Correction des exercices 57 à 61 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 57 à 61 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Al Moufid • Fonction réciproque

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle possède une fonction réciproque définie sur son image. Les exercices suivants permettent de déterminer cette image, de calculer la réciproque et d'étudier les courbes représentatives associées.

Chaque solution détaille les conditions d'existence, le choix correct d'une branche lors d'une résolution algébrique et le contrôle des domaines.

Rappel — Théorème de la fonction réciproque

Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors elle réalise une bijection de \(I\) sur l'intervalle \(J=f(I)\).

Elle admet donc une fonction réciproque \(f^{-1}\), définie sur \(J\), telle que :

\[ f^{-1}(y)=x \quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=y,\qquad x\in I,\quad y\in J. \]

La fonction \(f^{-1}\) est continue et possède le même sens de variation que \(f\). Les courbes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).

Exercice 57

Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[\frac14;+\infty[\) par :

\[ f(x)=2x^2-x+1. \]

1) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

2) Dresser le tableau de variations de \(f^{-1}\).

3) Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).

4) Tracer les courbes de \(f\) et de \(f^{-1}\) dans le même repère.

Question 1 — Existence de la réciproque

Méthode et stratégie.

Vérifier continuité et stricte croissance sur l’intervalle restreint ; déterminer l’image à partir de la valeur à gauche et de la limite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction \(f\) est polynomiale : elle est donc continue sur \(I\).

Pour tout \(x\in I\) :

\[ f'(x)=4x-1\geq0. \]

Cette dérivée est strictement positive pour \(x>\frac14\). Ainsi \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

Calculons les valeurs aux bornes :

\[ f\left(\frac14\right) =\frac78,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

Par continuité et stricte croissance :

\[ J=f(I)=\left[\frac78;+\infty\right[. \]

\[ \boxed{ f^{-1}:J\longrightarrow I \text{ existe, avec } J=\left[\frac78;+\infty\right[. } \]

Question 2 — Variations de la réciproque

Méthode et stratégie.

La réciproque garde le sens de variation ; échanger les rôles des valeurs et des antécédents aux bornes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La réciproque d'une fonction continue et strictement croissante est elle-même continue et strictement croissante.

\[ f^{-1}\left(\frac78\right)=\frac14, \qquad \lim_{x\to+\infty}f^{-1}(x)=+\infty. \]

\[ \boxed{ f^{-1}\text{ est strictement croissante sur }\left[\frac78;+\infty\right[. } \]

Son tableau de variations indique une croissance de \(\frac14\) vers \(+\infty\), lorsque \(x\) parcourt \([\frac78;+\infty[\).

Question 3 — Expression de la réciproque

Méthode et stratégie.

Compléter le carré du polynôme puis choisir la racine autorisée par x≥\(\frac{1}{4}\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(y=f(x)\), avec \(x\geq\frac14\) et \(y\geq\frac78\).

\[ \begin{aligned} y&=2x^2-x+1\\ &\Longleftrightarrow 8y-7=(4x-1)^2. \end{aligned} \]

Comme \(x\geq\frac14\), nous avons \(4x-1\geq0\). Il faut donc retenir la racine carrée positive :

\[ 4x-1=\sqrt{8y-7}. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ f^{-1}(y)= \frac{1+\sqrt{8y-7}}4, \qquad y\in J. } \]

Pourquoi un seul signe ?

Une équation du second degré peut fournir deux expressions algébriques. Le domaine initial \(I\) impose ici \(4x-1\geq0\), et élimine la branche négative.

Question 4 — Courbes représentatives

Méthode et stratégie.

Pour chaque point de la courbe de f, échanger abscisse et ordonnée ; la symétrie se fait par rapport à y=x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La courbe de \(f\) est la branche de la parabole \(y=2x^2-x+1\) correspondant à \(x\geq\frac14\).

