Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 60 — Étude complète d’une fonction — Dérivation — Al Moufid Menu des parties Première partie Deuxième partie Troisième partie Première partie On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \[ g(x)=2x^3-5x^2-3 \] 1) Étudier les variations de \(g\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(g\) est polynomiale, donc elle est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\). On a : \[ g'(x)=6x^2-10x=2x(3x-5) \] Sur \(\mathbb{R}_+\), le signe de \(g'(x)\) est celui de \(3x-5\), car \(2x\geq0\). \[ g'(x)=0 \Longleftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=\frac53 \] Ainsi, \(g\) est décroissante sur \(\left[0;\dfrac53\right]\), puis croissante sur \(\left[\dfrac53;+\infty\right[\). On calcule : \[ g(0)=-3 \] \[ g\left(\frac53\right) = 2\left(\frac53\right)^3 - 5\left(\frac53\right)^2 -3 = -\frac{206}{27} \] Et : \[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \] Variations de \(g\) sur \(\mathbb R_+\) : \(g...