Exercices MPM 17 à 20 — Continuité
2e Bac Sciences Mathématiques — Perfectionnement
Les quatre exercices de cette série approfondissent la continuité à travers des objets mathématiques différents : les fonctions racines n-ièmes, les puissances rationnelles, les fonctions composées avec Arctan et les fonctions rationnelles définies sur un segment. Dans chaque problème, la continuité intervient avec d'autres notions du cours : limites, variations, image d'un intervalle et existence de solutions.
La difficulté consiste notamment à reconnaître quand un changement de variable est utile, à distinguer l'expression initiale d'un prolongement par continuité et à contrôler les hypothèses des théorèmes invoqués. Une équation avec paramètre ne se résout pas seulement par des calculs : il faut aussi étudier les valeurs effectivement prises par la fonction sur l'intervalle considéré.
Les rappels placés avant chaque exercice indiquent les notions à mobiliser. Les conseils qui suivent les questions mettent en évidence les choix de méthode et les points de vigilance, tout en laissant à l'élève la recherche et la démonstration des résultats.
Exercice MPM 17
Le cours établit que la fonction racine n-ième est continue et strictement croissante sur l'ensemble des réels positifs. Les règles de composition et de différence de fonctions continues permettent ainsi de justifier la continuité d'une expression comportant plusieurs racines, à condition de préciser l'ensemble sur lequel chaque terme est défini.
Une différence de racines peut être difficile à comparer directement. L'identité de factorisation de la différence de deux puissances offre une autre écriture, utile pour étudier un quotient, une variation ou une limite. Il faut garder à l'esprit que les termes intervenant au dénominateur sont liés à des racines de nombres positifs.
Enfin, lorsque la continuité est associée à la stricte monotonie sur un intervalle, le cours permet de caractériser le nombre d'antécédents d'une valeur : c'est la démarche à mobiliser pour les équations dépendant d'un paramètre.
Cet exercice étudie une famille de fonctions construites à partir de la racine n-ième.
Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\ge2\). On définit, pour tout \(x\ge0\),
1. Montrer que \(f_n\) est continue sur \([0,+\infty[\) et que, pour tout \(x\ge0\),
2. On pose
À l’aide de l’identité
montrer que
3. En déduire que \(f_n\) est strictement décroissante sur \([0,+\infty[\). Puis montrer que, pour \(x>0\),
et déterminer
4. Soit \(\lambda\) un réel strictement positif.
a) Déterminer les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles l’équation
admet une solution dans \([0,+\infty[\), et montrer que cette solution est alors unique.
b) Sachant que
préciser la position de la solution par rapport à \(1\) suivant la valeur de \(\lambda\).
5. Application. Pour \(n=2\), résoudre dans \([0,+\infty[\) :
La première question porte sur la définition et la continuité de la fonction. La deuxième construit une nouvelle expression à partir de l'identité algébrique fournie : cette expression servira dans les questions suivantes, il importe donc de comprendre pourquoi le dénominateur est strictement positif.
Dans l'étude de la décroissance, le comportement des racines lorsque la variable augmente est essentiel. Pour la limite à l'infini, la majoration demandée invite à utiliser un raisonnement par encadrement ; remarquez bien que cette majoration est énoncée uniquement pour une variable strictement positive.
L'équation avec paramètre demande de déterminer quelles valeurs sont effectivement atteintes, puis de justifier l'unicité. La position d'une solution par rapport à 1 se déduit d'une comparaison cohérente avec le sens de variation établi auparavant. L'application finale permet de retrouver ces idées pour une racine carrée.
Exercice MPM 18
Une expression quotient peut ne pas être définie en un réel alors que sa limite en ce point existe. Le prolongement par continuité consiste à attribuer une valeur à la fonction au point exclu, choisie de manière à obtenir la continuité. Il faut distinguer soigneusement le domaine initial de la fonction et celui de la fonction ainsi prolongée.
Les puissances rationnelles se prêtent parfois à un changement de variable utilisant une racine n-ième. L'intérêt de ce procédé est de transformer une expression avec puissances fractionnaires en une expression algébrique plus facile à étudier. Une telle transformation doit toutefois conserver le domaine et tenir compte des valeurs exclues.
