Correction des exercices 66 à 67 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 66 à 67 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Al Moufid • Inéquations et limites avec radicaux

Résolution rigoureuse d’inéquations par fonctions strictement croissantes, puis calcul de limites sans développement limité et sans règle de L’Hôpital.

Les questions sont présentées dans leur ordre, immédiatement suivies de corrections indépendantes à ouvrir à la demande.

Rappel de cours

La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Élever les deux membres d’une inégalité à la puissance trois conserve donc le sens, même pour les nombres négatifs. Pour les quotients de différences de radicaux, les identités \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) et \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) permettent de lever les indéterminations.

Exercice 66 — Inéquations et limites avec radicaux

Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes, en tenant compte des domaines de définition.

Question 1

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation suivante, en précisant son domaine de définition.

\[ 4x^3-125\geq0 \]

Méthode et stratégie.

Isoler x³ puis utiliser la stricte croissance du cube sur R ; aucune restriction de domaine n’est nécessaire.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\[ 4x^3\geq125\quad\Longleftrightarrow\quad x^3\geq\frac{125}{4}. \]

La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\). L’inégalité est donc équivalente à :

\[ \boxed{S=\left[\sqrt[3]{\frac{125}{4}};+\infty\right[} \]

Question 2

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation suivante, en précisant son domaine de définition.

\[ \sqrt{2x+1}\lt 3+\sqrt{x+2} \]

Méthode et stratégie.

Fixer le domaine commun des racines ; n’élever au carré qu’après avoir vérifié les signes des deux membres.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La condition de définition commune est \(x\geq-\frac12\). Posons \(t=\sqrt{x+2}\geq\sqrt{\frac32}\).

Les deux membres sont positifs ou nuls et le membre de droite est strictement positif. Le passage aux carrés est donc équivalent.

\[ \sqrt{2t^2-3}\lt t+3\ \Longleftrightarrow\ 2t^2-3\lt (t+3)^2 \] \[ \Longleftrightarrow\ t^2-6t-12\lt 0. \]

Les racines du trinôme sont \(3-\sqrt{21}\) et \(3+\sqrt{21}\). Comme \(t\geq\sqrt{\frac{3}{2}}\gt 0\) seule la borne supérieure limite \(t\).

\[ \sqrt{x+2}\lt 3+\sqrt{21}\quad\Longleftrightarrow\quad x\lt 28+6\sqrt{21}. \]

\[ \boxed{S=\left[-\frac12;\ 28+6\sqrt{21}\right[} \]

Question 3

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation suivante, en précisant son domaine de définition.

\[ \sqrt[3]{x^2+8}-2\lt x \]

Méthode et stratégie.

Isoler la racine cubique, élever au cube par équivalence sur R puis factoriser le polynôme obtenu.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\). On peut donc élever l’inégalité \(\sqrt[3]{x^2+8}\lt x+2\) au cube sans condition supplémentaire.

\[ x^2+8\lt (x+2)^3\ \Longleftrightarrow\ 0\lt x^3+5x^2+12x \] \[ \Longleftrightarrow\ x(x^2+5x+12)\gt 0. \]

Le trinôme a un discriminant \(25-48=-23\lt 0\) et reste positif. Le signe du produit est donc celui de \(x\).

\[ \boxed{S=]0;+\infty[} \]

Question 4

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation suivante, en précisant son domaine de définition.

\[ x+1\gt \sqrt[3]{x^2+1} \]

Méthode et stratégie.

Utiliser la croissance du cube et isoler un facteur quadratique strictement positif.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En appliquant la fonction cube, strictement croissante sur \(\mathbb R\) :

\[ (x+1)^3\gt x^2+1\quad\Longleftrightarrow\quad x(x^2+2x+3)\gt 0. \]

Or \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2\gt 0\) pour tout réel \(x\).

\[ \boxed{S=]0;+\infty[} \]

Question 5

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation suivante, en précisant son domaine de définition.

\[ \sqrt[3]{(x-2)(x^2-x+3)}\gt x-2 \]

Méthode et stratégie.

