Exercices MPM 8 à 12 — Continuité
2e Bac Sciences Mathématiques — Perfectionnement
Cette série de cinq exercices approfondit plusieurs aspects essentiels de la continuité : l'existence et l'unicité d'une solution, les propriétés de la fonction Arctan, les équations fonctionnelles, les fonctions qui coïncident avec leur propre réciproque et les bijections associées à un paramètre. Chaque exercice développe un raisonnement complet dans lequel les résultats d'une question servent à préparer les suivantes.
Une même conclusion peut demander plusieurs arguments de nature différente. Pour établir une existence, on recherche généralement une fonction continue et des valeurs qui encadrent le nombre visé. Pour prouver l'unicité, il faut un argument supplémentaire, souvent fondé sur la stricte monotonie. Lorsqu'une fonction est décrite par une relation fonctionnelle plutôt que par une formule explicite, l'enjeu est d'exploiter méthodiquement cette relation sans supposer les propriétés à démontrer.
Les rappels de cours sont placés avant chaque énoncé afin de relier les questions aux propriétés correspondantes. Les indications de méthode qui suivent les questions ne donnent ni les calculs complets ni les réponses : elles précisent les conditions à vérifier, les difficultés à anticiper et la manière d'organiser une démonstration.
Exercice MPM 8
Le théorème des valeurs intermédiaires permet de montrer qu'une équation possède au moins une solution lorsqu'une fonction continue prend, sur un segment, des valeurs situées de part et d'autre de la valeur recherchée. Dans le cas d'un intervalle ouvert, il faut choisir convenablement deux points intérieurs, puis appliquer le théorème sur le segment qu'ils délimitent. Des limites infinies aux bornes peuvent aider à effectuer ce choix.
Le TVI ne garantit pas, à lui seul, l'unicité. Celle-ci exige une propriété supplémentaire : si la différence entre les deux membres d'une équation est strictement monotone, elle ne peut s'annuler en deux points distincts. On peut aussi comparer séparément les variations des fonctions présentes dans l'égalité.
Enfin, lorsqu'une solution est unique, le signe de la différence des deux membres en un point de référence permet de la situer par rapport à ce point. Il faut établir le sens de variation avant de conclure à partir du signe.
Soient \(a,b\in\mathbb R\) tels que \(a\lt b\), et soit \(f:[a,b]\to\mathbb R\) une fonction continue. On définit, pour \(x\in]a,b[\),
1. Étudier les limites de \(\varphi\) aux bornes de \(]a,b[\), puis montrer que \(\varphi\) est strictement croissante sur \(]a,b[\).
2. Montrer que l'équation
admet au moins une solution \(c\in]a,b[\).
3. On suppose désormais que \(f\) est décroissante sur \([a,b]\). Montrer que la solution précédente est unique. On la note \(\alpha\).
4. Posons
À l'aide du signe de \(f(m)\), préciser la position de \(\alpha\) par rapport à \(m\) :
5. Application. On prend \(a=0\), \(b=3\) et \(f(x)=2-x\).
a) Montrer que l'équation
admet une unique solution \(\alpha\in]0,3[\).
b) Montrer que
c) Montrer que \(\alpha\) est l'unique solution dans \(]0,3[\) de
d) En étudiant le signe du polynôme aux deux valeurs indiquées, vérifier que
La première étape consiste à comprendre le comportement des deux fractions qui composent \(\varphi\). Les dénominateurs n'ont pas le même signe sur l'intervalle considéré. Lorsqu'on étudie les limites, il faut distinguer l'approche de \(a\) par la droite de l'approche de \(b\) par la gauche, sans substituer directement les valeurs interdites.
Pour la question d'existence, la fonction \(f\) est continue sur le segment fermé, mais \(\varphi\) n'est définie que sur l'intervalle ouvert. La continuité de leur différence doit donc être considérée sur un segment intérieur approprié. La question suivante introduit une hypothèse nouvelle sur \(f\) : c'est elle qui apporte l'argument d'unicité qui manquait à la question précédente.
