Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 61 — Dérivabilité, symétrie, asymptotes et suite récurrente — Al Moufid Menu des questions 1. Dérivabilité en 1 2. Étude de f′ 3. Variations de f 4. Asymptotes 5. Tracé 6. Équation f(x)=x 7. Suite récurrente Énoncé On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} -2x\operatorname{Arctan}x & \text{si } x\leq 1,\\[2mm] \sqrt{x^2-1}\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\sqrt{x^2-1}-\dfrac{\pi}{2} & \text{si } x\gt1. \end{cases} \] 1) Continuité et dérivabilité en \(1\) 1-a) Montrer que \(f\) est continue en \(1\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Comme \(1\leq1\), on utilise la première expression de \(f\) pour calculer \(f(1)\) : \[ f(1)=-2\operatorname{Arctan}(1)=-2\cdot\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}. \] Lorsque \(x\to1^{-}\), on utilise encore la première expression : \[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}\left(-2x\operatorname{Arctan}x\right) = -2\cdot1\cdot\frac{\p...