Exercices MPM 13 à 16 — Continuité
2e Bac Sciences Mathématiques — Perfectionnement
Cette série de quatre exercices approfondit plusieurs notions fondamentales du chapitre de la continuité. Elle met en relation le théorème des valeurs intermédiaires, les variations des fonctions, l'existence et l'unicité de solutions, les fonctions réciproques et l'approximation numérique des racines.
Les problèmes proposés demandent davantage que l'application immédiate d'une formule. Il faut choisir les résultats du cours appropriés, identifier leurs hypothèses, organiser les différentes étapes du raisonnement et exploiter les conclusions obtenues dans les questions suivantes.
Une attention particulière sera accordée à la différence entre l'existence d'une solution et son unicité, ainsi qu'au rôle des intervalles dans l'application des théorèmes.
Exercice MPM 13
Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'établir qu'une fonction continue prend certaines valeurs comprises entre deux valeurs déjà connues. Son application demande de préciser un segment sur lequel la fonction est continue et de vérifier que la valeur recherchée se situe entre les images des extrémités choisies.
Dans cet exercice, cette idée intervient dans un contexte particulier : plusieurs valeurs de la fonction sont associées à des coefficients positifs dont la somme vaut \(1\). Il s'agit de comprendre comment cette combinaison se situe par rapport aux valeurs considérées, avant de faire intervenir la continuité.
Cet exercice relie une moyenne pondérée des valeurs d'une fonction continue au théorème des valeurs intermédiaires.
Soit \(f:[a,b]\to\mathbb R\) une fonction continue. On considère \(n\ge2\), des réels distincts \(x_1,\ldots,x_n\in[a,b]\) et des coefficients \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n>0\) tels que
On pose
1. Montrer que
2. En déduire qu'il existe au moins un réel \(c\in[m,M]\) tel que
Indication : choisir deux valeurs extrêmes parmi les \(f(x_i)\), puis appliquer le TVI.
3. On suppose désormais que \(f\) est strictement monotone sur \([a,b]\).
a) Montrer que la solution \(c\) de la question 2 est unique.
b) Montrer que
4. Cas particulier. En prenant \(\lambda_1=\cdots=\lambda_n=\dfrac1n\), montrer qu'il existe \(c\in[m,M]\) tel que
Que peut-on préciser si \(f\) est strictement monotone ?
5. Application. On considère \(p:[0,2]\to\mathbb R\), \(p(x)=x^3+x\), avec
a) Justifier que \(p\) est continue et strictement croissante sur \([0,2]\).
b) Montrer qu'il existe une unique \(\alpha\in]1,2[\) telle que
c) Vérifier que
Les premières questions distinguent trois problèmes : situer une valeur obtenue à partir de plusieurs images, démontrer qu'elle est effectivement atteinte par la fonction, puis établir si le réel qui lui correspond est unique.
Il faut donc bien séparer le rôle des coefficients, celui de la continuité et celui de la stricte monotonie. Ces propriétés n'interviennent pas pour les mêmes raisons.
Dans l'application finale, les résultats généraux permettent de préparer l'étude d'une équation polynomiale. L'encadrement numérique demandé constitue une étape supplémentaire : il apporte une localisation plus précise après l'étude théorique.
Exercice MPM 14
Pour étudier le nombre de solutions d'une équation polynomiale, la continuité constitue un premier outil. Toutefois, elle ne suffit généralement pas pour prouver l'unicité d'une racine.
L'étude des variations complète alors le théorème des valeurs intermédiaires. En déterminant les intervalles de monotonie, on peut mieux comprendre la position des éventuelles solutions.
Ici, le polynôme dépend d'un entier \(n\). Il faudra donc mener un raisonnement valable pour toute valeur autorisée de ce paramètre, sans se limiter à quelques exemples numériques.
Cet exercice étudie une famille de polynômes et met en évidence une solution unique.
Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\ge2\). On considère la fonction \(f_n\) définie sur \([0,2]\) par
1. Calculer \(f'_n(x)\), puis montrer que \(f_n\) est strictement décroissante sur
et strictement croissante sur
2. a) Montrer que
b) En utilisant les variations de \(f_n\), montrer que l'équation
admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \(]\frac32,2[\).
Indication : on pourra comparer \(\dfrac{2n}{n+1}\) à \(\dfrac32\).
3. Montrer que
4. En déduire l'encadrement
5. Cas particulier : \(n=2\).
a) Factoriser \(f_2(x)\), puis déterminer exactement \(\alpha_2\).
b) Vérifier que
La question sur l'unicité demande d'exploiter les variations sur l'intervalle où l'on cherche la solution. Le fait qu'une fonction change de signe garantit une existence sous les hypothèses du TVI, mais ne garantit pas à lui seul l'unicité.
La dépendance en \(n\) est également importante. Les expressions qui définissent les bornes des intervalles doivent être étudiées avec soin afin que les arguments restent valables pour tout entier \(n\ge2\).
