Correction des exercices 64 à 65 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 64 à 65 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Al Moufid • Équations et racines n-ièmes

Résolution d’équations avec puissances entières, racines cubiques et changements de variable : chaque résultat est vérifié dans le domaine réel.

Les questions sont présentées dans leur ordre, immédiatement suivies de corrections indépendantes à ouvrir à la demande.

Rappel de cours

La fonction \(t\mapsto t^{2n+1}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), tandis que \(t^{2n}\geq0\). Une substitution \(t=\sqrt[3]x\) transforme certaines équations à radicaux en équations polynomiales.

Exercice 64 — Équations et racines n-ièmes

Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations suivantes.

Question 1

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ x^8-25=0 \]

Méthode et stratégie.

Isoler la puissance paire : il faut conserver les deux signes possibles de x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

L’équation revient à \(x^8=25\). Puisque l’exposant est pair, les deux signes sont possibles.

\[ |x|=25^{\frac{1}{8}}=5^{\frac{1}{4}}. \]

\[ \boxed{S=\{-\sqrt[4]5,\ \sqrt[4]5\}} \]

Question 2

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ 8x^3+27=0 \]

Méthode et stratégie.

Isoler x³ et utiliser l’injectivité du cube sur R pour obtenir une seule solution.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\[ 8x^3=-27\quad\Longleftrightarrow\quad x^3=-\frac{27}{8}. \]

La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\) : une seule valeur réelle convient.

\[ \boxed{S=\left\{-\frac32\right\}} \]

Question 3

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ x^7=\sqrt3 \]

Méthode et stratégie.

Utiliser la racine septième réelle et combiner les exposants des puissances positives.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction puissance septième est strictement croissante sur \(\mathbb R\) ; elle admet donc une réciproque.

\[ x=(\sqrt3)^{\frac{1}{7}}=3^{\frac{1}{14}}. \]

\[ \boxed{S=\{\sqrt[14]3\}} \]

Question 4

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ \sqrt[3]x=\sqrt[6]7 \]

Méthode et stratégie.

Élever au cube les deux membres et simplifier le produit des exposants.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les deux membres sont positifs. Élevons à la puissance trois :

\[ x=(7^{\frac{1}{6}})^3=7^{\frac{1}{2}}. \]

\[ \boxed{S=\{\sqrt7\}} \]

Question 5

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ x^4=16 \]

Méthode et stratégie.

Pour x⁴=16, passer par |x| plutôt que d’oublier la solution négative.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Une puissance quatrième est positive, et deux réels opposés ont la même puissance quatrième.

\[ |x|=\sqrt[4]{16}=2. \]

\[ \boxed{S=\{-2,\ 2\}} \]

Question 6

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ 5x^6+1=0 \]

Méthode et stratégie.

Avant de chercher des racines, utiliser la positivité de toute puissance paire pour tester l’existence de solutions.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(x^6\geq0\), donc \(5x^6+1\geq1\gt 0\) : le membre gauche ne peut jamais être nul.

\[ \boxed{S=\varnothing} \]

Question 7

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ 4(3x-1)^7+3=0 \]

Méthode et stratégie.

Isoler la puissance septième puis utiliser sa racine réelle, y compris pour un nombre négatif.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\[ (3x-1)^7=-\frac34. \]

La racine septième est définie sur tous les réels, y compris les nombres négatifs.

\[ 3x-1=-\sqrt[7]{\frac34}. \]

\[ \boxed{S=\left\{\frac{1-\sqrt[7]{\frac{3}{4}}}{3}\right\}} \]

Question 8

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ (3x-4)^5=32 \]

Méthode et stratégie.

Comparer deux puissances cinquièmes en utilisant l’injectivité de la puissance impaire.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(32=2^5\) et que la puissance cinquième est injective sur \(\mathbb R\) :

\[ 3x-4=2\quad\Longleftrightarrow\quad 3x=6. \]

\[ \boxed{S=\{2\}} \]

Question 9

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ 9(7x+4)^{10}-5=0 \]

Méthode et stratégie.

Isoler la puissance dixième puis examiner les deux signes de la base avant de résoudre les équations affines.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\[ (7x+4)^{10}=\frac59. \]

Pour une puissance paire, les deux signes doivent être étudiés :

\[ 7x+4=\sqrt[10]{\frac59}\quad\text{ou}\quad 7x+4=-\sqrt[10]{\frac59}. \]

\[ \boxed{S=\left\{\frac{-4-\sqrt[10]{\frac{5}{9}}}{7},\ \frac{-4+\sqrt[10]{\frac{5}{9}}}{7}\right\}} \]

Question 10

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ (3x-4)^5=32 \]

Méthode et stratégie.

Reprendre l’injectivité de la puissance cinquième ; la répétition de l’énoncé n’autorise pas à supprimer son numéro.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Cette équation est identique à celle de la question 8 dans le fichier fourni. Les deux numéros sont conservés ; le calcul est repris ci-dessous.

\[ 3x-4=\sqrt[5]{32}=2\quad\Longleftrightarrow\quad x=2. \]

\[ \boxed{S=\{2\}} \]

Question 11

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ \sqrt[3]{x^2}-5\sqrt[3]x+4=0 \]

Méthode et stratégie.

Poser t=\(\sqrt[3]{x}\), transformer \(\sqrt[3]{x^2}\) en t², puis revenir à x=t³.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(t=\sqrt[3]x\). Pour tout réel \(x\), on a \(\sqrt[3]{x^2}=t^2\).

\[ t^2-5t+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(t-1)(t-4)=0. \]

Ainsi \(t=1\) ou \(t=4\) ; comme \(x=t^3\) :

\[ \boxed{S=\{1,\ 64\}} \]

Question 12

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ 9x-7\sqrt[3]x-2=0 \]

Méthode et stratégie.

