Correction des exercices 62 à 63 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 62 à 63 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Al Moufid • Racines n-ièmes et puissances rationnelles

Simplifications exactes, comparaisons, rationalisation et équation cubique : les corrections justifient chaque transformation et le choix des puissances.

Les questions sont présentées dans leur ordre, immédiatement suivies de corrections indépendantes à ouvrir à la demande.

Rappel de cours

Pour tout réel positif a et tout entier n non nul, la racine n-ième positive vérifie \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\). Les lois sur les puissances se pratiquent après vérification du signe des bases ; la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

Exercice 62 — Racines n-ièmes et puissances rationnelles

Travail sur les simplifications exactes, les comparaisons et la rationalisation de dénominateurs. Les données numériques sont rappelées au début de chaque question.

Question 1.a

Simplifier le nombre \(a\) suivant et donner sa valeur exacte.

\[ a=\frac{\sqrt{18}\,\sqrt{\sqrt[3]{256}}\,\sqrt[4]{64}}{\sqrt[3]{1024}\,\sqrt[6]{64\cdot10^6}} \]

Méthode et stratégie.

Décomposer les nombres en puissances de 2 ; pour une racine d’une racine, multiplier les exposants.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Toutes les quantités sont positives. Écrivons les radicaux sous forme de puissances de 2 :

\[ \sqrt{18}=3\cdot2^{\frac{1}{2}},\quad \sqrt{\sqrt[3]{256}}=2^{\frac{4}{3}},\quad \sqrt[4]{64}=2^{\frac{3}{2}}. \] \[ \sqrt[3]{1024}=2^{\frac{10}{3}},\qquad\sqrt[6]{64\cdot10^6}=\sqrt[6]{(2\cdot10)^6}=20. \]

Les puissances de 2 du numérateur et du premier facteur du dénominateur sont égales et se simplifient.

\[ a=\frac{3\cdot2^{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+\frac{3}{2}}}{2^{\frac{10}{3}}\cdot20}=\frac{3\cdot2^{\frac{10}{3}}}{2^{\frac{10}{3}}\cdot20}. \]

\[ \boxed{a=\frac3{20}} \]

Question 1.b

Simplifier le nombre \(b\) suivant et l’écrire sous la forme d’une puissance de 3.

\[ b=\frac{\sqrt[15]{3}\,\sqrt[3]{9}\,(\sqrt9)^3}{\sqrt[4]{27}\,\sqrt{\sqrt3}} \]

Méthode et stratégie.

Ramener tous les facteurs à la base 3 puis additionner les exposants au numérateur et soustraire ceux du dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On ramène tous les facteurs à la base 3 :

\[ b=\frac{3^{\frac{1}{15}}\,3^{\frac{2}{3}}\,3^3}{3^{\frac{3}{4}}\,3^{\frac{1}{4}}}. \]

Les exposants du dénominateur totalisent 1.

\[ \frac1{15}+\frac23+3-1=\frac{41}{15}. \]

\[ \boxed{b=3^{\frac{41}{15}}} \]

Question 1.c

Simplifier le nombre \(c\) suivant.

\[ c=\frac{\sqrt[4]{2048}\,\sqrt[4]{160000}}{\sqrt[8]{4096}\,\sqrt[3]{\sqrt{256}\,\sqrt{512}}} \]

Méthode et stratégie.

Décomposer en puissances de 2 et de 5 ; traiter les racines imbriquées avant de réunir les exposants.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La décomposition en puissances de 2 et de 5 donne :

\[ 2048=2^{11},\quad160000=2^8\cdot5^4,\quad4096=2^{12}. \] \[ \sqrt{256}\sqrt{512}=2^4\cdot2^{\frac{9}{2}}=2^{\frac{17}{2}}. \]

Par conséquent :

\[ c=\frac{2^{\frac{11}{4}}\cdot 2^2\cdot5}{2^{\frac{3}{2}}\cdot2^{\frac{17}{6}}}=5\cdot2^{\frac{11}{4}+2-\frac{3}{2}-\frac{17}{6}}. \]

\[ \boxed{c=5\sqrt[12]{2^5}} \]

Question 2.x

Calculer et simplifier \(x\).

\[ x=27^{\frac{2}{3}}+16^{\frac{3}{4}}-\frac{2}{\sqrt[3]{8^{-2}}}+\frac{\sqrt[5]2}{4^{-\frac{2}{5}}} \]

Méthode et stratégie.