Elle commence au point :

\[ A\left(\frac14;\frac78\right). \]

La courbe de la fonction réciproque commence au point symétrique :

\[ A'\left(\frac78;\frac14\right). \]

Les deux courbes sont symétriques par rapport à \(y=x\). Leurs coordonnées sont échangées : tout point \((a;f(a))\) fournit le point \((f(a);a)\) sur la courbe de \(f^{-1}\).

\[ \boxed{ \mathcal C_{f^{-1}} \text{ est le symétrique de } \mathcal C_f\text{ par rapport à }y=x. } \]

Exercice 58

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=\frac{3-x^2}{1+x^2}. \]

1) Vérifier que \(f(x)=-1+\frac4{1+x^2}\).

2) Sans utiliser la dérivée, montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\) (formulation imprimée).

3.a) Pour \(g\), restriction de \(f\) à \(\mathbb R^+\), montrer que \(g\) admet une fonction réciproque sur un intervalle \(J\).

3.b) Calculer \(g^{-1}\).

Question 1

Méthode et stratégie.

Mettre −1 au même dénominateur pour vérifier l’identité avant de l’utiliser dans les questions suivantes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\[ \begin{aligned} f(x) &=\frac{3-x^2}{1+x^2}\\ &=\frac{-(1+x^2)+4}{1+x^2}\\ &=-1+\frac4{1+x^2}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R,\quad f(x)=-1+\frac4{1+x^2}. } \]

Cette écriture facilite l'étude de la monotonie sans dérivation.

Question 2 — Sens de variation

Méthode et stratégie.

Comparer f(a) et f(b) pour 0≤a<b, sans dériver ; le passage aux inverses de nombres positifs renverse l’ordre.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Soient \(a,b\in\mathbb R^+\) tels que \(a\lt b\).

Puisque la fonction carré est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\), on obtient :

\[ a^2\lt b^2 \quad\Longrightarrow\quad 1+a^2\lt1+b^2. \]

Les dénominateurs étant positifs, le passage aux inverses renverse l'ordre :

\[ \frac4{1+a^2}>\frac4{1+b^2}. \]

En ajoutant \(-1\) :

\[ f(a)>f(b). \]

\[ \boxed{ f\text{ est strictement décroissante sur }\mathbb R^+. } \]

Attention au sens de variation

L'énoncé imprimé demande une stricte croissance. Le calcul prouve au contraire une stricte décroissance. On peut également constater que \(f(0)=3\) et \(f(1)=1\).

Question 3.a — Existence de la réciproque

Méthode et stratégie.

Utiliser la continuité et le sens de variation réellement démontré ; vérifier si la limite −1 peut être atteinte.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction \(g\), restriction de \(f\) à \(\mathbb R^+\), est continue sur \([0;+\infty[\) et strictement décroissante.

\[ g(0)=3, \qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=-1. \]

La limite \(-1\) n'est pas atteinte, car pour tout réel \(x\) :

\[ g(x)+1=\frac4{1+x^2}>0. \]

L'image de \(\mathbb R^+\) est donc :

\[ \boxed{ J=]-1;3],\qquad g^{-1}:J\longrightarrow\mathbb R^+. } \]

Question 3.b — Expression de la réciproque

Méthode et stratégie.

Résoudre g(x)=y avec x≥0 ; le domaine de départ impose le signe de la racine carrée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Soit \(y\in]-1;3]\). Résolvons \(g(x)=y\) avec \(x\geq0\).

\[ \begin{aligned} y&=-1+\frac4{1+x^2}\\ &\Longleftrightarrow (y+1)(1+x^2)=4\\ &\Longleftrightarrow x^2=\frac{3-y}{y+1}. \end{aligned} \]

Comme \(x\geq0\), seul le signe positif est autorisé :

\[ \boxed{ g^{-1}(y)= \sqrt{\frac{3-y}{y+1}}, \qquad y\in]-1;3]. } \]

Exercice 59

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x^3+x. \]

1) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(g\) sur un intervalle \(J\).

2) Dresser le tableau de variations de \(g\).

3) Montrer que \((g(x))^3+g(x)=x\).

4) Montrer que \(g(x)\leq x\) pour \(x\in\mathbb R^+\), puis calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{(g(x))^3}. \]

Question 1

Méthode et stratégie.

