Exercices MPM 21 à 24 — Continuité
2e Bac Sciences Mathématiques — Perfectionnement
Cette série de quatre exercices permet d'approfondir les propriétés fondamentales de la continuité à travers des problèmes progressifs, dans lesquels les différentes questions sont liées.
Les situations proposées mobilisent notamment le théorème des valeurs intermédiaires, l'image d'un intervalle par une fonction continue, la stricte monotonie, les fonctions réciproques et la recherche de points fixes.
Dans chaque exercice, il est important de distinguer trois objectifs : démontrer l'existence d'une solution, établir éventuellement son unicité et déterminer sa valeur exacte lorsque cela est possible.
Les questions de perfectionnement invitent à réutiliser les résultats précédemment démontrés pour obtenir des conclusions plus générales.
Exercice MPM 21 — Valeurs égales et continuité
Soit \(f:[0,1]\to\mathbb R\) une fonction continue vérifiant
L'objectif est de démontrer qu'une telle fonction prend nécessairement la même valeur en deux points séparés par une distance prescrite.
Si une fonction est continue sur un segment et prend des valeurs de signes opposés aux extrémités, alors elle s'annule au moins une fois sur ce segment.
Pour appliquer ce théorème, il est parfois nécessaire de construire une fonction auxiliaire dont les zéros correspondent exactement aux égalités recherchées.
1. Deux points séparés de \(\frac12\)
1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\left[0,\frac12\right]\) par
a) Justifier que \(g\) est continue sur son domaine.
b) Montrer que \(g(0)=-g\left(\frac12\right)\).
c) En déduire qu'il existe \(c\in\left[0,\frac12\right]\) tel que
2. Généralisation à \(n\) subdivisions
2. Soit \(n\ge2\) un entier. On définit sur \(\left[0,1-\frac1n\right]\) la fonction
a) Montrer que
b) En déduire qu'il existe \(c_n\in\left[0,1-\frac1n\right]\) tel que
Indication : distinguer le cas où l'un des termes de la somme est nul.
3. Application à une fonction polynomiale
3. On considère sur \([0,1]\) la fonction
Pour un entier \(n\ge2\), déterminer exactement tous les réels \(x\in\left[0,1-\frac1n\right]\) vérifiant
Montrer que la solution est unique.
4. Deux points arbitrairement proches
4. Perfectionnement. Montrer que, pour tout réel \(\varepsilon\gt0\), il existe deux points distincts \(u,v\in[0,1]\) tels que
Cette propriété implique-t-elle l'unicité du couple \((u,v)\) ? Justifier.
Commencez par comprendre le rôle de l'hypothèse \(f(0)=f(1)\). Dans les premières questions, les valeurs prises par une fonction auxiliaire aux extrémités de son domaine jouent un rôle essentiel.
Pour la généralisation, cherchez comment obtenir une information sur les signes de plusieurs nombres à partir de leur somme. Il faudra ensuite relier cette information à la continuité.
Dans la dernière question, réfléchissez à la manière de construire une distance strictement positive et plus petite qu'un réel donné.
Exercice MPM 22 — Bijection et fonction réciproque
On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb R\) par
On cherchera à obtenir ses propriétés essentielles sans calculer sa dérivée.
Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image.
Pour déterminer sa fonction réciproque, on doit d'abord connaître exactement son ensemble d'arrivée, puis exprimer l'antécédent en fonction de son image.
Dans cet exercice, certaines transformations algébriques permettent d'étudier une fonction contenant une racine carrée sans utiliser la dérivation.
1. Positivité et identité fondamentale
1. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
et que
En déduire que
2. Stricte croissance sans dérivée
2. On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(]0,+\infty[\) par
a) Montrer, sans dérivée, que \(\varphi\) est strictement croissante.
b) En déduire que \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
3. Limites et image de \(\mathbb R\)
3. Calculer
En déduire que \(F\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(]0,+\infty[\).
4. Expression de la réciproque
4. Déterminer l'expression de \(F^{-1}\) sur \(]0,+\infty[\).
Vérifier que cette fonction réciproque est strictement croissante.
5. Équation avec paramètre
5. Perfectionnement. Soit \(\lambda\in\mathbb R\). On considère l'équation
a) Montrer que \((E_\lambda)\) est équivalente à
b) Discuter, suivant les valeurs de \(\lambda\), le nombre de solutions réelles.
c) Déterminer explicitement les solutions lorsqu'elles existent.
Les propriétés demandées sont liées. Il est donc préférable de ne pas traiter chaque question comme un problème indépendant.
Une identité obtenue à partir de l'expression de \(F\) peut devenir un outil pour étudier ses variations et sa fonction réciproque.
Dans les calculs de limites, vérifiez si une transformation algébrique permet d'éviter une forme indéterminée.
Enfin, pour une équation avec paramètre, étudiez les valeurs possibles du membre dépendant de \(x\), avant de discuter le nombre de solutions.
Exercice MPM 23 — Symétrie et antécédents
On considère la fonction \(H\) définie sur \([-1,3]\) par
On étudiera ses propriétés sans utiliser la dérivée.
Une fonction continue sur un segment atteint son minimum et son maximum. Son image est alors le segment délimité par ces deux valeurs.