Élever au cube puis factoriser par x−2 ; ne pas diviser par ce facteur sans connaître son signe.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les deux membres sont définis pour tout réel. La fonction cube étant strictement croissante :

\[ (x-2)(x^2-x+3)\gt (x-2)^3 \] \[ \Longleftrightarrow\quad (x-2)(3x-1)\gt 0. \]

Le produit est strictement positif lorsque ses deux facteurs ont le même signe.

\[ \boxed{S=]-\infty;\tfrac13[\ \cup\ ]2;+\infty[} \]

Question 6

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation suivante, en précisant son domaine de définition.

\[ 16x^4\lt 25 \]

Méthode et stratégie.

Réécrire x⁴=|x|⁴ et utiliser la croissance de la puissance quatrième sur les réels positifs.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

\[ x^4\lt \frac{25}{16}=\left(\frac{\sqrt5}{2}\right)^4. \]

Puisque la fonction \(u\mapsto u^4\) est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\) et \(x^4=|x|^4\) :

\[ |x|\lt \frac{\sqrt5}2. \]

\[ \boxed{S=\left]-\frac{\sqrt5}2;\frac{\sqrt5}2\right[} \]

Question 7

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation suivante, en précisant son domaine de définition.

\[ \sqrt{x-1}-\sqrt[3]{x-2}\gt 1 \]

Méthode et stratégie.

Poser t=\(\sqrt{x-1}\) avec t≥0, puis éliminer la racine cubique par une élévation au cube.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La condition de définition est \(x\geq1\). Posons \(t=\sqrt{x-1}\geq0\) ; alors \(x=t^2+1\).

L’inégalité devient \(\sqrt[3]{t^2-1}\lt t-1\). On peut élever au cube sur \(\mathbb R\) :

\[ t^2-1\lt (t-1)^3\ \Longleftrightarrow\quad t(t-1)(t-3)\gt 0. \]

Avec \(t\geq0\), le produit est positif exactement lorsque \(0\lt t\lt 1\) ou \(t\gt 3\).

Comme \(x=t^2+1\), les intervalles deviennent \(1\lt x\lt 2\) et \(x\gt 10\).

\[ \boxed{S=]1;2[\ \cup\ ]10;+\infty[} \]

Question 8

Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation suivante, en précisant son domaine de définition.

\[ \sqrt[3]{x^3-3x^2+x+1}\geq x-1 \]

Méthode et stratégie.

Élever au cube sur R et comparer le polynôme obtenu au développement de (x−1)³.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La racine cubique est définie sur \(\mathbb R\) et strictement croissante. L’inégalité est donc équivalente à :

\[ x^3-3x^2+x+1\geq(x-1)^3 \] \[ \Longleftrightarrow\quad x^3-3x^2+x+1\geq x^3-3x^2+3x-1 \] \[ \Longleftrightarrow\quad 2\geq2x. \]

\[ \boxed{S=]-\infty;1]} \]

Exercice 67 — Inéquations et limites avec radicaux

Calculer les limites suivantes à l’aide des transformations algébriques et des limites usuelles.

Question 1

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt[3]x-1} \]

Méthode et stratégie.

Diviser par la racine cubique de x pour séparer une puissance divergente d’un facteur tendant vers 1.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Divisons le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt[3]x\) (positif pour \(x\gt 0\)) :

\[ \frac{x}{\sqrt[3]x-1}=\frac{x^{\frac{2}{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt[3]x}}. \]

Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur vers 1.

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt[3]x-1}=+\infty} \]

Question 2

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{2-x} \]

Méthode et stratégie.

Factoriser par −x, positif près de −∞, dans le radical et le dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\lt 0\), on écrit \(x-x^3=(-x)^3\left(1-\frac1{x^2}\right)\) ; ainsi :

\[ \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{2-x}=\frac{(-x)\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}}}{(-x)(1-\frac{2}{x})}=\frac{\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}}}{1-\frac{2}{x}}. \]

Les deux facteurs au voisinage de la limite convergent vers 1.