Le cours sur l'image d'un intervalle par une fonction continue, associé à la monotonie, permet ensuite de relier les valeurs de la fonction au nombre de solutions d'une équation. Le contrôle des bornes d'un intervalle ouvert est ici particulièrement important.
Cet exercice s’intéresse à une puissance rationnelle et à un prolongement par continuité.
Pour \(x>0\) et \(x\neq1\), on définit
1. On pose \(t=\sqrt[3]{x}\). Montrer que
2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)\). En déduire la valeur à attribuer à \(f(1)\) pour obtenir une fonction \(g\) continue sur \(]0,+\infty[\).
3. Montrer, sans utiliser la dérivée, que \(g\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\).
Puis déterminer
et en déduire l’image de \(]0,+\infty[\) par \(g\).
4. Soit \(\lambda>0\). On considère l’équation
a) Déterminer les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles \((E_\lambda)\) admet une solution dans \(]0,+\infty[\), et montrer que cette solution est alors unique.
b) Sachant que
préciser la position de cette solution par rapport à \(1\) suivant la valeur de \(\lambda\).
5. Application. Résoudre dans \(]0,+\infty[\) :
en utilisant la variable \(t=\sqrt[3]{x}\).
La valeur \(x=1\) est exclue de la définition initiale. Dans les premières questions, le changement de variable doit permettre d'étudier la limite en ce point sans substituer directement la valeur interdite dans le quotient de départ.
Lorsque la fonction prolongée est étudiée sans dérivée, on peut chercher à comparer ses valeurs en deux réels ordonnés à l'aide de leur expression algébrique. Les calculs de limites aux deux extrémités de l'intervalle viennent ensuite compléter l'étude de son image.
La discussion de l'équation dépend de cet ensemble image, pas uniquement de transformations algébriques. Dans la dernière application, il faut reprendre le domaine de l'expression fractionnaire initiale : une solution éventuelle de l'équation transformée doit toujours satisfaire les conditions de départ.
Exercice MPM 19
La fonction Arctan est continue sur son ensemble de définition. Lorsqu'elle apparaît dans un quotient faisant intervenir plusieurs racines, il faut d'abord déterminer où le dénominateur est non nul, puis distinguer l'étude du signe de celle des limites aux bornes du domaine.
Au voisinage d'une valeur exclue, une forme indéterminée exige une transformation qui fasse apparaître une limite usuelle. L'emploi d'un changement de variable adapté aux exposants fractionnaires peut faciliter la factorisation des expressions. L'objectif est de justifier une limite sans faire appel à une méthode extérieure au programme.
Une fois la continuité obtenue par prolongement, le théorème des valeurs intermédiaires permet d'établir l'existence d'une solution sur un segment, à condition de vérifier explicitement les valeurs aux extrémités et leur position par rapport à la valeur recherchée.
Cet exercice étudie une fonction faisant intervenir \(\operatorname{Arctan}\), puis un prolongement par continuité.
Pour \(x>0\) et \(x\neq1\), on définit
1. Déterminer l’ensemble de définition \(D_g\).
2. a) Montrer que, pour tout \(x\in D_g\),
b) Calculer
3. Pour étudier le comportement de \(g\) au voisinage de \(1\), on pose
a) Montrer que, pour \(x\neq1\),
b) En déduire
4. On définit \(G\) sur \(]0,+\infty[\) par
Montrer que \(G\) est continue sur \(]0,+\infty[\).
5. Application au TVI.
a) Calculer exactement \(G(8)\), puis montrer, en utilisant \(\pi\lt4\) et \(\sqrt2\lt\dfrac32\), que
b) En déduire que l’équation
admet au moins une solution \(c\in]1,8[\).
L'étude commence par le domaine et le signe du quotient. Le signe d'une expression avec Arctan et des racines ne peut pas être attribué à un seul facteur : les signes du numérateur et du dénominateur doivent être comparés sur les différents intervalles du domaine.