Lorsqu'une fonction change de sens de variation, il est souvent nécessaire de l'étudier séparément sur plusieurs intervalles pour déterminer le nombre d'antécédents d'un réel donné.
Une symétrie de la courbe peut également permettre de relier plusieurs solutions d'une même équation.
1. Continuité et symétrie
1. Montrer que \(H\) est continue sur \([-1,3]\).
Vérifier que, pour tout \(x\in[-1,3]\),
Interpréter cette égalité.
2. Une identité utile
2. Montrer que, pour tout \(x\in[-1,3]\),
En déduire que
Préciser les cas d'égalité.
3. Variations sans dérivée
3. En utilisant l'identité précédente, montrer que \(H\) est strictement croissante sur \([-1,1]\) et strictement décroissante sur \([1,3]\).
En déduire exactement l'intervalle \(H([-1,3])\).
4. Équation avec paramètre
4. Pour \(\lambda\in\mathbb R\), on considère l'équation
Discuter le nombre de solutions suivant les valeurs de \(\lambda\).
Montrer que, lorsque l'équation possède deux solutions distinctes \(x_1\) et \(x_2\), on a
5. Réciproque d'une restriction et application
5. Perfectionnement. On note \(h\) la restriction de \(H\) à \([-1,1]\).
a) Justifier que \(h\) possède une fonction réciproque sur \([2,2\sqrt2]\).
b) Montrer que, pour \(y\in[2,2\sqrt2]\),
c) Résoudre dans \([-1,3]\) l'équation
Commencez par vérifier que chaque expression est définie sur l'intervalle considéré. La continuité découlera ensuite des propriétés des fonctions usuelles.
Lorsqu'une fonction contient deux racines carrées, l'étude de son carré peut faire apparaître une expression plus facile à comparer.
Pour déterminer une fonction réciproque, la restriction à un intervalle de stricte monotonie est essentielle : elle permet d'obtenir un unique antécédent.
Après une élévation au carré, vérifiez toujours les conditions de signe et l'appartenance des solutions à l'intervalle demandé.
Exercice MPM 24 — Involution et point fixe
On considère la fonction \(T\) définie sur \([0,1]\) par
Une fonction qui vérifie \(T(T(x))=x\) est appelée une involution. L'exercice propose d'étudier une telle fonction, puis de démontrer un résultat plus général sur les points fixes.
Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image.
Pour rechercher un point fixe d'une fonction \(h\), c'est-à-dire un réel vérifiant \(h(x)=x\), on peut étudier les zéros de la fonction auxiliaire \(x\mapsto h(x)-x\).
Le théorème des valeurs intermédiaires permet, sous certaines hypothèses, de démontrer l'existence d'un tel point. Une étude de monotonie peut ensuite établir son unicité.
1. Continuité et variations
1. Montrer que \(T\) est continue sur \([0,1]\).
Puis, pour \(0\le u\lt v\le1\), calculer \(T(v)-T(u)\) et en déduire que \(T\) est strictement décroissante sur \([0,1]\).
2. Bijection et involution
2. Déterminer \(T([0,1])\), puis montrer que \(T\) réalise une bijection de \([0,1]\) sur lui-même.
Calculer \(T(T(x))\) pour tout \(x\in[0,1]\).
En déduire l'expression de \(T^{-1}\).
3. Existence et unicité d'un point fixe
3. Montrer que l'équation
admet une unique solution \(\alpha\in]0,1[\).
Déterminer exactement \(\alpha\).
4. Une équation différente du point fixe
4. On considère l'équation
Montrer qu'elle admet une unique solution \(\beta\).
Établir ensuite l'encadrement
Donner une équation polynomiale vérifiée par \(\beta\).
5. Théorème général du point fixe
5. Ouverture et généralisation. Soit \(h:[0,1]\to[0,1]\) une fonction continue et strictement décroissante.
a) Montrer qu'il existe un unique \(c\in[0,1]\) tel que
b) Montrer que si, de plus, \(h(0)\gt0\) et \(h(1)\lt1\), alors
c) Expliquer pourquoi le résultat de la question 3 est un cas particulier de ce théorème.
Dans les premières questions, vérifiez les conditions de définition de la fonction rationnelle et étudiez les différences entre deux images pour déterminer son sens de variation.
Une fois la bijection établie, la composition de la fonction avec elle-même permet d'explorer une propriété particulière de sa réciproque.
Pour les équations, il faut distinguer l'existence, l'unicité et la détermination exacte ou approchée de la solution.
La dernière question demande une véritable généralisation : la démonstration doit être valable pour toute fonction satisfaisant les hypothèses, indépendamment de son expression algébrique.
Ces quatre exercices montrent que la continuité constitue un outil central dans la résolution de problèmes d'existence et dans l'étude des équations.
Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer qu'une valeur est atteinte, à condition de vérifier précisément les hypothèses de continuité et les valeurs aux bornes.
La stricte monotonie apporte une information complémentaire : elle permet notamment d'établir l'unicité d'un antécédent et de reconnaître une bijection.
Les identités algébriques, les comparaisons directes et les symétries permettent également d'obtenir des résultats importants sans recourir systématiquement au calcul des dérivées.
Pour bien profiter de cette série, résolvez les questions dans leur ordre et réutilisez les résultats précédents chaque fois qu'ils deviennent pertinents.
Professeur Hammou Boudraa
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