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{2-x}=1} \]

Question 3

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{\sin x} \]

Méthode et stratégie.

Utiliser la différence de cubes puis faire apparaître \(\frac{x}{\sin x}\) et sa limite usuelle.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]{1-x}\). L’identité de la différence des cubes fournit :

\[ u-1=\frac{u^3-1}{u^2+u+1}=-\frac{x}{u^2+u+1}. \] \[ \frac{u-1}{\sin x}=-\frac{x}{\sin x}\cdot\frac1{u^2+u+1}. \]

Quand \(x\to0\), \(u\to1\) et \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1\).

\[ \boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{\sin x}=-\frac13} \]

Question 4

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to2}\frac{x-\sqrt[3]{x+6}}{3-\sqrt{2x+5}} \]

Méthode et stratégie.

Introduire la valeur 2 dans le numérateur ; rationaliser la racine carrée et utiliser la différence de cubes pour simplifier x−2.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]{x+6}\). Comme \(u^3-8=x-2\) :

\[ u-2=\frac{x-2}{u^2+2u+4},\quad x-u=(x-2)\left(1-\frac1{u^2+2u+4}\right). \]

Rationalisons le dénominateur :

\[ 3-\sqrt{2x+5}=\frac{9-(2x+5)}{3+\sqrt{2x+5}}=-\frac{2(x-2)}{3+\sqrt{2x+5}}. \]

Après simplification par \(x-2\) pour \(x\ne2\), on fait tendre \(u\) vers 2.

\[ -\frac{3+3}{2}\left(1-\frac1{4+4+4}\right)=-3\cdot\frac{11}{12}. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to2}\frac{x-\sqrt[3]{x+6}}{3-\sqrt{2x+5}}=-\frac{11}{4}} \]

Question 5

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt[4]x-1} \]

Méthode et stratégie.

Factoriser une différence de cubes et une différence de puissances quatrièmes afin de simplifier x−1.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]{x+7}\) et \(v=\sqrt[4]x\). On dispose des identités :

\[ u-2=\frac{x-1}{u^2+2u+4},\quad v-1=\frac{x-1}{v^3+v^2+v+1}. \]

En simplifiant par \(x-1\) pour \(x\ne1\) puis en utilisant \(u\to2\) et \(v\to1\) :

\[\lim_{x\to1}\left(\frac{v^3+v^2+v+1}{u^2+2u+4}\right)=\frac4{12}\]

\[ \boxed{\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt[4]x-1}=\frac13} \]

Question 6

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to4}\frac{\sqrt[3]{5-x}-1}{2-\sqrt[3]{x+4}} \]

Méthode et stratégie.

Utiliser deux différences de cubes ; conserver les signes des deux facteurs x−4 avant de simplifier.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]{5-x}\) et \(v=\sqrt[3]{x+4}\). Les identités de différences de cubes donnent :

\[ u-1=\frac{-(x-4)}{u^2+u+1},\qquad 2-v=\frac{-(x-4)}{v^2+2v+4}. \]

Les facteurs \(x-4\) se simplifient. Puis \(u\to1\) et \(v\to2\).

\[\lim_{x\to4}\left(\frac{v^2+2v+4}{u^2+u+1}\right)=\frac{12}{3}\]

\[ \boxed{\lim_{x\to4}\frac{\sqrt[3]{5-x}-1}{2-\sqrt[3]{x+4}}=4} \]

Question 7

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to+\infty}(x-\sqrt[3]x-\sqrt x) \]

Méthode et stratégie.

Factoriser par x pour comparer les puissances 1, \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{1}{3}\) ; contrôler le signe du facteur restant.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Factorisons le terme \(x\gt 0\) :

\[ x-\sqrt[3]x-\sqrt x=x\left(1-\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{1}{\sqrt x}\right). \]

La parenthèse tend vers 1 et reste, par exemple, supérieure à \(\frac12\) pour \(x\) suffisamment grand. Le produit tend donc vers \(+\infty\).