Justifier la continuité, la stricte croissance et les deux limites infinies avant d’annoncer une bijection de R sur R.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction \(f\) est polynomiale, donc continue sur \(\mathbb R\). De plus :

\[ f'(x)=3x^2+1>0. \]

Elle est donc strictement croissante sur \(\mathbb R\).

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

Par continuité et stricte monotonie :

\[ \boxed{ J=\mathbb R,\qquad g=f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. } \]

Question 2 — Variations de \(g\)

Méthode et stratégie.

Utiliser le sens de variation conservé par la réciproque et échanger les valeurs aux bornes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(f\) est strictement croissante de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\), sa fonction réciproque \(g\) est également strictement croissante.

\[ g(0)=0, \quad \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty. \]

\[ \boxed{ g\text{ est continue et strictement croissante sur }\mathbb R. } \]

Question 3 — Identité vérifiée par \(g\)

Méthode et stratégie.

Partir de f(g(x))=x et remplacer f par son expression ; aucune formule explicite de g n’est nécessaire.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Par définition de la fonction réciproque :

\[ f(g(x))=x,\qquad x\in\mathbb R. \]

En remplaçant l'expression de \(f\) :

\[ f(g(x))=(g(x))^3+g(x). \]

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R,\quad (g(x))^3+g(x)=x. } \]

Cette identité permet de travailler avec \(g\) même sans disposer d'une formule explicite simple.

Question 4 — Comparaison et limite

Méthode et stratégie.

Utiliser l’identité précédente et le signe de g sur R+ ; pour la limite, diviser par g(x)³ en justifiant que g(x) tend vers +∞.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Soit \(x\geq0\). Puisque \(g\) est croissante et \(g(0)=0\), nous avons \(g(x)\geq0\).

L'identité précédente donne :

\[ x=(g(x))^3+g(x)\geq g(x). \]

\[ \boxed{ \forall x\geq0,\quad g(x)\leq x. } \]

Calculons maintenant la limite demandée. Pour \(x>0\), \(g(x)>0\), donc :

\[ \begin{aligned} \frac{x}{(g(x))^3} &=\frac{(g(x))^3+g(x)} {(g(x))^3}\\ &=1+\frac1{(g(x))^2}. \end{aligned} \]

Or \(\lim_{x\to+\infty}\left(g(x)\right)=+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\). Par conséquent :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \frac{x}{(g(x))^3}=1. } \]

Méthode

Pour une fonction réciproque dont l'expression explicite est difficile à obtenir, l'identité \(f(g(x))=x\) est souvent plus efficace qu'une résolution directe de l'équation définissant \(g\).

Exercice 60

Pour chaque fonction définie sur l'intervalle indiqué, montrer qu'elle admet une fonction réciproque, déterminer son domaine \(J\) et son expression, puis tracer les deux courbes représentatives dans un même repère.

1) \(f(x)=2x+3,\quad I=\mathbb R\).

2) \(f(x)=1-\frac3{x+2},\quad I=]-2;+\infty[\).

3) \(f(x)=x|x|,\quad I=\mathbb R\).

4) \(f(x)=x^2-4x+3,\quad I=[2;+\infty[\).

Question 1 — Fonction affine

Méthode et stratégie.

Une affine de pente non nulle est bijective sur R ; isoler x dans y=2x+3 et échanger les coordonnées des droites.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction \(f(x)=2x+3\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\), car son coefficient directeur vaut \(2>0\).

Son image est \(J=\mathbb R\). Résolvons \(y=2x+3\) :

\[ x=\frac{y-3}{2}. \]

\[ \boxed{ J=\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}. } \]

Les deux courbes sont des droites symétriques par rapport à \(y=x\).

Question 2 — Fonction rationnelle

Méthode et stratégie.

