Correction des exercices 01 à 07 — Fonctions logarithmes — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Physiques / SVT · Exercices d’application
Ces sept exercices portent sur les propriétés algébriques du logarithme népérien et sa stricte croissance. Les exercices 01 à 04 présentent des calculs, produits, quotients, puissances et racines. Les exercices 05 à 07 permettent ensuite de traiter une égalité et des inégalités.
Les questions sont présentées dans l’ordre du manuel ; chacune est immédiatement suivie de sa correction personnelle PMM à ouvrir.
Exercice 01 — Calculs sur les logarithmes
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Les deux arguments sont strictement positifs. On peut donc utiliser la propriété du logarithme d’un produit :
\[\ln 7+\ln\left(\frac17\right)=\ln\left(7\times\frac17\right)=\ln 1.\]Or, \(\ln 1=0\). Ainsi :
\[\boxed{0}\]
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Puisque \(16=2^4\), on écrit \(\frac1{16}=2^{-4}\). L’argument du logarithme est strictement positif, et la propriété sur les puissances donne :
\[\ln\left(\frac1{16}\right)=\ln(2^{-4})=-4\ln 2.\]Par conséquent :
\[\ln\left(\frac1{16}\right)+3\ln2=(-4+3)\ln2.\]\[\boxed{-\ln 2}\]
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Comme \(3>0\), on a \(2\ln3=\ln(3^2)=\ln9\). Les arguments étant strictement positifs :
\[\ln36-2\ln3=\ln36-\ln9=\ln\left(\frac{36}{9}\right).\]Il vient :
\[\boxed{\ln4}\]
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Le quotient \(\frac{\sqrt3}{\sqrt5}\) est strictement positif. On utilise donc \(2\ln a=\ln(a^2)\), valable pour \(a>0\) :
\[2\ln\left(\frac{\sqrt3}{\sqrt5}\right)=\ln\left(\left(\frac{\sqrt3}{\sqrt5}\right)^2\right)=\ln\left(\frac35\right).\]\[\boxed{\ln\left(\frac35\right)}\]
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Les nombres \(e^2\) et \(\sqrt8\) sont strictement positifs. La propriété du logarithme d’un produit s’applique :
\[\ln(e^2\sqrt8)=\ln(e^2)+\ln\sqrt8=2+\frac12\ln8.\]Ainsi :
\[\begin{aligned}\ln(e^2\sqrt8)-\frac12\ln2&=2+\frac12(\ln8-\ln2)\\&=2+\frac12\ln4\\&=2+\ln2.\end{aligned}\]\[\boxed{2+\ln2}\]
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La relation \(\ln(e^t)=t\) est valable pour tout réel \(t\). En particulier :
\[\ln(e^{-3})=-3\qquad\text{et}\qquad \ln(e^6)=6.\]On obtient donc :
\[\ln(e^{-3})-\frac12\ln(e^6)=-3-\frac12\times6.\]\[\boxed{-6}\]
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Comme \(\sqrt5>2\), les deux arguments des logarithmes sont strictement positifs. On peut les réunir :
\[\begin{aligned}\ln(\sqrt5-2)+\ln(\sqrt5+2)&=\ln\big((\sqrt5-2)(\sqrt5+2)\big)\\&=\ln(5-4)\\&=\ln1.\end{aligned}\]On conclut :
\[\boxed{0}\]
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Les nombres \(42\), \(28\) et \(14\) sont strictement positifs. À l’aide des propriétés algébriques du logarithme :
\[\begin{aligned}\ln42+2\ln28-3\ln14&=\ln\left(\frac{42\times28^2}{14^3}\right)\\&=\ln\left(\frac{42}{14}\times\left(\frac{28}{14}\right)^2\right)\\&=\ln(3\times2^2).\end{aligned}\]Par suite :
\[\boxed{\ln12}\]
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On a \(\sqrt{11}>3\), car \(11>9\). Les deux arguments sont donc strictement positifs.
En utilisant le logarithme du produit et les propriétés des racines carrées, il vient :
\[\begin{aligned}&\ln\left(\sqrt{\sqrt{11}-3}\right)+\ln\left(\sqrt{\sqrt{11}+3}\right)\\ &\quad=\ln\left(\sqrt{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)}\right)\\ &\quad=\ln\left(\sqrt{11-9}\right)=\ln\sqrt2.\end{aligned}\]Comme \(\sqrt2=2^{\frac12}\), on obtient :
\[\boxed{\frac12\ln2}\]
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Il faut distinguer le logarithme d’un carré et le carré d’un logarithme. Comme \(\frac1e=e^{-1}>0\) :
\[\ln\left(\left(\frac1e\right)^2\right)=\ln(e^{-2})=-2.\]En revanche :
\[\left(\ln\frac1e\right)^2=\left(\ln(e^{-1})\right)^2=(-1)^2=1.\]La différence demandée vaut donc :
\[\boxed{-2-1=-3}\]
Attention. En général, \(\ln(a^2)\) et \((\ln a)^2\) ne désignent pas la même expression.
Exercice 02 — Simplifications algébriques
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Les trois arguments sont strictement positifs. En utilisant le logarithme d’un produit :
\[\begin{aligned}A&=\ln\left(\frac{4\sqrt2}{27}\times12\sqrt3\times3\sqrt3\right)\\&=\ln\left(\frac{4\times12\times3\times3}{27}\sqrt2\right)\\&=\ln(16\sqrt2).\end{aligned}\]Comme \(16\sqrt2=2^{\frac92}\), on en déduit :
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On a \(7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2>0\) et \(7+4\sqrt3>0\). On peut donc regrouper les deux logarithmes :
\[\begin{aligned}B&=\ln\left(((7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3))^{15}\right)\\&=\ln\bigl((49-48)^{15}\bigr)=\ln1.\end{aligned}\]Afficher la correction +Masquer la correction −
Puisque \(0<\sqrt2<2\), on a \(0<\sqrt{2+\sqrt2}<2\). Tous les arguments sont donc strictement positifs.
\[\begin{aligned}C&=\ln\left(2\left(2+\sqrt{2+\sqrt2}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt2}\right)\right)\\&=\ln\left(2\left(4-(2+\sqrt2)\right)\right)\\&=\ln(4-2\sqrt2).\end{aligned}\]Afficher la correction +Masquer la correction −
On reconnaît les relations \(3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2\) et \((\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1\). Les arguments étant positifs :
\[\ln(3+2\sqrt2)=2\ln(1+\sqrt2),\qquad\ln(\sqrt2-1)=-\ln(1+\sqrt2).\]Les trois termes s’expriment alors avec le même logarithme :
\[\begin{aligned}D&=\left(\frac7{16}\times2-4+\frac{25}{8}\right)\ln(1+\sqrt2)\\&=\left(\frac78-\frac{32}{8}+\frac{25}{8}\right)\ln(1+\sqrt2).\end{aligned}\]Afficher la correction +Masquer la correction −
La racine de \(e\) est \(e^{\frac12}\), d’où \(e\sqrt e=e^{\frac32}\). Pour tout réel \(t\), \(\ln(e^t)=t\).
\[X=2\times\frac32-3\times3-2\times(-6)=3-9+12.\]Afficher la correction +Masquer la correction −
Tous les termes sont définis. On transforme la somme en logarithme d’un produit. Les facteurs intermédiaires se simplifient successivement :
\[\begin{aligned}Y&=\ln\left(\frac12\times\frac23\times\cdots\times\frac{99}{100}\right)\\&=\ln\left(\frac1{100}\right)=-\ln100.\end{aligned}\]Afficher la correction +Masquer la correction −
On observe que \(7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2\) et \((2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1\). Tous ces nombres sont positifs. Ainsi :
\[\ln(7+4\sqrt3)=2\ln(2+\sqrt3),\qquad \ln(2-\sqrt3)=-\ln(2+\sqrt3).\]\[Z=\left(\frac38\times2-1+\frac14\right)\ln(2+\sqrt3)=0.\]Exercice 03 — Exprimer les logarithmes avec deux paramètres
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Comme \(16=2^4\), \(4=2^2\) et que le quotient est positif :
\[\begin{aligned}x&=\ln16+\frac12(\ln4-\ln5)\\&=4\ln2+\frac12(2\ln2-\ln5).\end{aligned}\]Afficher la correction +Masquer la correction −
On a \(1000=10^3=(2\times5)^3\). Les propriétés du logarithme donnent :
\[y=3\ln10=3(\ln2+\ln5).\]Afficher la correction +Masquer la correction −
Pour exploiter les données \(a\) et \(b\), on écrit \(0{,}64=\frac{16}{25}=\frac{2^4}{5^2}\). Alors :
\[z=\ln\left(\frac{2^4}{5^2}\right)=4\ln2-2\ln5.\]Afficher la correction +Masquer la correction −
On reconnaît \(8=2^3\) et \(125=5^3\) :
\[u=\ln(2^3)-\ln(5^3)=3\ln2-3\ln5.\]Afficher la correction +Masquer la correction −
Les arguments sont positifs. On remplace \(16\) par \(2^4\), \(50\) par \(2\times5^2\) et \(\sqrt[3]{5}\) par \(5^{\frac13}\) :
\[\begin{aligned}v&=(\ln5-4\ln2)+\frac13(\ln2+2\ln5)-\frac43\ln5\\&=\left(1+\frac23-\frac43\right)a+\left(-4+\frac13\right)b.\end{aligned}\]Exercice 04 — Logarithmes de produits et de racines
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Les trois bases sont positives : les propriétés du logarithme d’un produit et des puissances s’appliquent.
\[\begin{aligned}X&=\ln(a^8)+\ln(b^9)+\ln\left(c^{-\frac32}\right)\\&=8\ln a+9\ln b-\frac32\ln c.\end{aligned}\]Afficher la correction +Masquer la correction −
Les deux quotients sont strictement positifs. On utilise la propriété du logarithme d’un quotient :
\[\begin{aligned}Y&=(\ln a-7\ln b)+(-\ln a-3\ln c)\\&=-7\ln b-3\ln c.\end{aligned}\]Afficher la correction +Masquer la correction −
Les nombres placés sous les racines sont positifs. On utilise \(\ln\sqrt t=\frac12\ln t\) pour \(t>0\) :
\[\begin{aligned}Z&=\frac12\ln\left(abc\cdot a^{\frac15}\cdot b^{\frac14}\right)\\&=\frac12\left(\ln a+\ln b+\ln c+\frac15\ln a+\frac14\ln b\right)\\&=\frac12\left(\frac65 A+\frac54 B+C\right).\end{aligned}\]Afficher la correction +Masquer la correction −
Comme \(a,b,c>0\), tous les facteurs sont positifs. On transforme les racines en puissances :
\[\sqrt a=a^{\frac12},\qquad \sqrt[3]{b^{-2}}=b^{-\frac23},\qquad c\sqrt c=c^{\frac32}.\]En appliquant les propriétés du logarithme :
\[\begin{aligned}T&=\frac15\ln\left(a^{\frac12}b^{-\frac23}c^{\frac32}\right)\\&=\frac15\left(\frac12A-\frac23B+\frac32C\right).\end{aligned}\]Exercice 05 — Une égalité logarithmique
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Les arguments des logarithmes sont positifs. On reconnaît \(\frac12(\ln a+\ln b)=\ln\sqrt{ab}\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante, donc injective sur \(]0;+\infty[\), l’égalité donnée équivaut à :
\[\frac{a+b}{3}=\sqrt{ab}.\]Comme \(b>0\), divisons cette égalité par \(b\). En posant \(t=\sqrt{\frac ab}>0\) (pour résoudre l’équation du second degré), on obtient :
\[\frac ab+1=3\sqrt{\frac ab}\quad\Longleftrightarrow\quad t^2-3t+1=0.\]Le discriminant vaut \(\Delta=9-4=5\). Ses deux solutions sont positives :
\[t=\frac{3+\sqrt5}{2}\quad\text{ou}\quad t=\frac{3-\sqrt5}{2}.\]En revenant à \(\frac ab=t^2\), on obtient les deux valeurs possibles :
Réciproquement, chacune de ces valeurs conduit à \(t>0\) vérifiant l’équation, donc à l’égalité initiale pour un choix de \(a,b>0\).
Exercice 06 — Comparaison d’une moyenne arithmétique et géométrique
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Le carré de la différence de deux réels est toujours positif. Appliquons cette propriété à \(\sqrt a\) et \(\sqrt b\) :
\[(\sqrt a-\sqrt b)^2\geqslant0.\]En développant, il vient :
\[a+b-2\sqrt{ab}\geqslant0.\]Par conséquent :
Il y a égalité exactement lorsque \(a=b\).
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D’après la question 1, les deux nombres \(\sqrt{ab}\) et \(\frac{a+b}{2}\) sont strictement positifs et le premier est inférieur ou égal au second.
La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0;+\infty[\), on obtient :
\[\ln\sqrt{ab}\leqslant\ln\left(\frac{a+b}{2}\right).\]Or \(\ln\sqrt{ab}=\frac12\ln(ab)=\frac12(\ln a+\ln b)\). On en déduit :
Comme à la question 1, l’égalité a lieu si, et seulement si, \(a=b\).
Exercice 07 — Une inégalité stricte
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Puisque \(x>0\) et \(y>0\), on a \(x+y>x\) et \(x+y>y\). Tous ces nombres étant strictement positifs, la croissance stricte de \(\ln\) donne :
\[\ln(x+y)>\ln x\qquad\text{et}\qquad \ln(x+y)>\ln y.\]On multiplie la première inégalité par \(x>0\) et la deuxième par \(y>0\), ce qui conserve leur sens :
\[x\ln(x+y)>x\ln x,\qquad y\ln(x+y)>y\ln y.\]En additionnant membre à membre :
\[x\ln(x+y)+y\ln(x+y)>x\ln x+y\ln y.\]
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