Dérivation — Exercices 10 à 18 de perfectionnement

2e Bac Sciences Mathématiques · Parcours Maths Maroc

Présentation et objectifs

Cette deuxième série réunit neuf exercices de perfectionnement pour la deuxième année du baccalauréat Sciences Mathématiques. Elle prolonge les exercices 01 à 09 par des problèmes consacrés aux encadrements de fonctions, au théorème des accroissements finis, à la convexité, aux primitives et à leurs variations, aux points exclus du domaine, aux fonctions réciproques et aux tangentes. Les énoncés sont organisés par exercices cohérents de cinq questions, avec une progression allant des propriétés fondamentales vers un défi de synthèse. Pour chaque étude, on repère d’abord l’ensemble de définition et les hypothèses des théorèmes, puis on exploite les dérivées et les variations avant toute discussion du nombre de solutions. Les méthodes demandées respectent le cours de dérivation de 2e Bac SM, sans recourir au développement limité ni à la règle de L’Hôpital. Les corrections détaillées sont présentées séparément sur MPM Premium.

Accès direct aux exercices

Exercice 10 · Exercice 11 · Exercice 12 · Exercice 13 · Exercice 14 · Exercice 15 · Exercice 16 · Exercice 17 · Exercice 18

Exercice 10 — Inégalité optimale autour de Arctan

Cet exercice établit des encadrements précis par dérivation, puis étudie une fonction auxiliaire pour discuter une équation à paramètre, sans développement limité.

Énoncé

Pour \(x\ge0\), on pose \(A(x)=x-\operatorname{Arctan}(x)\).

1. Une première inégalité. Calculer \(A'(x)\) et montrer que \(A(x)>0\) pour \(x>0\).

2. Deux encadrements précis. En étudiant les dérivées de deux fonctions convenables, établir, pour \(x>0\), \[\frac{x^3}{3(1+x^2)}<x-\operatorname{Arctan}(x)<\frac{x^3}{3}.\]

3. Une limite sans développement limité. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{x-\operatorname{Arctan}(x)}{x^3}\).

4. Monotonie cachée. Pour \(x>0\), on pose \(Q(x)=\dfrac{x-\operatorname{Arctan}(x)}{x^3}\). Montrer que \(Q\) est strictement décroissante sur \(]0;+\infty[\). Déterminer son image exacte.

5. Équation avec paramètre. Pour \(\lambda\in\mathbb R\), discuter le nombre de solutions \(x>0\) de \[x-\operatorname{Arctan}(x)=\lambda x^3.\] Montrer que, pour \(\lambda=\frac14\), l'unique solution appartient à \(]0;1[\).

Repère de cours

La dérivée de la fonction Arctan et le signe de la dérivée permettent de démontrer les inégalités. On peut ensuite exploiter un encadrement pour déterminer une limite par le théorème des gendarmes.

Exercice 11 — TAF explicite et géométrie des cordes

On étudie une fonction rationnelle strictement convexe afin d’obtenir une tangente d’appui, une abscisse explicite pour le théorème des accroissements finis et une comparaison exacte entre courbe et corde.

Énoncé

On considère \(f\) définie sur \(I=]-1;+\infty[\) par \[f(x)=\frac{x^2}{x+1}.\]

1. Variations et convexité. Écrire \(f(x)\) sous la forme \(x-1+\frac1{x+1}\), puis calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\). Dresser le tableau des variations et déterminer \(f(I)\).

2. Tangente d'appui. Pour \(a\in I\), déterminer l'équation \(y=T_a(x)\) de la tangente en \(a\). Démontrer l'identité \[f(x)-T_a(x)=\frac{(x-a)^2}{(x+1)(a+1)^2}.\] En déduire la position relative de la courbe et de cette tangente.

3. Le point du TAF est explicite. Pour \(-1<a<b\), montrer qu'il existe un unique \(c\in]a;b[\) tel que \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\] et vérifier que \(c=\sqrt{(a+1)(b+1)}-1\).

4. Une inégalité stricte. Pour \(-1<a<b\), établir \[f(a)+f(b)-2f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^2}{(a+1)(b+1)(a+b+2)}>0.\]

5. Corde et courbe. Soit \(L_{a,b}\) la droite passant par \((a;f(a))\) et \((b;f(b))\). Montrer que \[f(x)-L_{a,b}(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x+1)(a+1)(b+1)}.\] Préciser où la courbe est au-dessus ou au-dessous de cette corde.