Étudier la monotonie par comparaison sur x>−2, déterminer les limites puis isoler l’antécédent dans l’équation rationnelle.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction est continue sur \(I\). Si \(-2<a<b\), alors \(0<a+2<b+2\), d'où :

\[ \frac1{a+2}>\frac1{b+2} \quad\Longrightarrow\quad f(a)\lt f(b). \]

Elle est donc strictement croissante.

\[ \lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]

La limite \(1\) n'est pas atteinte. Ainsi \(J=]-\infty;1[\).

\[ \begin{aligned} y&=1-\frac3{x+2}\\ &\Longleftrightarrow x+2=\frac3{1-y}\\ &\Longleftrightarrow x=\frac{1+2y}{1-y}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ J=]-\infty;1[,\qquad f^{-1}(y)=\frac{1+2y}{1-y}. } \]

La courbe de \(f\) possède les asymptotes \(x=-2\) et \(y=1\). Les rôles de ces deux asymptotes sont échangés pour la fonction réciproque.

Question 3 — Fonction \(x|x|\)

Méthode et stratégie.

Enlever la valeur absolue suivant le signe de x ; pour la réciproque, choisir la racine selon le signe de la valeur image.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Nous avons :

\[ f(x)= \begin{cases} -x^2,&x\leq0,\\ x^2,&x\geq0. \end{cases} \]

Sur \(]-\infty;0]\), la fonction \(-x^2\) est strictement croissante. Sur \([0;+\infty[\), la fonction \(x^2\) est strictement croissante.

De plus, les valeurs négatives sont obtenues uniquement pour \(x\lt0\), et les valeurs positives uniquement pour \(x>0\). La fonction est donc strictement croissante sur tout \(\mathbb R\).

Elle est continue et son image est \(\mathbb R\). En résolvant \(y=x|x|\) suivant le signe de \(y\), nous obtenons :

\[ \boxed{ f^{-1}(y)= \begin{cases} -\sqrt{-y},&y\lt0,\\ 0,&y=0,\\ \sqrt y,&y\gt0. \end{cases} } \]

Question 4 — Fonction quadratique restreinte

Méthode et stratégie.

Compléter le carré et utiliser la restriction x≥2 pour sélectionner une seule branche de la parabole.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Nous écrivons :

\[ f(x)=(x-2)^2-1. \]

Sur \(I=[2;+\infty[\), \(x-2\geq0\). La fonction est continue et strictement croissante.

\[ f(2)=-1,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

Son image est donc : \(J=[-1;+\infty[\).

Pour \(y\in J\), l'équation \(y=(x-2)^2-1\) donne :

\[ x-2=\sqrt{y+1}, \]

le signe positif étant imposé par \(x\geq2\).

\[ \boxed{ f^{-1}(y)=2+\sqrt{y+1}, \qquad J=[-1;+\infty[. } \]

Le sommet \((2;-1)\) de la branche de parabole devient \((-1;2)\) sur la courbe réciproque.

Exercice 61

Dans chacun des dix cas suivants, étudier l'existence d'une fonction réciproque de \(f\) sur l'intervalle \(I\), déterminer son image \(J\) et calculer \(f^{-1}\) lorsque celle-ci existe.

1) \(f(x)=\frac{x^2+5x}{x-2}\), \(I=[5;+\infty[\).

2) \(f(x)=-2(x-1)^2+5\), \(I=[1;+\infty[\).

3) \(f(x)=x^2-6x+5\), \(I=]-\infty;3[\).

4) \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\), \(I=\mathbb R^+\).

5) \(f(x)=(\sqrt{3-x}+1)^2\), \(I=]-\infty;3]\).

6) \(f(x)=x-\sqrt{x^2-x}\), \(I=[1;+\infty[\).

7) \(f(x)=2x-\sqrt x\), \(I=[0;\frac1{16}]\).

8) \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\), \(I=]-\infty;-1]\).

9) \(f(x)=x+\sqrt{-x}-1\), \(I=[-\frac14;0]\).

10) \(f(x)=\sqrt{x-2}+x+1\), \(I=[2;+\infty[\).

Cas 1 — Fonction rationnelle

Méthode et stratégie.

Avant de résoudre algébriquement, tester l’injectivité sur l’intervalle : une seule valeur ayant deux antécédents suffit à l’exclure.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Incohérence de l’énoncé imprimé : la fonction n’est pas injective sur l’intervalle donné. La fonction réciproque demandée n’existe donc pas sur cet intervalle.

