méthode et stratégie.

Mettre à profit la périodicité ; tester deux valeurs sur une période pour exclure une limite unique.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\(\sin(2x+2\pi)=\sin(2x)\) et \(\cos^2(x+\pi)=\cos^2x\). Donc \(\pi\) est une période et \([0;\pi]\) est un intervalle d’étude.

Le domaine est R. Pour tout x, \(f(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)-\cos^2(x+\pi)=\sin(2x)-\cos^2x\). Une étude sur un intervalle de longueur π, par exemple \([0;\pi]\), permet donc de retrouver toutes les valeurs par translation.

Question 4

\[f(x)=\tan^2(\frac{x}{2})-\cos(2x)\]

Méthode et stratégie.

Repérer les pôles de la tangente, puis distinguer asymptotes verticales et comportement périodique loin de ces pôles.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{\pi+2k\pi:k\in\mathbb Z\}\). Comme \(\tan(\frac{x}{2}+\pi)=\tan(\frac{x}{2})\), \(2\pi\) est une période. La fonction est paire : un ensemble d’étude est \([0;\pi[\).

MATHS PARCOURS MAROC

Rechercher dans ce blog