Repère de cours

Sur un intervalle où la fonction est deux fois dérivable, le signe de la dérivée seconde indique la convexité. Le théorème des accroissements finis nécessite la continuité sur le segment et la dérivabilité à l’intérieur.

Exercice 12 — Deux asymptotes et tangente d'appui

La rationalisation dévoile deux comportements asymptotiques différents. La stricte convexité permet ensuite d’étudier la tangente d’appui et les intersections d’une famille de droites parallèles.

Énoncé

On étudie, sur \(\mathbb R\), la fonction \[f(x)=\sqrt{x^2+2x+5}-x.\]

1. Rationalisation. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\), \[f(x)-1=\frac4{\sqrt{(x+1)^2+4}+x+1}>0.\] En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

2. Deux branches différentes. Déterminer l'asymptote de la courbe en \(-\infty\). Étudier la position relative de la courbe par rapport à chacune de ses deux asymptotes.

3. Monotonie et convexité. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\). Montrer que \(f\) est strictement décroissante et strictement convexe. Déterminer son image exacte.

4. Une réciproque explicite. Discuter selon \(\lambda\in\mathbb R\) l'existence d'une solution de \(f(x)=\lambda\), et exprimer cette solution en fonction de \(\lambda\) lorsqu'elle existe.

5. Droites de pente -1. Montrer que la tangente de pente \(-1\) est unique et qu'elle a pour équation \(y=2-x\). Discuter, suivant \(b\in\mathbb R\), le nombre d'intersections de la droite \(y=b-x\) avec la courbe. Donner leurs abscisses exactes.

Repère de cours

Pour les différences entre racines, on utilise la quantité conjuguée. Le signe de la dérivée régit les variations ; le signe de la dérivée seconde renseigne sur la convexité.

Exercice 13 — Un point exclu et une équation paramétrée

La simplification d’une fonction rationnelle ne doit pas faire oublier les valeurs exclues de son domaine. Cette distinction devient décisive lorsqu’on compte les solutions d’une équation.

Énoncé

On considère la fonction rationnelle \[f(x)=\frac{x^3+1}{x^2-1}.\]

1. Un domaine trompeur. Déterminer \(D_f\) et montrer que, sur ce domaine, \(f(x)=x+\frac1{x-1}\). Pourquoi ne peut-on pas remplacer directement \(D_f\) par \(\mathbb R\setminus\{1\}\) ?

2. Prolongement et asymptote verticale. Calculer la limite de \(f\) en \(-1\), puis ses limites à gauche et à droite de \(1\). Définir un prolongement continu en \(-1\).

3. Variations avec un point manquant. Calculer \(f'(x)\) sur \(D_f\) et étudier ses variations, en tenant compte de l'absence du point d'abscisse \(-1\). Déterminer \(f(0)\) et \(f(2)\).

4. Asymptote oblique. Trouver l'asymptote aux deux infinis. Étudier la position relative de la courbe et de cette droite.

5. Le paramètre exceptionnel. Pour \(\lambda\in\mathbb R\), discuter le nombre de solutions de \(f(x)=\lambda\). Montrer qu'en plus des valeurs critiques \(-1\) et \(3\), le nombre de solutions change à la valeur \(\lambda=-\frac32\). Préciser l'unique solution correspondant à cette dernière valeur.

Repère de cours

Une simplification par factorisation ne change pas le domaine initial. Pour discuter une équation à paramètre, le tableau de variations doit tenir compte des points exclus, même si la fonction simplifiée possède une limite finie.

Exercice 14 — Primitives, Arctan et trois solutions

L’exercice relie la recherche d’une primitive à la forme de sa courbe. Une décomposition de la fonction dérivée permet d’obtenir une expression exacte, puis une discussion complète des niveaux horizontaux.

Énoncé

Pour tout \(x\in\mathbb R\), on pose \(Q(x)=x^2+x+1\) et \[f(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{Q(x)^2}.\] On appelle \(F\) la primitive de \(f\) qui vérifie \(F(0)=0\).

