Nombres complexes : argument et forme trigonométrique
Correction détaillée des exercices \(8\) et \(9\) : argument d’un nombre complexe, forme trigonométrique, notation exponentielle et angles orientés.
À retenir
Dans ces exercices, on relie la géométrie du plan complexe à l’écriture :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}.
\]
Cette écriture permet de lire le module, l’argument et certains angles orientés
à partir des affixes.
Remarque importante.
Les formules contenant un quotient de nombres complexes ne s’utilisent que lorsque
le dénominateur est non nul. On vérifiera donc toujours que les points concernés
sont distincts lorsque l’on écrit un quotient d’affixes.
Exercice 8
Énoncé
1) Soit \(\mathcal C_1\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).
Soit \(M(x;y)\) un point du cercle \(\mathcal C_1\), et \(\theta\) une mesure
de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow I;\overrightarrow{OM}\right)\).
Montrer que l’affixe \(z_M\) du point \(M\) est déterminée par la relation :
\[
z_M=\cos\theta+i\sin\theta.
\]
2) Soit \(r\) un réel strictement positif, et soit \(\mathcal C\) le cercle de centre
\(O\) et de rayon \(r\). On considère le point \(M(z)\) de \(\mathcal C\) et on pose :
\[
\left(\overrightarrow I;\overrightarrow{OM}\right)=\theta\ [2\pi].
\]
Montrer que :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
3) Soit \(r\in\mathbb R_+^*\), \(\theta\in\mathbb R\) et :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
Montrer que le point \(M(z)\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\).
Sur le cercle trigonométrique, un point d’angle \(\theta\) a pour coordonnées
\((\cos\theta,\sin\theta)\). Ici le point \(M\) est exactement placé sur le cercle.
Afficher la correction de l’exercice 8 Masquer la correction de l’exercice 8
1) Cas du cercle de rayon \(1\)
Puisque \(M(x;y)\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), on a :
\[
OM=1.
\]
Si \(\theta\) est une mesure de l’angle orienté
\(\left(\overrightarrow I;\overrightarrow{OM}\right)\), alors, dans un repère
orthonormé direct :
\[
x=\cos\theta
\qquad\text{et}\qquad
y=\sin\theta.
\]
L’affixe du point \(M(x;y)\) est :
\[
z_M=x+iy.
\]
Donc :
\[
z_M=\cos\theta+i\sin\theta.
\]
\[
\boxed{z_M=\cos\theta+i\sin\theta.}
\]
2) Cas du cercle de rayon \(r\)
Le point \(M(z)\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\), donc :
\[
OM=r.
\]
Comme :
\[
\left(\overrightarrow I;\overrightarrow{OM}\right)=\theta\ [2\pi],
\]
les coordonnées de \(M\) sont :
\[
x=r\cos\theta
\qquad\text{et}\qquad
y=r\sin\theta.
\]
Ainsi :
\[
z=x+iy=r\cos\theta+i\,r\sin\theta.
\]
Par factorisation :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
\[
\boxed{z=r(\cos\theta+i\sin\theta).}
\]
3) Réciproque
On suppose que :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta),
\qquad r\in\mathbb R_+^*.
\]
Alors le point \(M(z)\) a pour coordonnées :
\[
M(r\cos\theta\,;\,r\sin\theta).
\]
Calculons \(OM\) :
\[
OM^2=(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2.
\]
Donc :
\[
OM^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2.
\]
Comme \(r>0\), on obtient :
\[
OM=r.
\]
\[
\boxed{M(z)\text{ appartient au cercle de centre }O\text{ et de rayon }r.}
\]
À retenir.
Si un point \(M(z)\) est situé à la distance \(r>0\) de l’origine et si
\(\theta\) est un argument de \(z\), alors :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
Exercice 9
Énoncé
Soit \(z\) un nombre complexe non nul. L’écriture :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta),
\]
où \(r=|z|\) et \(\theta=\arg z\ [2\pi]\), est appelée forme trigonométrique
du nombre complexe \(z\). On peut aussi écrire :
\[
z=[r;\theta].
\]
On pose :
\[
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
\]
L’écriture :
\[
z=|z|e^{i\theta}
\]
s’appelle la notation exponentielle du nombre \(z\).
A) Préliminaire
1) Déterminer : \[ e^{i0},\quad e^{i\pi},\quad e^{i\frac{\pi}{2}},\quad e^{-i\frac{\pi}{2}},\quad e^{i\frac{4\pi}{3}}. \] 2) Déterminer la forme trigonométrique du nombre : \[ -\sqrt2+i\sqrt6. \] 3) Soit \(t\) le nombre complexe de module \(\sqrt2\) et d’argument \(\dfrac{25\pi}{4}\). Quelle est la forme algébrique de \(t\) ? 4) Soit \(\theta\in\mathbb R\) et \(k\in\mathbb R_+^*\). Vérifier que : \[ |e^{i\theta}|=1 \qquad\text{et}\qquad \arg(ke^{i\theta})=\theta\ [2\pi]. \] 5) Dans le plan complexe, on considère le cercle \(\mathcal C\) de centre \(\Omega(\omega)\) et de rayon \(r>0\), et soit \(M(z)\) un point quelconque du plan complexe. Montrer que : \[ M\in\mathcal C \Longleftrightarrow \left[(\exists\theta\in\mathbb R),\ z=\omega+re^{i\theta}\right]. \]B) Angles orientés et affixes
Dans le plan complexe \(\mathcal P\) rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\overrightarrow I,\overrightarrow J)\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(z_A\), \(z_B\) et \(z_C\). 1.a) En utilisant les deux points \(E\) et \(F\) tels que : \[ \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AB} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AC}, \] montrer que : \[ \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \equiv \arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) \ [2\pi]. \] 1.b) Déterminer une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) dans le cas où : \[ A(1),\quad B(2+i),\quad C(2+i\sqrt3). \] 2.a) On suppose, et seulement dans cette question, que : \[ A\left(\frac75+\frac15i\right),\quad B(-1+i),\quad C(1-i). \] Montrer que \(ABC\) est rectangle en \(A\). 2.b) Dans le cas général, montrer l’équivalence suivante : \[ (ABC\text{ est rectangle en }A) \Longleftrightarrow \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb R^*. \] 3) Montrer l’équivalence suivante : \[ (ABC\text{ est équilatéral}) \Longleftrightarrow \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \in \left\{e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\}. \] 4) Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points deux à deux distincts et non alignés. Montrer l’équivalence suivante : \[ (A,B,C,D\text{ sont cocycliques}) \Longleftrightarrow \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \div \frac{z_C-z_D}{z_B-z_D} \in\mathbb R. \]
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont translatés à l’origine :
\(\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AB}\) et
\(\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AC}\). L’angle
\((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) se lit alors comme l’angle
\((\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF})\).
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A) Préliminaire
1) Calculs de quelques exponentielles complexes
On utilise :
\[
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
\]
Donc :
\[
e^{i0}=1,\quad
e^{i\pi}=-1,\quad
e^{i\frac{\pi}{2}}=i,\quad
e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i.
\]
De plus :
\[
e^{i\frac{4\pi}{3}}
=
\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}
=
-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}.
\]
\[
\boxed{
e^{i0}=1,\quad
e^{i\pi}=-1,\quad
e^{i\frac{\pi}{2}}=i,\quad
e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i,\quad
e^{i\frac{4\pi}{3}}=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}
}.
\]
2) Forme trigonométrique de \(-\sqrt2+i\sqrt6\)
Posons :
\[
z=-\sqrt2+i\sqrt6.
\]
Son module est :
\[
|z|=\sqrt{(-\sqrt2)^2+(\sqrt6)^2}
=
\sqrt{2+6}
=
2\sqrt2.
\]
On cherche \(\theta\) tel que :
\[
\cos\theta=\frac{-\sqrt2}{2\sqrt2}=-\frac12,
\qquad
\sin\theta=\frac{\sqrt6}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{2}.
\]
Donc :
\[
\theta=\frac{2\pi}{3}\ [2\pi].
\]
\[
\boxed{
-\sqrt2+i\sqrt6
=
2\sqrt2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)
=
2\sqrt2\,e^{i\frac{2\pi}{3}}
}.
\]
3) Forme algébrique de \(t\)
On sait que :
\[
|t|=\sqrt2
\qquad\text{et}\qquad
\arg(t)=\frac{25\pi}{4}\ [2\pi].
\]
Or :
\[
\frac{25\pi}{4}=6\pi+\frac{\pi}{4}.
\]
Donc :
\[
\frac{25\pi}{4}\equiv \frac{\pi}{4}\ [2\pi].
\]
Ainsi :
\[
t=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).
\]
Comme :
\[
\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},
\]
alors :
\[
t=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=1+i.
\]
\[
\boxed{t=1+i.}
\]
4) Module et argument de \(ke^{i\theta}\)
On a :
\[
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
\]
Donc :
\[
|e^{i\theta}|
=
\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}
=
1.
\]
Comme \(k\in\mathbb R_+^*\), on a :
\[
ke^{i\theta}=k(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
C’est une forme trigonométrique de module \(k\) et d’argument \(\theta\).
\[
\boxed{|e^{i\theta}|=1}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{\arg(ke^{i\theta})=\theta\ [2\pi].}
\]
5) Équation complexe d’un cercle
Soit \(\mathcal C\) le cercle de centre \(\Omega(\omega)\) et de rayon \(r>0\).
Le point \(M(z)\) appartient à \(\mathcal C\) si et seulement si :
\[
\Omega M=r.
\]
En écriture complexe :
\[
\Omega M=|z-\omega|.
\]
Donc :
\[
M\in\mathcal C
\Longleftrightarrow
|z-\omega|=r.
\]
Si \(M\in\mathcal C\), alors le nombre complexe \(z-\omega\) a pour module \(r\).
Donc il existe \(\theta\in\mathbb R\) tel que :
\[
z-\omega=re^{i\theta}.
\]
D’où :
\[
z=\omega+re^{i\theta}.
\]
Réciproquement, s’il existe \(\theta\in\mathbb R\) tel que :
\[
z=\omega+re^{i\theta},
\]
alors :
\[
|z-\omega|=|re^{i\theta}|=r|e^{i\theta}|=r.
\]
Donc :
\[
M\in\mathcal C.
\]
\[
\boxed{
M\in\mathcal C
\Longleftrightarrow
\left[(\exists\theta\in\mathbb R),\ z=\omega+re^{i\theta}\right]
}.
\]
B) Angles orientés et affixes
Dans les quotients qui suivent, les dénominateurs sont non nuls lorsque les
points concernés sont distincts. Par exemple :
\[
A\neq B \Longrightarrow z_B-z_A\neq0.
\]
1.a) Expression complexe de l’angle \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\)
On considère les points \(E\) et \(F\) tels que :
\[
\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AB}
\qquad\text{et}\qquad
\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AC}.
\]
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est :
\[
z_B-z_A.
\]
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est :
\[
z_C-z_A.
\]
Donc :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
=
\left(\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF}\right).
\]
Or l’angle entre deux vecteurs d’affixes non nulles \(u\) et \(v\) est :
\[
\arg\left(\frac{v}{u}\right).
\]
En prenant :
\[
u=z_B-z_A
\qquad\text{et}\qquad
v=z_C-z_A,
\]
on obtient :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\ [2\pi].
\]
\[
\boxed{
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\ [2\pi]
}.
\]
1.b) Cas \(A(1)\), \(B(2+i)\), \(C(2+i\sqrt3)\)
On a :
\[
z_A=1,\qquad z_B=2+i,\qquad z_C=2+i\sqrt3.
\]
Donc :
\[
z_B-z_A=1+i
\qquad\text{et}\qquad
z_C-z_A=1+i\sqrt3.
\]
On sait que :
\[
\arg(1+i)=\frac{\pi}{4}\ [2\pi],
\]
et :
\[
\arg(1+i\sqrt3)=\frac{\pi}{3}\ [2\pi].
\]
Donc :
\[
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\equiv
\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}
=
\frac{\pi}{12}
\ [2\pi].
\]
\[
\boxed{
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
=
\frac{\pi}{12}\ [2\pi]
}.
\]
2.a) Cas particulier : \(ABC\) est rectangle en \(A\)
On a :
\[
z_A=\frac75+\frac15i,\qquad z_B=-1+i,\qquad z_C=1-i.
\]
Calculons :
\[
z_B-z_A
=
-1+i-\left(\frac75+\frac15i\right)
=
-\frac{12}{5}+\frac45 i.