Avant de chercher une expression de \(f^{-1}\), il faut vérifier que \(f\) est injective sur \(I\).

Or les deux nombres \(5\) et \(\frac{20}{3}\) sont distincts et appartiennent à \([5;+\infty[\).

\[ f(5)=\frac{25+25}{3} =\frac{50}{3}. \]

De même :

\[ f\left(\frac{20}{3}\right) =\frac{50}{3}. \]

La fonction prend donc une même valeur en deux points distincts de l'intervalle demandé.

\[ \boxed{ f\text{ n'est pas injective sur } [5;+\infty[. } \]

Par conséquent, elle n'y admet aucune fonction réciproque.

Pourquoi faut-il vérifier l'injectivité ?

Une fonction réciproque doit associer à chaque valeur de l'image un seul antécédent. Ici, la valeur \(\frac{50}{3}\) possède au moins deux antécédents dans \(I\). L'affirmation demandée dans l'énoncé imprimé est donc impossible.

Image de l’intervalle. L’absence de réciproque n’empêche pas de déterminer l’image demandée. La division donne

\[f(x)=x+7+\frac{14}{x-2},\qquad f'(x)=1-\frac{14}{(x-2)^2}.\]

Sur \([5;+\infty[\), le dénominateur \((x-2)^2\) est positif. La dérivée est négative pour \(5\le x\lt2+\sqrt{14}\), nulle en \(2+\sqrt{14}\), puis positive. La fonction, continue sur I, atteint donc son minimum en ce point et tend vers \(+\infty\) à droite.

\[f(2+\sqrt{14})=9+2\sqrt{14}.\]

\[\boxed{J=f([5;+\infty[)=[9+2\sqrt{14};+\infty[}.\]

La restriction \(f:I\to J\) n’est pas injective. Elle n’admet donc pas de fonction réciproque \(f^{-1}:J\to I\).

Cas 2 — Fonction quadratique décroissante

Méthode et stratégie.

Étudier le carré sur x≥1 puis l’effet du coefficient négatif ; résoudre en tenant compte de x−1≥0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(I=[1;+\infty[\), la fonction \((x-1)^2\) est strictement croissante. Par multiplication par \(-2\), \(f\) est strictement décroissante. Elle est également continue.

\[ f(1)=5,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]

Ainsi \(J=]-\infty;5]\). Pour \(y\leq5\) :

\[ (x-1)^2=\frac{5-y}{2}. \]

Comme \(x-1\geq0\), on retient le signe positif.

\[ \boxed{ J=]-\infty;5],\qquad f^{-1}(y)=1+\sqrt{\frac{5-y}{2}}. } \]

Cas 3 — Branche gauche d'une parabole

Méthode et stratégie.

Compléter le carré en x−3 ; la branche x<3 impose une racine de signe négatif dans la réciproque.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\[ f(x)=(x-3)^2-4. \]

Pour \(x\lt3\), la fonction est continue et strictement décroissante.

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to3^-}f(x)=-4. \]

Comme \(3\notin I\), la valeur \(-4\) n'est pas atteinte. Donc \(J=]-4;+\infty[\).

Résolvons \(y=(x-3)^2-4\). Puisque \(x-3\lt0\) :

\[ x-3=-\sqrt{y+4}. \]

\[ \boxed{ J=]-4;+\infty[,\qquad f^{-1}(y)=3-\sqrt{y+4}. } \]

Cas 4 — Quotient avec racine carrée

Méthode et stratégie.

Prouver la croissance et calculer l’image ; n’élever au carré qu’après avoir fixé les signes de x et de y.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(I=\mathbb R^+\), \(f\) est continue. Pour \(x\geq0\) :

\[ f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}>0. \]

Elle est donc strictement croissante.

\[ f(0)=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]

Comme \(x\lt\sqrt{x^2+1}\), la valeur \(1\) n'est jamais atteinte. Ainsi \(J=[0;1[\).