Pour les limites, les voisinages de 0, de 1 et de l'infini correspondent à des situations distinctes. Le changement de variable proposé dans la troisième question doit être utilisé en respectant les relations entre les puissances et les racines ; il doit faire apparaître une limite usuelle d'Arctan.
Enfin, le prolongement donne un nouvel objet : la fonction \(G\). C'est sa continuité, sur un segment convenablement choisi, qui permet de recourir au TVI dans la question finale. Il ne faut pas confondre « au moins une solution » avec « une solution unique » : l'exercice ne fournit pas automatiquement cette seconde conclusion.
Exercice MPM 20
Le cours affirme que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Pour déterminer cet ensemble exactement, il ne suffit pas de connaître les images des deux extrémités : il faut rechercher le minimum et le maximum de la fonction sur tout le segment.
Un changement de variable peut rendre les variations d'une fonction rationnelle plus accessibles. Une comparaison de deux valeurs de la fonction transformée permet parfois de conclure sans utiliser de dérivée. Il faut ensuite revenir à la variable initiale pour décrire les variations sur le bon intervalle.
Pour une équation de la forme \(f(x)=\lambda\), le nombre de solutions dépend de la position de la droite horizontale de niveau \(\lambda\) par rapport aux différentes branches de la courbe. Les valeurs aux bornes et les extremums doivent être traités séparément, notamment lorsqu'on demande le nombre de solutions distinctes.
Cet exercice travaille l’image d’un segment et une équation avec paramètre.
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,3]\) par
1. Montrer que \(f\) est continue sur \([0,3]\).
2. Pour \(x\in[0,3]\), on pose \(t=x+1\) et
a) Vérifier que \(f(x)=h(t)-2\).
b) Soient \(1\le u\lt v\le\sqrt2\). Montrer que \(h(u)>h(v)\).
c) Soient \(\sqrt2\le u\lt v\le4\). Montrer que \(h(u)\lt h(v)\).
d) En déduire les variations de \(f\) sur \([0,3]\).
3. Déterminer exactement l’image du segment \([0,3]\) par \(f\), c’est-à-dire
4. Soit \(\lambda\in\mathbb R\). Discuter, suivant les valeurs de \(\lambda\), le nombre de solutions dans \([0,3]\) de l’équation
On précisera les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles l’équation possède zéro, une ou deux solutions.
5. Perfectionnement. Soit \(a\in[0,3]\).
a) Montrer que l’équation \(f(x)=f(a)\) est équivalente à
b) En déduire les solutions possibles, puis discuter le nombre de solutions distinctes dans \([0,3]\) suivant la valeur de \(a\).
Le changement de variable de la question 2 transforme l'intervalle de départ en un autre segment. Pour étudier les variations sans dérivée, l'approche suggérée par l'énoncé est de comparer directement deux valeurs \(h(u)\) et \(h(v)\), en tenant compte des hypothèses d'ordre données.
Dans la recherche de l'image du segment, repérez la valeur minimale et la valeur maximale sur l'ensemble de l'intervalle. Les extrémités du segment ne suffisent pas nécessairement à fournir ces deux valeurs.
La discussion suivant \(\lambda\) demande une attention particulière aux valeurs frontières : deux branches d'une fonction peuvent fournir deux antécédents distincts, un seul ou aucun. Dans la dernière question, la factorisation fournie permet de comparer les antécédents d'une même valeur, mais chacun des candidats doit appartenir à \([0,3]\), et des solutions algébriques égales ne doivent pas être comptées deux fois.
Cette série souligne l'importance du raisonnement dans l'étude de la continuité : une transformation algébrique utile facilite l'étude des limites et des variations ; les propriétés des fonctions continues permettent ensuite d'identifier l'image d'un intervalle et de discuter l'existence de solutions.
Avant d'appliquer un résultat du cours, prenez l'habitude de préciser la fonction étudiée, son domaine, l'intervalle considéré, la propriété utilisée et les hypothèses nécessaires. Lorsque le problème dépend d'un paramètre, distinguez l'existence, l'unicité et la localisation d'une solution. Cette démarche aide à construire des solutions rigoureuses et réutilisables.
Professeur Hammou Boudraa
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