Calculer chaque terme séparément ; une puissance négative au dénominateur doit être inversée avant simplification.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Calculons chaque terme séparément :

\[ 27^{\frac{2}{3}}=9,\quad16^{\frac{3}{4}}=8,\quad\sqrt[3]{8^{-2}}=\frac{1}{4}. \] \[ \frac{\sqrt[5]2}{4^{-\frac{2}{5}}}=2^{\frac{1}{5}}\cdot 2^{\frac{4}{5}}=2. \] \[ x=9+8-8+2. \]

\[ \boxed{x=11} \]

Question 2.y

Simplifier \(y\) et l’écrire sous la forme d’une puissance de 3.

\[ y=\frac{81^{\frac{2}{9}}\,27^{\frac{1}{4}}\,9^{\frac{5}{2}}}{3^{\frac{14}{3}}} \]

Méthode et stratégie.

Exprimer 81, 27 et 9 comme puissances de 3, puis réduire la somme des exposants au même dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On réécrit tous les termes comme puissances de 3 :

\[ y=3^{\frac89+\frac34+5-\frac{14}{3}}. \] \[ \frac89+\frac34+5-\frac{14}{3}=\frac{32+27+180-168}{36}=\frac{71}{36}. \]

\[ \boxed{y=3^{\frac{71}{36}}} \]

Question 2.z

Simplifier \(z\) pour \(a\gt0\) et \(b\gt0\).

\[ z=\frac{a^{\frac{5}{3}}\left(\sqrt[4]{\frac{1}{a^2}}\right)^3b^{\frac{5}{2}}}{\left(a^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{2}{3}}\sqrt[5]{b^{\frac{3}{4}}}},\qquad a\gt 0,\ b\gt 0 \]

Méthode et stratégie.

Utiliser la positivité de a et b pour appliquer les règles des puissances rationnelles ; séparer les exposants de chaque base.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les bases étant strictement positives, les règles usuelles des exposants rationnels s’appliquent :

\[ \left(\sqrt[4]{\frac{1}{a^2}}\right)^3=a^{-\frac{3}{2}},\quad\left(a^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{10}{9}},\quad\sqrt[5]{b^{\frac{3}{4}}}=b^{\frac{3}{20}}. \] \[ z=a^{\frac53-\frac32-\frac{10}{9}}\,b^{\frac52-\frac3{20}}. \] \[ \frac53-\frac32-\frac{10}{9}=-\frac{17}{18},\quad \frac52-\frac3{20}=\frac{47}{20}. \]

\[ \boxed{z=\frac{b^{\frac{47}{20}}}{a^{\frac{17}{18}}}} \]

Question 3

Comparer les deux nombres suivants.

\[ \sqrt[5]{91}\quad\text{et}\quad\sqrt[3]{15} \]

Méthode et stratégie.

Choisir une puissance commune, multiple de 5 et de 3, strictement croissante sur les réels positifs.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les deux nombres sont positifs. Élevons-les à la puissance 15, strictement croissante sur \(\mathbb R^+\).

\[ (\sqrt[5]{91})^{15}=91^3=753571,\quad (\sqrt[3]{15})^{15}=15^5=759375. \]

Comme \(753571\lt 759375\), le même ordre vaut avant élévation à la puissance 15.

\[ \boxed{\sqrt[5]{91}\lt \sqrt[3]{15}} \]

Question 4

Ranger les quatre nombres suivants dans l’ordre croissant.

\[ A=\sqrt2,\quad B=\sqrt[3]4,\quad C=\sqrt[6]5,\quad D=\sqrt[4]3 \]

Méthode et stratégie.

Comparer les puissances douzièmes : 12 est un multiple commun des quatre indices de racines.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Ces nombres sont positifs. On peut donc comparer leurs puissances douzièmes.

\[ A^{12}=2^6=64,\quad B^{12}=4^4=256,\quad C^{12}=5^2=25,\quad D^{12}=3^3=27. \]

Puisque \(25\lt 27\lt 64\lt 256\), l’ordre croissant demandé est :

\[ \boxed{C\lt D\lt A\lt B} \]

Question 5.a

Rendre rationnel le dénominateur de l’expression suivante.

\[ \frac1{2\sqrt[3]4} \]

Méthode et stratégie.

Chercher le facteur qui transforme le radicande 4 en un cube parfait ; multiplier les deux membres de la fraction par ce facteur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\[ \frac1{2\sqrt[3]4}=\frac{\sqrt[3]2}{2\sqrt[3]8}=\frac{\sqrt[3]2}{4}. \]

\[\boxed{\frac1{2\sqrt[3]4}=\frac{\sqrt[3]2}{4}}.\]

Question 5.b

Rendre rationnel le dénominateur de l’expression suivante.

\[ \frac2{\sqrt[3]3-1} \]

Méthode et stratégie.