Les dernières questions demandent de passer d'une information qualitative sur la racine à une information quantitative : établir un encadrement dépendant de \(n\), puis examiner un cas particulier permettant un calcul exact.
Exercice MPM 15
Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image. Cette propriété joue un rôle fondamental lorsqu'on cherche à définir une fonction réciproque ou à étudier l'existence et l'unicité d'une solution.
Avant de déterminer une fonction réciproque, il faut donc identifier précisément l'ensemble image. En particulier, les limites aux bornes d'un intervalle non borné permettent souvent de déterminer les valeurs atteintes et celles qui ne le sont pas.
Cet exercice comporte une exigence supplémentaire : la croissance devra être démontrée sans dérivation. Il faudra privilégier les comparaisons algébriques et les propriétés d'ordre.
Cet exercice porte sur l'image d'un intervalle, la bijection et la fonction réciproque.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par
1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\) et qu'elle est impaire.
2. Montrer, sans utiliser la dérivée, que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
3. Calculer
En déduire que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(]-1,1[\).
4. Déterminer l'expression de la fonction réciproque \(f^{-1}\) sur \(]-1,1[\).
5. Soit
Déterminer exactement l'intervalle \(f(I)\).
6. Soit \(a\in\mathbb R\). On considère l'équation
a) Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \((E_a)\) admet une solution réelle.
b) Lorsqu'elle existe, montrer que cette solution est unique et la déterminer explicitement en distinguant les cas \(|a|\lt1\) et \(|a|>1\).
Les premières questions préparent la bijection : la continuité, la parité et la croissance donnent des informations sur le comportement de la fonction. L'étude des limites complète ces informations en précisant son ensemble image.
Une fois la bijection établie, la fonction réciproque devient un outil permettant de retrouver l'antécédent d'une valeur appartenant à l'ensemble image. Il faut alors garder une distinction claire entre l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et l'image effectivement obtenue.
La dernière question introduit un paramètre \(a\). Pour discuter l'équation, il ne suffit pas de transformer algébriquement ses deux membres : il faut d'abord examiner si le second membre peut appartenir à l'image de la fonction. Cette vérification est indispensable avant toute recherche explicite de solution.
Exercice MPM 16
Le théorème des valeurs intermédiaires permet de justifier l'existence d'une racine à partir de la continuité et d'un changement de signe. Lorsqu'on connaît également la stricte monotonie, on peut établir l'unicité de cette racine.
Ces résultats théoriques permettent ensuite d'utiliser une méthode d'approximation : la dichotomie. Son principe consiste à construire une succession de segments contenant la racine, en réduisant progressivement leur longueur.
L'objectif n'est pas simplement d'obtenir une valeur décimale approchée, mais de produire un encadrement mathématiquement justifié, avec une précision que l'on peut contrôler.
Cet exercice introduit la méthode de dichotomie et son utilisation pour approcher une racine.
On considère la fonction \(f\) définie sur \([1,2]\) par
1. Montrer que \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,2]\).
2. Montrer que l'équation
admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]1,2[\).
3. On applique la méthode de dichotomie à partir de \(I_0=[1,2]\). À chaque étape, on calcule le milieu du segment obtenu, puis on conserve le demi-segment dans lequel \(f\) change de signe.
a) Effectuer les cinq premières étapes et montrer que
b) Poursuivre deux étapes supplémentaires et en déduire
4. Après \(n\) étapes de dichotomie, on note \(I_n=[a_n,b_n]\) le segment qui contient \(\alpha\). Montrer que
5. Déterminer le plus petit entier \(n\) pour lequel la longueur de \(I_n\) est strictement inférieure à \(10^{-3}\).
Interpréter ce résultat en termes de précision de l'encadrement obtenu.
À chaque étape, la continuité permet de conserver un segment contenant au moins une racine. L'unicité établie précédemment permet de savoir que l'on cherche toujours le même réel \(\alpha\).
Une difficulté importante consiste à ne pas confondre une valeur approchée obtenue par calcul et un encadrement démontré. Dans une démarche rigoureuse, chaque nouveau segment doit être justifié par les signes de la fonction.
Les dernières questions conduisent à une propriété générale de la méthode : le nombre d'étapes permet de prévoir la précision de l'encadrement. Cette idée dépasse le seul polynôme étudié ici et peut être réutilisée pour de nombreuses équations continues dont on ne connaît pas de solution explicite.
Ces quatre exercices montrent comment plusieurs résultats du cours se complètent : la continuité pour garantir certaines valeurs intermédiaires, la monotonie pour contrôler l'unicité, la bijection pour définir une fonction réciproque et la dichotomie pour localiser une racine avec une précision déterminée.
La résolution de problèmes de continuité repose donc sur un enchaînement cohérent d'arguments : identifier la fonction et son domaine, vérifier les hypothèses du théorème choisi, exploiter le résultat obtenu et justifier les conclusions qui en découlent.
Professeur Hammou Boudraa
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