\]
Et :
\[
z_C-z_A
=
1-i-\left(\frac75+\frac15i\right)
=
-\frac25-\frac65 i.
\]
Le quotient vaut :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
=
\frac{-\frac25-\frac65 i}{-\frac{12}{5}+\frac45 i}
=
\frac{-2-6i}{-12+4i}.
\]
En multipliant par le conjugué du dénominateur :
\[
\frac{-2-6i}{-12+4i}
=
\frac{(-2-6i)(-12-4i)}{(-12)^2+4^2}.
\]
Or :
\[
(-2-6i)(-12-4i)=80i,
\]
et :
\[
(-12)^2+4^2=160.
\]
Donc :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{i}{2}.
\]
Le nombre \(\dfrac{i}{2}\) est imaginaire pur non nul.
Donc :
\[
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
=
\frac{\pi}{2}\ [\pi].
\]
Ainsi :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
=
\frac{\pi}{2}\ [\pi].
\]
\[
\boxed{ABC\text{ est rectangle en }A.}
\]
2.b) Caractérisation d’un triangle rectangle en \(A\)
D’après la question 1.a :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\ [2\pi].
\]
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si et seulement si :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\frac{\pi}{2}\ [\pi].
\]
Cela équivaut à dire que le quotient :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\]
est un imaginaire pur non nul.
\[
\boxed{
(ABC\text{ est rectangle en }A)
\Longleftrightarrow
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb R^*
}.
\]
3) Caractérisation d’un triangle équilatéral
D’après la question 1.a :
\[
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\equiv
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\ [2\pi].
\]
De plus :
\[
\left|
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\right|
=
\frac{|z_C-z_A|}{|z_B-z_A|}
=
\frac{AC}{AB}.
\]
Si \(ABC\) est équilatéral, alors :
\[
AC=AB
\]
et :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\frac{\pi}{3}\ [2\pi]
\quad\text{ou}\quad
-\frac{\pi}{3}\ [2\pi].
\]
Ainsi :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\in
\left\{e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\}.
\]
Réciproquement, si :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\in
\left\{e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\},
\]
alors son module est \(1\), donc :
\[
AC=AB.
\]
Son argument vaut \(\frac{\pi}{3}\) ou \(-\frac{\pi}{3}\), donc l’angle en \(A\)
mesure \(60^\circ\). Un triangle isocèle en \(A\) ayant un angle de \(60^\circ\)
en \(A\) est équilatéral.
\[
\boxed{
(ABC\text{ est équilatéral})
\Longleftrightarrow
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\in
\left\{e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\}
}.
\]
4) Caractérisation de quatre points cocycliques
Posons :
\[
u=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\qquad\text{et}\qquad
v=\frac{z_C-z_D}{z_B-z_D}.
\]
Les points étant deux à deux distincts, les dénominateurs sont non nuls.
D’après la question 1.a :
\[
\arg(u)
\equiv
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\ [2\pi],
\]
et :
\[
\arg(v)
\equiv
\left(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\right)
\ [2\pi].
\]
On rappelle que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont cocycliques si et seulement si :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\left(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\right)
\ [\pi].
\]
Donc :
\[
A,B,C,D\text{ sont cocycliques}
\Longleftrightarrow
\arg(u)-\arg(v)\equiv0\ [\pi].
\]
Or :
\[
\arg\left(\frac{u}{v}\right)
\equiv
\arg(u)-\arg(v)
\ [2\pi].
\]
Ainsi :
\[
\arg\left(\frac{u}{v}\right)\equiv0\ [\pi]
\Longleftrightarrow
\frac{u}{v}\in\mathbb R.
\]
En remplaçant \(u\) et \(v\), on obtient :
\[
\boxed{
(A,B,C,D\text{ sont cocycliques})
\Longleftrightarrow
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\div
\frac{z_C-z_D}{z_B-z_D}
\in\mathbb R
}.
\]
À retenir.
Pour étudier un angle orienté avec des affixes, on utilise le quotient :
\[
\frac{\text{affixe du deuxième vecteur}}{\text{affixe du premier vecteur}}.
\]
Son argument donne l’angle orienté, et son module donne le rapport des longueurs.
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