Le milieu \(m\) n'a pas été choisi au hasard. L'étude du signe demandée en question 4 repose sur la confrontation entre les deux membres de l'équation au même point. Dans l'application, il est nécessaire de garder les restrictions \(x\neq0\) et \(x\neq3\) lors du passage à une équation polynomiale. L'encadrement décimal final se justifie par des signes et par l'unicité déjà établie, et non par une simple valeur affichée sur une calculatrice.
Exercice MPM 9
Pour une fonction définie par une formule lorsque \(x\neq0\) et par une valeur particulière en \(0\), la continuité en ce point se vérifie à partir d'une limite : il faut comparer le comportement de l'expression quand \(x\) tend vers \(0\) avec la valeur fixée pour la fonction. Le fait qu'une expression intérieure soit non bornée ne permet pas de conclure sans tenir compte de la fonction extérieure et des autres facteurs.
La fonction Arctan est la fonction réciproque de la tangente sur son intervalle de bijection. Les relations trigonométriques doivent être utilisées avec attention : le choix de l'intervalle de l'angle intervient dans la justification d'une identité avec Arctan. Lorsqu'une formule fait intervenir une racine carrée et un quotient, le signe de la variable peut aussi jouer un rôle essentiel.
La parité permet ensuite de passer d'une étude effectuée sur les réels strictement positifs à une expression valable sur tout \(\mathbb R\). Dans une équation comportant un paramètre, la dernière étape consiste à déterminer quelles valeurs de ce paramètre correspondent réellement à des solutions non nulles.
On définit la fonction \(F\) sur \(\mathbb R\) par
1. Étudier la continuité de \(F\) en \(0\).
2. Étudier la parité de \(F\).
3. Soit \(x>0\).
a) En posant \(x=2\tan\theta\) avec \(\theta\in\left]0,\dfrac\pi2\right[\), montrer que
b) En déduire que
4. À l'aide de la parité de \(F\), montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
5. Résoudre dans \(]0,+\infty[\) l'équation
On pourra poser \(t=\sqrt x\) et utiliser les questions précédentes.
6. Perfectionnement. Soit \(\lambda\in\mathbb R\). Déterminer, suivant les valeurs de \(\lambda\), le nombre de solutions non nulles de
puis les exprimer lorsqu'elles existent.
La question 1 vérifie un comportement local, alors que la question 2 demande une propriété globale. Pour étudier la parité, il faut repartir de la définition de \(F\), examiner le changement de \(x\) en \(-x\) et traiter correctement le point \(0\).
L'identité trigonométrique de la question 3 est le passage le plus technique. La substitution proposée est une indication sur la méthode à suivre : il faut exprimer les quantités sous une forme trigonométrique, puis respecter l'intervalle dans lequel se situe chaque angle avant d'appliquer Arctan. La formule obtenue ne concerne d'abord que \(x>0\) ; la question 4 explique pourquoi l'étude de la parité était nécessaire.
Dans la question 5, il faut remarquer que la racine porte sur \(x+4\) et que le dénominateur vaut \(\sqrt x\) : le changement de variable suggéré doit être effectué dans toute l'expression. Dans la dernière question, la présence de \(|x|\) impose de tenir compte du signe de \(x\) et de l'exclusion de \(0\). Il faut discuter les possibilités suivant \(\lambda\), sans oublier les éventuelles valeurs frontières.
Exercice MPM 10
Une équation fonctionnelle donne une propriété valable pour tous les arguments considérés. L'égalité \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) doit être exploitée avec des choix précis de \(x\) et de \(y\) : elle permet d'étudier les valeurs opposées, les multiples entiers et, ensuite, les multiples rationnels. Il faut démontrer successivement ces relations au lieu de les supposer.
La continuité en un seul point peut avoir des conséquences globales lorsqu'elle est associée à une relation fonctionnelle. Pour étudier \(f\) au voisinage d'un réel quelconque, on peut chercher à ramener le problème à la continuité déjà connue en \(0\).
Le cours sur les limites et la continuité des fonctions composées intervient également dans le passage d'une propriété établie sur \(\mathbb Q\) à une propriété valable sur \(\mathbb R\). Il faut ici distinguer une égalité valable pour tous les rationnels d'une égalité à prouver pour un réel arbitraire.
Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) une fonction vérifiant
et supposée continue en \(0\).
1. Montrer que
2. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).
