Correction des exercices 55 à 58 — Arithmétique dans Z
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 55
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), les congruences suivantes sont vraies.
Lire la correction +Masquer la correction −
On a :
\[ 3^6=729\equiv1\,[7] \qquad\text{et}\qquad 3^3=27\equiv-1\,[7]. \]Donc :
\[ 3^{6n+3}=(3^6)^n3^3\equiv1^n(-1)=-1\,[7]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(10\equiv1\,[9]\), on a \(10^n\equiv1\,[9]\). De plus :
\[ 9n-1\equiv-1\equiv8\,[9]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On remarque que :
\[ 3^3=27\equiv1\,[13]. \]Par conséquent :
\[ 3^{6n+2}=(3^3)^{2n}3^2\equiv9\,[13] \]et :
\[ 3^{3n+1}=(3^3)^n3\equiv3\,[13]. \]La somme est donc congrue à \(9+3+1=13\).
Lire la correction +Masquer la correction −
On a :
\[ 7^3=343\equiv1\,[9]. \]Alors :
\[ 7^{3n}=(7^3)^n\equiv1^n\,[9]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Pour tout entier \(n\), on a \(n^3\equiv n\,[2]\). Ainsi :
\[ 5n^3+n\equiv n+n=2n\equiv0\,[2]. \]De même, \(n^3\equiv n\,[3]\) et \(5\equiv-1\,[3]\). Donc :
\[ 5n^3+n\equiv-n^3+n\equiv0\,[3]. \]Comme \(2\wedge3=1\), le nombre \(5n^3+n\) est divisible par \(6\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Les entiers \(n\) et \(n+1\) sont consécutifs ; leur produit est donc pair :
\[ n(n+1)(n+5)\equiv0\,[2]. \]Par ailleurs, \(n+5\equiv n+2\,[3]\). Ainsi :
\[ n(n+1)(n+5)\equiv n(n+1)(n+2)\equiv0\,[3], \]car, parmi trois entiers consécutifs, l’un est divisible par \(3\). Comme \(2\wedge3=1\), le produit est divisible par \(6\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Le nombre \(n^2+n=n(n+1)\) est pair. Il existe donc \(k\in\mathbb N\) tel que :
\[ n^2+n=2k. \]Alors :
\[ 5(n^2+n)^2=5(2k)^2=20k^2. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On a \(4^3\equiv1\,[9]\) et \(7^3\equiv1\,[9]\). Écrivons \(n=3q+r\), avec \(r\in\{0,1,2\}\).
| Valeur de \(r\) | \(4^n+7^n\) dans la division par \(9\) |
|---|---|
| \(0\) | \(1+1\equiv2\,[9]\) |
| \(1\) | \(4+7=11\equiv2\,[9]\) |
| \(2\) | \(4^2+7^2=65\equiv2\,[9]\) |
Exercice 56
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ 6^n\equiv1+5n\,[25]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Procédons par récurrence simple.
Initialisation. Pour \(n=0\), on a \(6^0=1=1+5\times0\).
Hérédité. Soit \(n\in\mathbb N\). Supposons que :
\[ 6^n\equiv1+5n\,[25]. \]En multipliant par \(6\), on obtient :
\[ \begin{aligned} 6^{n+1}&\equiv6(1+5n)\,[25]\\ &\equiv6+30n\,[25]\\ &\equiv6+5n=1+5(n+1)\,[25]. \end{aligned} \]La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ 4^n+6n-1\equiv0\,[9]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Procédons par récurrence simple.
Initialisation. Pour \(n=0\) :
\[ 4^0+6\times0-1=0. \]Hérédité. Soit \(n\in\mathbb N\). Supposons que \(4^n+6n-1\equiv0\,[9]\). Or :
\[ 4^{n+1}+6(n+1)-1 =4(4^n+6n-1)-18n+9. \]Le premier terme est divisible par \(9\), et \(-18n+9\) l’est également.
Montrer que, pour tout \((a,b)\in\mathbb N^2\) :
\[ ab(a^2-b^2)\equiv0\,[3]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Si \(a\equiv0\,[3]\) ou \(b\equiv0\,[3]\), le produit est immédiatement divisible par \(3\).
