Limites trigonométriques — Exercice 38 corrigé — 1re Bac Sciences Expérimentales

Limites trigonométriques — Exercice 38 corrigé

15 limites détaillées — 1re Bac Sciences Expérimentales

Présentation de l’exercice

Cet exercice regroupe quinze limites trigonométriques. La correction détaille la méthode utilisée et distingue les limites bilatérales des limites à droite et à gauche lorsque cela est nécessaire.

Résultats du cours mobilisés

• sin u / u tend vers 1 lorsque u tend vers 0 ;
• tan u / u tend vers 1 lorsque u tend vers 0 ;
• (1−cos u) / u² tend vers 1/2 lorsque u tend vers 0 ;
• √(v²)=|v| : la valeur absolue ne doit pas être oubliée ;
• près d’une valeur non nulle, on cherche à faire apparaître un écart de la forme x−x₀.

Question 1

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \left(3x\right)}{x}$$

Réponse

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \left(3x\right)}{x}=3\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \left(3x\right)}{3x}=3$$

Réponse finale : La limite vaut 3.

Question 2

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \left(x\right)}{2x}$$

Réponse

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \left(x\right)}{2x}=\frac{1}{2}$$

Réponse finale : La limite vaut 1/2.

Question 3

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan \left(4x\right)}{x}$$

Réponse

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan \left(4x\right)}{x}=4\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan \left(4x\right)}{4x}=4$$

Réponse finale : La limite vaut 4.

Question 4

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan \left(x\right)}{5x}$$

Réponse

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan \left(x\right)}{5x}=\frac{1}{5}$$

Réponse finale : La limite vaut 1/5.

Question 5

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos \left(2x\right)}{x^2}$$

Idée utile : faire apparaître la limite usuelle (1−cos u)/u².

Réponse

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos \left(2x\right)}{x^2}=4\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos \left(2x\right)}{{2x}^2}=2$$

Réponse finale : La limite vaut 2.

Question 6

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos \left(3x\right)}{x^2}$$

Idée utile : faire apparaître la limite usuelle (1−cos u)/u².

Réponse

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos \left(3x\right)}{x^2}=9\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos \left(3x\right)}{{3x}^2}=\frac{9}{2}$$

Réponse finale : La limite vaut 9/2.

Question 7

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos \left(x\right)}{x\sin \left(x\right)}$$

Idée utile : décomposer l’expression en produit de deux limites usuelles.

Réponse

$$\frac{1-\cos \left(x\right)}{x\sin \left(x\right)}=\frac{1-\cos \left(x\right)}{x^2}·\frac{x}{\sin \left(x\right)}\to \frac{1}{2}$$

Réponse finale : La limite vaut 1/2.

Question 8

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan \left(2x\right)}{\sin \left(3x\right)}$$

Idée utile : faire apparaître tan u/u et sin u/u.

Réponse

$$\frac{\tan \left(2x\right)}{\sin \left(3x\right)}=\frac{\tan \left(2x\right)}{2x}·\frac{3x}{\sin \left(3x\right)}·\frac{2}{3}\to \frac{2}{3}$$

Réponse finale : La limite vaut 2/3.

Question 9

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1-\cos \left(x\right)}}{x}$$

Idée utile : transformer 1−cos x en 2sin²(x/2) et conserver la valeur absolue.

Réponse

On utilise l’identité :

$$\sqrt{1-\cos \left(x\right)}=\sqrt{2}\left|\sin \right(\frac{x}{2}\left)\right|$$

La valeur absolue change le signe selon le côté par lequel x tend vers 0.

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{1-\cos \left(x\right)}}{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{et}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\sqrt{1-\cos \left(x\right)}}{x}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Réponse finale : Les limites à droite et à gauche sont différentes : la limite en 0 n’existe pas.

Question 10

Rappel de la question

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1-\cos \left(2x\right)}}{\sin \left(3x\right)}$$

Idée utile : ne pas remplacer √(sin²x) par sin x ; on a √(sin²x)=|sin x|.