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}(x-\sqrt[3]x-\sqrt x)=+\infty} \]

Question 8

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to2}\frac{\sqrt[3]{x+6}-\sqrt{x+2}}{x-2} \]

Méthode et stratégie.

Introduire 2 entre les deux racines puis traiter séparément les deux quotients par des identités algébriques.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Séparons les deux différences en introduisant 2 :

\[ \frac{\sqrt[3]{x+6}-\sqrt{x+2}}{x-2}=\frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x-2}-\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}. \]

Pour \(x\ne2\) rationalisons chacun des termes :

\[ =\frac1{(\sqrt[3]{x+6})^2+2\sqrt[3]{x+6}+4}-\frac1{\sqrt{x+2}+2}. \]

Quand \(x\to2\) les deux dénominateurs tendent respectivement vers 12 et 4.

\[ \boxed{\lim_{x\to2}\frac{\sqrt[3]{x+6}-\sqrt{x+2}}{x-2}=-\frac16} \]

Question 9

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-2x\right) \]

Méthode et stratégie.

Factoriser la racine cubique par x ; déterminer le signe de la parenthèse restante à l’infini.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\gt 0\) on peut mettre \(x\) en facteur :

\[ \sqrt[3]{x^3+x^2+1}-2x=x\left(\sqrt[3]{1+\frac1x+\frac1{x^3}}-2\right). \]

La parenthèse tend vers \(-1\) et demeure négative, bornée au-dessus par un nombre strictement négatif, pour \(x\) suffisamment grand.

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-2x\right)=-\infty} \]

Question 10

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x\right) \]

Méthode et stratégie.

Utiliser la différence de cubes pour la différence de radicaux ; une simple comparaison des termes dominants ne suffit pas ici.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Posons \(u=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\) ; alors \(u^3-x^3=x^2+1\).

\[ u-x=\frac{x^2+1}{u^2+ux+x^2}=\frac{1+\frac{1}{x^2}}{(\frac{u}{x})^2+\frac{u}{x}+1}. \]

Comme \(\frac{u}{x}=\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{u}{x}\right)=1\) le dénominateur tend vers 3.

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x)=\frac13} \]

Question 11

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt x-\sqrt[3]x}{\sqrt x+\sqrt[6]x} \]

Méthode et stratégie.

Diviser le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{x}\), la plus grande des puissances présentes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\gt 0\) divisons le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt x\).

\[ \frac{\sqrt x-\sqrt[3]x}{\sqrt x+\sqrt[6]x}=\frac{1-x^{-\frac{1}{6}}}{1+x^{-\frac{1}{3}}}. \]

Les deux puissances à exposant négatif tendent vers 0.

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt x-\sqrt[3]x}{\sqrt x+\sqrt[6]x}=1} \]

Question 12

Calculer la limite suivante en justifiant les transformations utilisées.

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{2x^3-x}-\sqrt[3]{x^3+2x}}{x} \]

Méthode et stratégie.

Factoriser chacune des racines cubiques par x puis utiliser la continuité de la racine cubique.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\gt 0\) les deux racines cubiques se factorisent par \(x\).

\[ \frac{\sqrt[3]{2x^3-x}-\sqrt[3]{x^3+2x}}x=\sqrt[3]{2-\frac1{x^2}}-\sqrt[3]{1+\frac2{x^2}}. \]

La continuité de la fonction racine cubique permet de passer directement à la limite.

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{2x^3-x}-\sqrt[3]{x^3+2x}}x=\sqrt[3]2-1} \]

Ce qu’il faut retenir

La valeur d’un calcul exact ne dépend pas seulement des manipulations algébriques : il faut conserver les conditions de définition, justifier le sens des inégalités et vérifier les solutions dans l’équation initiale.

Les racines d’ordre impair sont définies sur \(\mathbb R\) et conservent l’ordre ; les racines d’ordre pair demandent un radicande positif ou nul. Pour les limites, privilégier les identités algébriques et les encadrements.

MATHS PARCOURS MAROC

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