Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 77 — Continuité, branches infinies, dérivabilité et variations — Al Moufid Menu des questions 1. Continuité en 1 2. Branches infinies 3. Dérivabilité à droite 4. Dérivabilité à gauche 5. Variations 6. Équation et tracé Énoncé On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x-\sqrt[3]{x-1} & \text{si }x\geq1,\\[2mm] \dfrac{\operatorname{Arctan}\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} & \text{si }x\lt1. \end{cases} \] 1) Montrer que \(f\) est continue en \(1\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On a : \[ f(1)=1-\sqrt[3]{0}=1. \] Lorsque \(x\to1^+\), on utilise la première expression de \(f\) : \[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}\left(x-\sqrt[3]{x-1}\right) = 1. \] Lorsque \(x\to1^-\), on pose : \[ t=\sqrt{1-x}. \] Alors \(t\to0^+\) lorsque \(x\to1^-\), et : \[ f(x)=\frac{\operatorname{Arctan}t}{t}. \] Or : \[ \lim_{t\to0^+}\frac{\operatorname{Arctan}t}{t}=1. \] ...