Réponse

Comme 1−cos(2x)=2sin²x, on obtient :

$$\sqrt{1-\cos \left(2x\right)}=\sqrt{2}\left|\sin \right(x\left)\right|$$

La présence de |sin x| impose l’étude des deux côtés de 0.

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{1-\cos \left(2x\right)}}{\sin \left(3x\right)}=\frac{\sqrt{2}}{3}\text{et}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\sqrt{1-\cos \left(2x\right)}}{\sin \left(3x\right)}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Réponse finale : Les limites à droite et à gauche sont différentes : la limite en 0 n’existe pas.

Question 11

Rappel de la question

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sin \left(\pi x\right)}{x-1}$$

Idée utile : effectuer le changement de variable h=x−1.

Réponse

Posons h=x−1. Alors h→0 et :

$$\sin \left(\pi x\right)=-\sin \left(\pi \right(x-1\left)\right)$$

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sin \left(\pi x\right)}{x-1}=-\pi$$

Réponse finale : La limite vaut −π.

Question 12

Rappel de la question

$$\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{lim}\frac{\sqrt{3}\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)}{x-\frac{\pi }{3}}$$

Idée utile : transformer le numérateur en fonction de x−π/3.

Réponse

On utilise l’identité trigonométrique suivante :

$$\sqrt{3}\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)=-2\sin (x-\frac{\pi }{3})$$

On reconnaît alors la limite usuelle sin u/u.

$$\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{lim}\frac{\sqrt{3}\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)}{x-\frac{\pi }{3}}=-2$$

Réponse finale : La limite vaut −2.

Question 13

Rappel de la question

$$\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{lim}\frac{\tan \left(6x\right)}{1-2\sin \left(x\right)}$$

Idée utile : faire apparaître x−π/6 dans le numérateur et le dénominateur.

Réponse

On transforme le dénominateur à l’aide de la formule de différence de sinus :

$$1-2\sin \left(x\right)=-4\cos \left(\frac{x+\frac{\pi }{6}}{2}\right)\sin \left(\frac{x-\frac{\pi }{6}}{2}\right)$$

En posant h=x−π/6, on a tan(6x)=tan(π+6h)=tan(6h). Les limites usuelles donnent alors :

$$\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{lim}\frac{\tan \left(6x\right)}{1-2\sin \left(x\right)}=-2\sqrt{3}$$

Réponse finale : La limite vaut −2√3.

Question 14

Rappel de la question

$$\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{lim}\frac{\sin \left(3x\right)}{\cos \left(3x\right)}$$

Idée utile : étudier séparément les limites à gauche et à droite.

Réponse

L’expression est égale à tan(3x). Lorsque x tend vers π/6, 3x tend vers π/2.

$$\underset{x\to {\frac{\pi }{6}}^{-}}{lim}\tan \left(3x\right)=+\infty \text{et}\underset{x\to {\frac{\pi }{6}}^{+}}{lim}\tan \left(3x\right)=-\infty$$

Réponse finale : Les deux limites infinies sont différentes : la limite en π/6 n’existe pas.

Question 15

Rappel de la question

$$\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{lim}\frac{2\cos \left(2x\right)-1}{\cos \left(3x\right)}$$

Idée utile : factoriser le numérateur et faire apparaître x−π/6.

Réponse

On utilise la formule cos u−cos v :

$$2\cos \left(2x\right)-1=-4\sin (x+\frac{\pi }{6})\sin (x-\frac{\pi }{6})$$

De plus, cos(3x)=−sin(3(x−π/6)). On obtient alors :

$$\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{lim}\frac{2\cos \left(2x\right)-1}{\cos \left(3x\right)}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Réponse finale : La limite vaut 2√3/3.

Bilan des résultats

Les limites des questions 9, 10 et 14 n’existent pas comme limites bilatérales, car les limites à gauche et à droite sont différentes. Toutes les autres limites sont finies.

Correction manuscrite originale — support complémentaire

Remarque pédagogique : dans les questions contenant une racine carrée d’un carré, il faut conserver la valeur absolue. Cette précaution explique l’absence de limite bilatérale dans les questions 9 et 10.

Exercice corrigé par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt