Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 76 — Étude complète d’une fonction, dérivabilité et asymptotes — Al Moufid Menu des parties Première partie Deuxième partie Branches infinies Tracé de la courbe Première partie 1) Montrer que, pour tout \(t\in\mathbb{R}_+^{\ast}\), \[ 0\lt \frac{t-\operatorname{Arctan}t}{t^2}\lt \frac{t}{3}. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − Soit \(t\gt0\). On considère la fonction : \[ \varphi(t)=t-\operatorname{Arctan}t. \] Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), et pour tout \(t\geq0\), on a : \[ \varphi'(t)=1-\frac1{1+t^2} = \frac{t^2}{1+t^2}. \] Pour \(t\gt0\), on a \(\varphi'(t)\gt0\), donc \(\varphi\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). Comme : \[ \varphi(0)=0, \] on obtient : \[ t-\operatorname{Arctan}t\gt0. \] Pour montrer la majoration, on pose : \[ \psi(t)=\frac{t^3}{3}-t+\operatorname{Arctan}t. \] La fonction \(\psi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), et : \[ \psi'(t)=t^2-1+\frac1{1+t^2}. \] En ...

Correction de l’exercice 61 — Dérivabilité, symétrie, asymptotes et suite récurrente — Al Moufid Menu des questions 1. Dérivabilité en 1 2. Étude de f′ 3. Variations de f 4. Asymptotes 5. Tracé 6. Équation f(x)=x 7. Suite récurrente Énoncé On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} -2x\operatorname{Arctan}x & \text{si } x\leq 1,\\[2mm] \sqrt{x^2-1}\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\sqrt{x^2-1}-\dfrac{\pi}{2} & \text{si } x\gt1. \end{cases} \] 1) Continuité et dérivabilité en \(1\) 1-a) Montrer que \(f\) est continue en \(1\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Comme \(1\leq1\), on utilise la première expression de \(f\) pour calculer \(f(1)\) : \[ f(1)=-2\operatorname{Arctan}(1)=-2\cdot\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}. \] Lorsque \(x\to1^{-}\), on utilise encore la première expression : \[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}\left(-2x\operatorname{Arctan}x\right) = -2\cdot1\cdot\frac{\p...