Pour \(0\leq y\lt1\), l'équation \(y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) avec \(x\geq0\) donne :

\[ y^2(x^2+1)=x^2, \qquad x^2=\frac{y^2}{1-y^2}. \]

\[ \boxed{ J=[0;1[,\qquad f^{-1}(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}. } \]

Cas 5 — Fonction composée

Méthode et stratégie.

Composer les monotonies de 3−x, de la racine et du carré sur les valeurs positives ; isoler les racines dans l’ordre inverse.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(I=]-\infty;3]\), la fonction \(x\mapsto3-x\) est strictement décroissante. La racine carrée est croissante, puis l'addition de \(1\) et le carré conservent le sens de variation, car les quantités obtenues sont positives.

Ainsi \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(I\).

\[ f(3)=1,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \]

Donc \(J=[1;+\infty[\). Pour \(y\geq1\), résolvons :

\[ \begin{aligned} y&=(\sqrt{3-x}+1)^2\\ &\Longleftrightarrow \sqrt y=\sqrt{3-x}+1\\ &\Longleftrightarrow x=3-(\sqrt y-1)^2. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ J=[1;+\infty[,\qquad f^{-1}(y)=3-(\sqrt y-1)^2. } \]

Cas 6 — Différence avec un radical

Méthode et stratégie.

Vérifier la monotonie sur x≥1 et rationaliser à l’infini ; avant de mettre au carré, conserver la condition sur x−y.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\geq1\), nous rationalisons :

\[ f(x) =\frac{x^2-(x^2-x)} {x+\sqrt{x^2-x}} =\frac{x}{x+\sqrt{x^2-x}}. \]

En divisant par \(x>0\) :

\[ f(x)= \frac1{1+\sqrt{1-\frac1x}}. \]

Lorsque \(x\) augmente sur \([1;+\infty[\), le nombre \(1-\frac1x\) augmente strictement. Il en est de même de sa racine carrée. Le quotient précédent est donc strictement décroissant.

\[ f(1)=1,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac12. \]

Ainsi \(J=]\frac12;1]\).

L'équation \(y=x-\sqrt{x^2-x}\) donne :

\[ \sqrt{x^2-x}=x-y. \]

En élevant au carré :

\[ x^2-x=(x-y)^2 \quad\Longrightarrow\quad x(2y-1)=y^2. \]

Pour \(y\in]\frac12;1]\), le dénominateur est positif.

\[ \boxed{ J=\left]\frac12;1\right], \qquad f^{-1}(y)=\frac{y^2}{2y-1}. } \]

Cas 7 — Fonction \(2x-\sqrt x\)

Méthode et stratégie.

Utiliser t=\(\sqrt{x}\) sur l’intervalle restreint ; le choix de la racine d’une équation quadratique dépend de ce petit intervalle.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction est continue sur \(I=[0;\frac1{16}]\). Sur \(]0;\frac1{16}[\) :

\[ f'(x)=2-\frac1{2\sqrt x}\lt0. \]

Elle est donc strictement décroissante sur \(I\).

\[ f(0)=0,\qquad f\left(\frac1{16}\right)=-\frac18. \]

Donc \(J=[-\frac18;0]\).

Posons \(t=\sqrt x\). Puisque \(x\in I\), nous avons \(0\leq t\leq\frac14\).

\[ y=2t^2-t \quad\Longleftrightarrow\quad 2t^2-t-y=0. \]

Les racines possibles sont :

\[ t=\frac{1\pm\sqrt{1+8y}}4. \]

La condition \(0\leq t\leq\frac14\) impose le signe négatif.

\[ \boxed{ J=\left[-\frac18;0\right], \quad f^{-1}(y)= \left(\frac{1-\sqrt{1+8y}}4\right)^2. } \]

Cas 8 — Fonction rationnelle sur les négatifs

Méthode et stratégie.

Étudier le quotient sur les négatifs et calculer son image ; sélectionner parmi les racines algébriques celle qui appartient à I.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction est continue sur \(I=]-\infty;-1]\). Pour \(x\lt-1\) :

\[ f'(x)= \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\lt0. \]

Elle est strictement décroissante. De plus :

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, \qquad f(-1)=-1. \]

Donc \(J=[-1;0[\).