Utiliser la différence de cubes avec u=\(\sqrt[3]{3}\) pour éliminer u−1 au dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]3\). L’identité \((u-1)(u^2+u+1)=u^3-1=2\) donne :

\[ \frac2{u-1}=u^2+u+1. \]

\[\boxed{\frac2{\sqrt[3]3-1}=\sqrt[3]9+\sqrt[3]3+1}.\]

Question 5.c

Rendre rationnel le dénominateur de l’expression suivante.

\[ \frac{\sqrt[4]5+\sqrt[4]2}{\sqrt[4]5-\sqrt[4]2} \]

Méthode et stratégie.

Appliquer deux fois une différence de carrés pour transformer le dénominateur en différence de puissances quatrièmes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[4]5\) et \(v=\sqrt[4]2\). En multipliant par \((u+v)(u^2+v^2)\), le dénominateur devient :

\[ (u-v)(u+v)(u^2+v^2)=u^4-v^4=5-2=3. \]

\[\boxed{\frac{\sqrt[4]5+\sqrt[4]2}{\sqrt[4]5-\sqrt[4]2}=\frac{(\sqrt[4]5+\sqrt[4]2)^2(\sqrt5+\sqrt2)}3}.\]

Question 5.d

Rendre rationnel le dénominateur de l’expression suivante.

\[ \frac1{1+\sqrt[3]2+\sqrt[3]4} \]

Méthode et stratégie.

Reconnaître le facteur u²+u+1 d’une différence de cubes avec u=\(\sqrt[3]{2}\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Avec \(u=\sqrt[3]2\), on a \((u-1)(u^2+u+1)=u^3-1=1\).

\[ \boxed{\frac1{1+\sqrt[3]2+\sqrt[3]4}=\sqrt[3]2-1} \]

Exercice 63 — Racines n-ièmes et puissances rationnelles

On étudie une factorisation polynomiale puis une somme de deux racines cubiques réelles.

Question 1

Déterminer les réels \(b\) et \(c\) pour que l’égalité suivante soit vraie pour tout \(x\in\mathbb R\).

\[ x^3-3x-18=(x-3)(x^2+bx+c) \]

Méthode et stratégie.

Développer le produit puis identifier tous les coefficients, y compris le terme constant.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Développons le membre de droite :

\[ (x-3)(x^2+bx+c)=x^3+(b-3)x^2+(c-3b)x-3c. \]

L’identification des coefficients fournit \(b-3=0\) et \(c-3b=-3\). On vérifie alors \(-3c=-18\).

\[ \boxed{b=3,\qquad c=6} \]

Méthode

La factorisation obtenue est \(x^3-3x-18=(x-3)(x^2+3x+6)\). Le discriminant du second facteur vaut \(9-24=-15\lt 0\), donc ce facteur reste strictement positif sur \(\mathbb R\).

Question 2.a

On pose \(t=\sqrt[3]{9+4\sqrt5}+\sqrt[3]{9-4\sqrt5}\). Montrer que \(t^3-3t-18=0\).

Méthode et stratégie.

Noter u et v les racines cubiques ; calculer leur produit et la somme de leurs cubes avant de développer t³.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]{9+4\sqrt5}\) et \(v=\sqrt[3]{9-4\sqrt5}\).

\[ u^3+v^3=18,\quad (uv)^3=(9+4\sqrt5)(9-4\sqrt5)=81-80=1. \]

La fonction cube étant injective sur \(\mathbb R\), il vient \(uv=1\).

\[ t^3=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)=18+3t. \]

\[ \boxed{t^3-3t-18=0} \]

Question 2.b

En déduire la valeur exacte de l’expression suivante.

\[ \sqrt[3]{9+4\sqrt5}+\sqrt[3]{9-4\sqrt5} \]

Méthode et stratégie.

Employer la factorisation de la première question et montrer que le facteur quadratique ne peut pas s’annuler sur R.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

D’après la question précédente, \(t\) vérifie \(t^3-3t-18=0\). Or :

\[ t^3-3t-18=(t-3)(t^2+3t+6). \]

Le trinôme \(t^2+3t+6\) est strictement positif sur \(\mathbb R\) car son discriminant vaut \(-15\). Ainsi \(t=3\).

\[ \boxed{\sqrt[3]{9+4\sqrt5}+\sqrt[3]{9-4\sqrt5}=3} \]

Ce qu’il faut retenir

La valeur d’un calcul exact ne dépend pas seulement des manipulations algébriques : il faut conserver les conditions de définition, justifier le sens des inégalités et vérifier les solutions dans l’équation initiale.

Les racines d’ordre impair sont définies sur \(\mathbb R\) et conservent l’ordre ; les racines d’ordre pair demandent un radicande positif ou nul. Pour les limites, privilégier les identités algébriques et les encadrements.

MATHS PARCOURS MAROC

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