3. Soit \(x\in\mathbb R\).
a) Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb Z\),
b) En déduire que, pour tout \(r\in\mathbb Q\),
4. On pose \(a=f(1)\).
a) Montrer que \(f(r)=ar\) pour tout \(r\in\mathbb Q\).
b) Soit \(x\in\mathbb R\) et \((r_n)\) une suite de rationnels telle que \(r_n\to x\). À l'aide de la continuité de \(f\), montrer que
5. Perfectionnement. On suppose de plus que
a) Déterminer explicitement la fonction \(f\).
b) Résoudre dans \(\mathbb R\) l'équation
La donnée principale n'est pas une expression de \(f(x)\), mais une égalité entre plusieurs valeurs de \(f\). Commencez par tester des arguments particuliers, puis utilisez des écritures qui permettent d'exploiter l'addition et les opposés. Pour le passage aux entiers, le cas des entiers négatifs doit être justifié au même titre que celui des entiers positifs.
Lorsque les multiples rationnels sont étudiés, il faut tenir compte du fait que tout rationnel peut s'écrire sous forme de quotient d'entiers avec un dénominateur non nul. La continuité ne remplace pas cette étape algébrique : elle intervient seulement lorsque l'on souhaite élargir une propriété des rationnels à tous les réels.
Dans la question 4, le rôle de la suite \((r_n)\) est déterminant. Une fois que son existence est admise par l'énoncé, la difficulté est d'appliquer la continuité au bon endroit et de passer correctement à la limite. L'application finale utilise la propriété générale construite dans les questions précédentes ; il ne faut pas repartir directement de l'équation fonctionnelle sans profiter du travail déjà établi.
Exercice MPM 11
Une fonction est bijective lorsqu'elle associe à chaque élément de son ensemble d'arrivée un antécédent unique. La condition \(f(f(x))=x\) relie directement les valeurs de \(f\) à leurs antécédents et mérite d'être étudiée avant de chercher une expression explicite de la fonction. Elle fait intervenir une composition de \(f\) avec elle-même, mais ne signifie pas que tous les points sont nécessairement fixes.
Le cours affirme qu'une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone. On peut donc étudier la bijectivité avant de déterminer si le sens de variation est croissant ou décroissant. Le choix entre ces deux possibilités doit ensuite être compatible avec les valeurs aux bornes.
Un point fixe de \(f\) est un réel \(\alpha\) vérifiant \(f(\alpha)=\alpha\). Pour démontrer l'existence d'un tel point, on peut étudier la différence entre la fonction et la fonction identité. L'unicité repose sur une justification supplémentaire, ici liée à la monotonie.
Soit \(f:[0,1]\to[0,1]\) une fonction continue telle que
1. Montrer que \(f\) est bijective.
2. En déduire que \(f\) est strictement monotone sur \([0,1]\).
3. On suppose dans cette question que \(f(0)=0\).
a) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \([0,1]\).
b) Montrer alors que
4. Sans supposer \(f(0)=0\), montrer l'alternative suivante :
ou
5. On se place dans le second cas de la question 4.
a) Montrer qu'il existe un unique réel \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(f(\alpha)=\alpha\).
b) Montrer que
6. Application. On définit \(g:[0,1]\to[0,1]\) par
a) Vérifier que \(g(g(x))=x\) pour tout \(x\in[0,1]\).
b) Sans résoudre immédiatement \(g(x)=x\), justifier que cette équation possède une unique solution dans \(]0,1[\), puis la déterminer.
La relation de départ doit être exploitée séparément pour l'injectivité et la surjectivité. Il est important de respecter les ensembles de départ et d'arrivée : les expressions \(f(x)\) et \(f(f(x))\) sont bien définies parce que \(f\) prend ses valeurs dans \([0,1]\).
Une fois la stricte monotonie établie, les valeurs aux bornes permettent de distinguer les comportements possibles. La question 3 constitue un cas particulier ; la question 4 demande ensuite de revenir à la situation générale, sans conserver l'hypothèse supplémentaire \(f(0)=0\).
Dans l'étude du point fixe, considérez d'abord le problème de l'existence, puis celui de l'unicité. Pour comparer \(f(x)\) avec le point fixe, utilisez le sens de variation obtenu dans le second cas plutôt qu'un dessin supposé de la courbe. Enfin, pour la fonction \(g\), la composition doit être vérifiée sur tout le segment, en tenant compte du signe des racines carrées ; l'existence et l'unicité de la solution se justifient avant son calcul explicite.