Sinon, chacun des entiers \(a\) et \(b\) est congru à \(1\) ou à \(-1\) dans la division par \(3\). Par conséquent :
\[ a^2\equiv1\,[3] \qquad\text{et}\qquad b^2\equiv1\,[3]. \]Donc \(a^2-b^2\equiv0\,[3]\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb Z\) :
\[ n^{19}\equiv n\,[19]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Le nombre \(19\) est premier. D’après le petit théorème de Fermat, pour tout entier relatif \(a\) et tout nombre premier \(p\) :
\[ a^p\equiv a\,[p]. \]En prenant \(a=n\) et \(p=19\), on obtient directement le résultat demandé.
Exercice 57
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), les relations suivantes sont vraies.
Lire la correction +Masquer la correction −
D’après la formule du binôme :
\[ \begin{aligned} (n+1)^n &=\sum_{k=0}^{n}C_n^k n^k\\ &=1+n^2+\sum_{k=2}^{n}C_n^k n^k. \end{aligned} \]Tous les termes autres que \(1\) sont divisibles par \(n^2\). Ainsi, \(n^2\mid((n+1)^n-1)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(n\geq1\), on peut écrire :
\[ 2^{2n-1}3^{n+2} =2\times3^3\times(2^2\times3)^{n-1} =54\times12^{n-1}. \]Or :
\[ 54\equiv-1\,[11] \qquad\text{et}\qquad 12\equiv1\,[11]. \]Par conséquent :
\[ 2^{2n-1}3^{n+2}\equiv-1\,[11]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Parmi quatre entiers consécutifs, l’un est divisible par \(4\) et un autre est pair. Leur produit est donc divisible par \(8\).
Parmi ces quatre entiers, l’un au moins est également divisible par \(3\). Le produit est donc divisible par \(8\) et par \(3\).
Comme \(8\wedge3=1\), il est divisible par \(24\).
Exercice 58
Résoudre dans \(\mathbb N\) les congruences suivantes.
Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(5\equiv-2\,[7]\), on a :
\[ 2^n+5^n\equiv2^n\bigl(1+(-1)^n\bigr)\,[7]. \]Si \(n\) est impair, le facteur \(1+(-1)^n\) est nul.
Si \(n\) est pair, la somme est congrue à \(2^{n+1}\), qui n’est pas divisible par \(7\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Dans la division par \(7\) :
\[ 100\equiv2\,[7], \qquad102\equiv4\,[7], \qquad103\equiv5\,[7]. \]De plus, \(4^3\equiv1\,[7]\) et \(5^6\equiv1\,[7]\). Il suffit donc d’étudier \(n\) selon son reste dans la division par \(6\).
| \(n\equiv r\,[6]\) | \(4^n\,[7]\) | \(5^n\,[7]\) | \(2+4^n+5^n\,[7]\) |
|---|---|---|---|
| \(r=0\) | 1 | 1 | 4 |
| \(r=1\) | 4 | 5 | 4 |
| \(r=2\) | 2 | 4 | 1 |
| \(r=3\) | 1 | 6 | 2 |
| \(r=4\) | 4 | 2 | 1 |
| \(r=5\) | 2 | 3 | 0 |
Lire la correction +Masquer la correction −
Le nombre \(2n+3\) est impair, et \(5^n\) est également impair. Leur produit est donc impair.
Il ne peut pas être divisible par \(8\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Les restes de \(5^n\) dans la division par \(8\) ont une période \(2\), tandis que ceux de \(2n\) ont une période \(4\). Étudions donc \(n\) selon son reste dans la division par \(4\).
| \(n\equiv r\,[4]\) | \(5^n\,[8]\) | \(2n\,[8]\) | \(5^n+2n+3\,[8]\) |
|---|---|---|---|
| \(r=0\) | 1 | 0 | 4 |
| \(r=1\) | 5 | 2 | 2 |
| \(r=2\) | 1 | 4 | 0 |
| \(r=3\) | 5 | 6 | 6 |
Pour démontrer une congruence contenant des puissances, on cherche d’abord une petite puissance congrue à \(1\) ou à \(-1\), puis on décompose l’exposant. Une récurrence simple est utile lorsque le passage de \(n\) à \(n+1\) conserve directement la forme de la congruence.
Pour un produit d’entiers consécutifs, on repère séparément les facteurs nécessaires à la divisibilité par \(2\), \(3\), \(4\) ou \(8\), puis on utilise le fait que les diviseurs obtenus sont premiers entre eux.
Pour résoudre une congruence exponentielle, on détermine la période des restes des puissances et on étudie seulement les différentes valeurs possibles du reste de \(n\).
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