Pour \(y\in[-1;0[\) :

\[ y=\frac{2x}{x^2+1} \quad\Longleftrightarrow\quad yx^2-2x+y=0. \]

Les solutions algébriques sont :

\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1-y^2}}{y}. \]

Comme \(y<0\) et que l'on cherche \(x\leq-1\), il faut retenir le signe positif au numérateur.

\[ \boxed{ J=[-1;0[,\qquad f^{-1}(y)= \frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}. } \]

Cas 9 — Fonction avec \(\sqrt{-x}\)

Méthode et stratégie.

Poser t=\(\sqrt{-x}\) avec 0≤t≤\(\frac{1}{2}\) ; traduire cette restriction lors du choix de la branche inverse.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction \(f(x)=x+\sqrt{-x}-1\) est continue sur \(I=[-\frac14;0]\).

Pour \(x\in]-\frac14;0[\), sa dérivée vaut :

\[ f'(x)=1-\frac1{2\sqrt{-x}}\lt0. \]

Elle est donc strictement décroissante sur \(I\).

\[ f\left(-\frac14\right)=-\frac34, \qquad f(0)=-1. \]

Ainsi \(J=[-1;-\frac34]\).

Posons \(t=\sqrt{-x}\). Alors \(0\leq t\leq\frac12\) et \(x=-t^2\).

\[ \begin{aligned} y&=-t^2+t-1\\ &\Longleftrightarrow t^2-t+(y+1)=0. \end{aligned} \]

Le discriminant vaut \(-4y-3\), et la condition \(t\leq\frac12\) impose :

\[ t=\frac{1-\sqrt{-4y-3}}2. \]

Comme \(x=-t^2\), nous obtenons :

\[ \boxed{ J=\left[-1;-\frac34\right], \quad f^{-1}(y)= -\left(\frac{1-\sqrt{-4y-3}}2\right)^2. } \]

Cas 10 — Somme avec racine carrée

Méthode et stratégie.

Poser t=\(\sqrt{x-2}\)≥0 pour résoudre une équation quadratique ; vérifier l’image de la borne x=2.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(I=[2;+\infty[\), les fonctions \(x\mapsto\sqrt{x-2}\) et \(x\mapsto x+1\) sont continues et croissantes, la seconde étant strictement croissante.

Leur somme \(f\) est donc continue et strictement croissante.

\[ f(2)=3,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

Son image est \(J=[3;+\infty[\).

Posons \(t=\sqrt{x-2}\geq0\). Alors \(x=t^2+2\), et :

\[ \begin{aligned} y&=t^2+t+3\\ &\Longleftrightarrow t^2+t+(3-y)=0. \end{aligned} \]

Comme \(t\geq0\), la seule racine possible est :

\[ t=\frac{-1+\sqrt{4y-11}}2. \]

En utilisant \(x=t^2+2\), nous obtenons :

\[ \boxed{ J=[3;+\infty[,\qquad f^{-1}(y)= 2+\left(\frac{\sqrt{4y-11}-1}{2}\right)^2. } \]

Choisir une substitution adaptée

La substitution \(t=\sqrt{x-2}\) transforme l'équation contenant une racine carrée en une équation du second degré. Le signe \(t\geq0\) permet ensuite de choisir la bonne solution.

Ce qu'il faut retenir

Avant de calculer une fonction réciproque, il faut vérifier que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle considéré, puis déterminer son image.

Lorsqu'une équation algébrique fournit deux valeurs possibles, le domaine initial permet de sélectionner la branche correcte. Les bornes exclues doivent rester exclues dans les intervalles images.

Pour tracer les courbes, on utilise la symétrie par rapport à la droite \(y=x\). Une vérification de l'injectivité reste indispensable : une fonction qui prend deux fois la même valeur n'admet pas de fonction réciproque sur tout l'intervalle considéré.

MATHS PARCOURS MAROC

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