Poser t=\(\sqrt[3]{x}\), factoriser le polynôme de degré trois et reconvertir toutes les racines en valeurs de x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Avec \(t=\sqrt[3]x\), soit \(x=t^3\), l’équation devient :

\[ 9t^3-7t-2=0\quad\Longleftrightarrow\quad(t-1)(3t+1)(3t+2)=0. \]

On obtient \(t=1\), \(t=-\frac13\) ou \(t=-\frac23\). On revient à \(x=t^3\).

\[ \boxed{S=\left\{-\frac8{27},\ -\frac1{27},\ 1\right\}} \]

Exercice 65 — Équations et racines n-ièmes

Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations suivantes en précisant les éventuelles substitutions.

Question 1

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ x^4-5x^2-24=0 \]

Méthode et stratégie.

Poser t=x² avec la restriction t≥0 ; éliminer les racines du trinôme qui ne respectent pas cette restriction.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(t=x^2\geq0\).

\[ t^2-5t-24=(t-8)(t+3)=0. \]

La solution \(t=-3\) est incompatible avec \(t\geq0\). Il reste \(x^2=8\).

\[ \boxed{S=\{-2\sqrt2,\ 2\sqrt2\}} \]

Question 2

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ x^6+3x^3-4=0 \]

Méthode et stratégie.

Poser t=x³, qui peut être négatif, résoudre le trinôme puis revenir à la racine cubique réelle.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(t=x^3\in\mathbb R\).

\[ t^2+3t-4=(t-1)(t+4)=0. \]

Alors \(t=1\) ou \(t=-4\). La fonction cube est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\).

\[ \boxed{S=\{-\sqrt[3]4,\ 1\}} \]

Question 3

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ \sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x}=2 \]

Méthode et stratégie.

Introduire les deux racines cubiques u et v et développer (u+v)³ ; vérifier ensuite les candidats dans l’équation initiale.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Introduisons \(u=\sqrt[3]{1+x}\) et \(v=\sqrt[3]{1-x}\). Alors \(u^3+v^3=2\) et l’équation dit \(u+v=2\).

\[ 8=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)=2+6uv. \]

Ainsi \(uv=1\), puis \((uv)^3=(1+x)(1-x)=1-x^2=1\). Donc \(x^2=0\). La vérification donne \(1+1=2\).

\[ \boxed{S=\{0\}} \]

Question 4

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ 5x-4\sqrt[3]x-1=0 \]

Méthode et stratégie.

Poser t=\(\sqrt[3]{x}\), utiliser une racine évidente du polynôme puis résoudre le facteur quadratique.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Avec \(t=\sqrt[3]x\), on obtient :

\[ 5t^3-4t-1=(t-1)(5t^2+5t+1)=0. \]

La deuxième équation a pour discriminant \(25-20=5\). Ses racines sont \(\frac{-5-\sqrt5}{10}\) et \(\frac{-5+\sqrt5}{10}\).

En revenant à \(x=t^3\) :

\[ \boxed{S=\left\{1,\ \left(\frac{-5-\sqrt5}{10}\right)^3,\ \left(\frac{-5+\sqrt5}{10}\right)^3\right\}} \]

Question 5

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ \sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{2x+11} \]

Méthode et stratégie.

Noter u et v les deux racines de gauche ; utiliser (u+v)³−u³−v³=3uv(u+v), puis vérifier chaque cas.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]{x+5}\) et \(v=\sqrt[3]{x+6}\). Alors \(u^3+v^3=2x+11\), donc la relation demandée équivaut à \((u+v)^3=u^3+v^3\).

\[ 3uv(u+v)=0. \]

Trois possibilités : \(u=0\Rightarrow x=-5\), \(v=0\Rightarrow x=-6\) ou \(u+v=0\Rightarrow u^3+v^3=0\Rightarrow x=-\frac{11}{2}\).

La réciproque de chaque étape se vérifie en remplaçant ces valeurs dans l’équation initiale.

\[ \boxed{S=\left\{-6,\ -\frac{11}{2},\ -5\right\}} \]

Question 6

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante, en précisant les conditions de définition lorsqu’elles sont nécessaires.

\[ \sqrt x+\sqrt[3]x=12 \]

Méthode et stratégie.

Le domaine impose x≥0 ; poser t comme racine sixième de x pour transformer les deux radicaux en puissances entières.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le domaine est \(x\geq0\). Posons \(t=\sqrt[6]x\geq0\). Ainsi \(\sqrt x=t^3\) et \(\sqrt[3]x=t^2\).

\[ t^3+t^2-12=(t-2)(t^2+3t+6)=0. \]

Le trinôme a un discriminant strictement négatif et est toujours positif. Donc \(t=2\) puis \(x=t^6=64\). Vérification : \(8+4=12\).

\[ \boxed{S=\{64\}} \]

Ce qu’il faut retenir

La valeur d’un calcul exact ne dépend pas seulement des manipulations algébriques : il faut conserver les conditions de définition, justifier le sens des inégalités et vérifier les solutions dans l’équation initiale.

Les racines d’ordre impair sont définies sur \(\mathbb R\) et conservent l’ordre ; les racines d’ordre pair demandent un radicande positif ou nul. Pour les limites, privilégier les identités algébriques et les encadrements.

MATHS PARCOURS MAROC

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