1. Décomposition décisive. Montrer que \(Q(x)>0\) sur \(\mathbb R\) et que \[f(x)=\frac{Q'(x)}{Q(x)^2}+\frac1{Q(x)}.\]

2. Une primitive exacte. Démontrer que \[F(x)=1-\frac1{Q(x)}+\frac2{\sqrt3}\left[\operatorname{Arctan}\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt3}\right)-\frac\pi6\right].\]

3. Variations de la primitive. Étudier le signe de \(F'(x)\), dresser le tableau de variations de \(F\), puis calculer \(F(-2)\) et \(F(-1)\).

4. Limites aux deux infinis. Déterminer exactement \(\lim_{x\to-\infty}F(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}F(x)\). Montrer que \[\lim_{x\to-\infty}F(x)<F(-1)<F(-2)<\lim_{x\to+\infty}F(x).\]

5. Trois solutions. Soit \(\lambda\) tel que \(F(-1)<\lambda<F(-2)\). Démontrer que l'équation \(F(x)=\lambda\) admet exactement trois solutions réelles, situées dans trois intervalles à préciser.

Repère de cours

Une fonction continue sur un intervalle possède des primitives. Pour déterminer celle qui prend une valeur imposée, on cherche d’abord une primitive générale puis on fixe sa constante.

Exercice 15 — Famille de primitives et paramètres

Le paramètre agit directement sur le signe de la dérivée de la primitive. On étudie les seuils de monotonie et, dans un cas particulier, le nombre de solutions exactes d’une équation.

Énoncé

Pour \(a\in\mathbb R\), on considère la fonction continue sur \(\mathbb R\) : \[f_a(x)=\frac a{1+x^2}+\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.\] On note \(F_a\) l'unique primitive de \(f_a\) vérifiant \(F_a(0)=0\).

1. Primitive et parité. Démontrer que \[F_a(x)=a\operatorname{Arctan}(x)+\frac{x}{1+x^2}.\] En déduire que \(F_a\) est impaire et déterminer ses limites aux deux infinis.

2. Un signe dépendant de a. Établir \[F'_a(x)=\frac{(a+1)+(a-1)x^2}{(1+x^2)^2}.\]

3. Monotonie globale. Déterminer toutes les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(F_a\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), puis celles pour lesquelles elle est strictement décroissante.

4. Deux changements de sens. Si \(-1<a<1\), poser \[r=\sqrt{\frac{a+1}{1-a}}.\] Étudier les variations de \(F_a\) sur les trois intervalles délimités par \(-r\) et \(r\).

5. Discussion finale. Pour \(a=0\), déterminer l'image de \(F_0\) et discuter, suivant \(\lambda\in\mathbb R\), le nombre de solutions de \(F_0(x)=\lambda\). Lorsque \(0<|\lambda|<\frac12\), donner les deux solutions exactes.

Repère de cours

Deux primitives sur un intervalle diffèrent d’une constante. Pour étudier une famille de primitives, les valeurs seuils du paramètre se déduisent du signe de la dérivée.

Exercice 16 — Trois inflexions et une réciproque singulière

Une fonction polynomiale peut être strictement croissante malgré plusieurs zéros de sa dérivée. Ses points stationnaires expliquent ensuite les demi-tangentes verticales de la fonction réciproque.

Énoncé

Soit la fonction polynomiale \[P(x)=x^5-\frac{10}{3}x^3+5x\qquad(x\in\mathbb R).\] On note \(G=P^{-1}\) lorsque la fonction réciproque existe.

1. Une croissance malgré des dérivées nulles. Montrer que \(P'(x)=5(x^2-1)^2\). Démontrer que \(P\) est strictement croissante et bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\).

2. Trois inflexions. Calculer \(P''(x)\) et déterminer les trois abscisses des points d'inflexion de la courbe.

3. Dérivée de la réciproque. Montrer que \(G\) est impaire et que \(G'(0)=\frac15\). Exprimer \(G'(t)\) pour \(t\in\mathbb R\setminus\{-\frac83;\frac83\}\).

4. Tangentes verticales. Montrer que \(G\) n'est dérivable ni en \(\frac83\) ni en \(-\frac83\), et interpréter géométriquement les taux d'accroissement correspondants.