Exercice MPM 12
Le TVI permet de montrer qu'une combinaison de deux fonctions continues atteint la valeur zéro entre deux points où ses signes sont opposés. Dans une équation dépendant d'un paramètre positif, il convient d'abord de fixer ce paramètre et de construire la fonction continue adaptée. L'existence et l'unicité sont deux questions distinctes ; la seconde peut dépendre de variations supplémentaires.
Le quotient de deux fonctions continues est continu là où le dénominateur ne s'annule pas. Lorsque le dénominateur tend vers zéro à une borne exclue, il faut examiner le signe du numérateur et du dénominateur pour établir une limite éventuelle. Cette précaution est indispensable avant de déterminer l'image d'un intervalle par un quotient.
D'après le cours, une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle vers son image. Sa fonction réciproque est continue et possède le même sens de variation. Cette propriété permet d'étudier une solution dépendant d'un paramètre sans recommencer tout le raisonnement d'existence pour chaque valeur de celui-ci.
Soient \(f,g:[0,1]\to\mathbb R\) deux fonctions continues telles que
1. Soit \(\lambda>0\). Montrer qu'il existe au moins un réel \(\alpha_\lambda\in]0,1[\) tel que
2. On suppose désormais que \(f\) est strictement croissante et que \(g\) est strictement décroissante sur \([0,1]\). Montrer que, pour tout \(\lambda>0\), le réel \(\alpha_\lambda\) est unique.
3. On définit, pour \(x\in[0,1[\),
a) Justifier que \(R\) est bien définie et continue sur \([0,1[\).
b) Montrer que \(R\) est strictement croissante sur \([0,1[\).
c) Calculer \(R(0)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}R(x)\). En déduire que
4. Montrer que
et en déduire que l'application \(\lambda\mapsto\alpha_\lambda\) est continue et strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
5. Déterminer
6. Application. On prend
a) Déterminer explicitement \(\alpha_\lambda\) pour tout \(\lambda>0\).
b) Calculer \(\alpha_1\), puis vérifier que \(0{,}61\lt\alpha_1\lt0{,}62\).
Les deux premières questions établissent les propriétés de la solution \(\alpha_\lambda\). Pour la question 1, le paramètre \(\lambda\) doit être considéré comme fixé et strictement positif. Les valeurs données aux extrémités de \([0,1]\) sont là pour permettre l'application précise du TVI. La question 2 ajoute des hypothèses de monotonie qui ne doivent pas être utilisées rétroactivement dans la première démonstration.
Avant d'étudier \(R\), il faut justifier que \(g(x)\) ne s'annule pas sur \([0,1[\). Cette justification ne peut pas être omise : sans elle, le quotient serait susceptible de ne pas être défini. Pour la variation de \(R\), les signes des fonctions sur l'intervalle comptent autant que leurs sens de variation respectifs.
Les questions 3 et 4 transforment une famille d'équations en une étude de fonction réciproque. Pour invoquer le théorème du cours, établissez soigneusement la continuité, la stricte monotonie et l'image exacte de \(R\). Les limites demandées ensuite s'interprètent grâce au comportement de cette bijection aux bornes des intervalles considérés. L'application finale permet de vérifier sur un exemple concret que les résultats abstraits obtenus précédemment sont cohérents.
Ces cinq exercices font apparaître trois grandes situations : montrer qu'une équation possède une solution, identifier une fonction à partir des propriétés qu'elle vérifie et étudier l'effet d'un paramètre sur les solutions. Dans chaque situation, le cours fournit les outils, mais leur emploi suppose une vérification des domaines, des hypothèses de continuité et des conditions de monotonie.
Pour progresser, prenez l'habitude de séparer les étapes « existence », « unicité » et « localisation », de justifier les changements de variable et de distinguer le domaine initial d'une expression de l'ensemble sur lequel un résultat est établi. Lorsque des questions antérieures ont construit une propriété générale, réutilisez-la explicitement dans les applications : c'est ce qui donne à la démonstration sa cohérence.
Professeur Hammou Boudraa
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