Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 01 à 09 — Dérivabilité en un point — Al Moufid Menu des exercices Exercice 01 Exercice 02 Exercice 03 Exercice 04 Exercice 05 Exercice 06 Exercice 07 Exercice 08 Exercice 09 Exercices 01 à 09 — Dérivabilité en un point En utilisant la définition, montrer que la fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\), puis déterminer \(f^{\prime}(x_0)\) dans chacun des cas suivants. Exercice 01 On considère : \[ f(x)=\sqrt{x^2+1} \qquad\text{et}\qquad x_0=0. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est définie au voisinage de \(0\), et : \[ f(0)=1 \] Pour \(x\neq0\) : \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} \] En multipliant par la quantité conjuguée : \[ \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} = \frac{x^2}{x\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \] Donc : \[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} =0 \] Ainsi, \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f^{\prime}(0)=0\) La quantité ...