Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 28 à 31 — Dérivabilité de la fonction réciproque — Al Moufid Menu des exercices Exercice 28 Exercice 29 Exercice 30 Exercice 31 Exercice 28 — Bijection et dérivée de la fonction réciproque Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=]-\infty;2]\) par : \[ f(x)=\sqrt{2-x}-x. \] 1) Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer. Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est continue sur \(I\). Pour tout \(x\in]-\infty;2[\), elle est dérivable et : \[ f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}-1. \] Comme \(\sqrt{2-x}>0\), on a : \[ f'(x) Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur \(I\). D’autre part : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \] car \(f(x)=\sqrt{2-x}-x\geq -x\), et : \[ f(2)=-2. \] Par conséquent, l’im...