5. Défi de factorisation. Établir l'identité \[P(x)-\frac83=\frac{(x-1)^3(3x^2+9x+8)}3.\] En déduire, sans développement limité, \[\lim_{t\to\frac83}\frac{(G(t)-1)^3}{t-\frac83}=\frac3{20}.\]

Repère de cours

La stricte croissance peut subsister lorsque la dérivée s’annule en quelques points. Pour calculer la dérivée d’une fonction réciproque, il faut vérifier que la dérivée de la fonction initiale ne s’annule pas au point correspondant.

Exercice 17 — Jusqu'à cinq intersections avec une droite

Une fonction rationnelle impaire présente un maximum, un minimum et une tangente horizontale qui n’est pas associée à un extremum. L’intersection avec les droites de pente variable révèle jusqu’à cinq points communs.

Énoncé

On étudie la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \[f(x)=\frac{x^3}{1+x^4}.\] On note \(C_f\) sa courbe représentative.

1. Variations et image exacte. Montrer que \(f\) est impaire, calculer ses limites aux deux infinis et établir \[f'(x)=\frac{x^2(3-x^4)}{(1+x^4)^2}.\] Dresser le tableau de variations et déterminer \(f(\mathbb R)\).

2. Tangentes horizontales. Déterminer tous les points de \(C_f\) où la tangente est horizontale. Préciser la nature de chacun de ces points.

3. Équation horizontale. Discuter, selon \(\lambda\in\mathbb R\), le nombre de solutions de \(f(x)=\lambda\).

4. Cinq points communs. Pour \(m\in\mathbb R\), discuter le nombre de points communs entre \(C_f\) et la droite \(y=mx\). Montrer qu'il peut être égal à cinq.

5. Abscisses exactes. Si \(0<m<\frac12\), démontrer que les quatre intersections non nulles ont pour abscisses \[x=\pm\sqrt{\frac{1\pm\sqrt{1-4m^2}}{2m}}.\] Montrer que le produit des deux abscisses positives est égal à \(1\).

Repère de cours

La parité simplifie l’étude globale. Pour dénombrer les intersections avec une droite, il est souvent préférable de factoriser l’équation et d’étudier une fonction auxiliaire non négative.

Exercice 18 — Trois tangentes passant par un même point

La question finale demande de compter les tangentes à une courbe cubique passant par un point extérieur. Les variations d’un polynôme en paramètre permettent de prouver existence et unicité sans résoudre la cubique.

Énoncé

On considère la courbe \(C\) de la fonction \[f(x)=x^3-3x\qquad(x\in\mathbb R).\] Pour \(a\in\mathbb R\), on note \((T_a)\) la tangente en \(A(a;f(a))\).

1. Variations et symétrie. Montrer que \(f\) est impaire. Déterminer ses variations, ses extrema locaux et ses limites aux deux infinis.

2. Équation à paramètre. Pour \(\lambda\in\mathbb R\), discuter le nombre de solutions réelles distinctes de \(f(x)=\lambda\).

3. Tangente générale. Calculer l'équation de \((T_a)\) et montrer que \[(T_a):\quad y=(3a^2-3)x-2a^3.\]

4. Un second point d'intersection. Établir \[f(x)-\big[(3a^2-3)x-2a^3\big]=(x-a)^2(x+2a).\] En déduire les intersections de la tangente avec \(C\). Que se passe-t-il pour \(a=0\) ?

5. Le grand défi géométrique. On fixe le point \(P(2;0)\), qui n'appartient pas à \(C\). Montrer que \((T_a)\) passe par \(P\) si et seulement si \[a^3-3a^2+3=0.\] À l'aide des variations et du TVI, démontrer qu'il existe exactement trois tangentes distinctes à \(C\) passant par \(P\). Localiser les trois points de tangence.

Repère de cours

L’équation d’une tangente en un point est obtenue grâce au nombre dérivé. Pour déterminer le nombre de tangentes passant par un point fixé, on étudie ensuite les solutions de l’équation imposée par l’appartenance de ce point à la tangente.

Pour conclure

Ces neuf problèmes permettent d’entraîner l’argumentation mathématique : identification des hypothèses, étude des signes, variations, vérification des valeurs critiques et dénombrement exact des solutions. Les questions sont proposées sans correction afin de favoriser un véritable travail personnel. Pour progresser, il est conseillé de rédiger séparément les justifications de continuité, de dérivabilité et de stricte monotonie avant d’utiliser un théorème.

Parcours Maths Maroc — PMM · Professeur Hammou Boudraa · 2e Bac Sciences Mathématiques