Nombres complexes : argument et forme trigonométrique — Exercices 8 et 9
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid
La géométrie du plan complexe permet de décrire un nombre non nul à partir de sa distance à l’origine et de la direction du vecteur associé. Dans l’exercice 8, nous établissons l’écriture trigonométrique à partir du cercle, puis nous démontrons sa réciproque. L’exercice 9 prolonge cette idée par la notation exponentielle et par les quotients d’affixes, qui relient les angles orientés aux propriétés des triangles et des cercles.
Pour chaque question, nous identifions d’abord la propriété du cours, vérifions les conditions nécessaires et choisissons une méthode adaptée. Il s’agit notamment de ne pas confondre module et argument, de ne jamais prendre l’argument du nombre nul et de s’assurer qu’un quotient est bien défini avant de l’utiliser.
Repère de cours — Module, argument et écriture exponentielle
Pour tout complexe non nul \(z=x+iy\), le cours définit son module \(r=|z|>0\) et un argument \(\theta\) par la direction du vecteur d’affixe \(z\). On obtient \(x=r\cos\theta\) et \(y=r\sin\theta\), d’où :
\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}. \]L’écriture exponentielle vérifie \(|e^{i\theta}|=1\). Si \(u\) et \(v\) sont deux complexes non nuls, alors :
\[ \arg\left(\frac vu\right)\equiv\arg(v)-\arg(u)\ [2\pi]. \]Cette dernière relation permet de calculer des angles orientés ; le module du même quotient permet, quant à lui, de comparer des longueurs.
Exercice 8
Énoncé
1) Soit \(\mathcal C_1\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\). Soit \(M(x;y)\) un point du cercle \(\mathcal C_1\), et \(\theta\) une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow I;\overrightarrow{OM}\right)\). Montrer que l’affixe \(z_M\) du point \(M\) est déterminée par la relation :
\[ z_M=\cos\theta+i\sin\theta. \]2) Soit \(r\) un réel strictement positif, et soit \(\mathcal C\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\). On considère le point \(M(z)\) de \(\mathcal C\) et on pose :
\[ \left(\overrightarrow I;\overrightarrow{OM}\right)=\theta\ [2\pi]. \]Montrer que :
\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta). \]3) Soit \(r\in\mathbb R_+^*\), \(\theta\in\mathbb R\) et :
\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta). \]Montrer que le point \(M(z)\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\).
Objectif de l’exercice.
Établir d’abord l’écriture d’un point du cercle unité, puis généraliser au rayon \(r>0\), avant de prouver la réciproque par le calcul du module.
1) Exprimer l’affixe d’un point du cercle trigonométrique
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Pour un point du cercle unité, la distance \(OM\) vaut \(1\). Dans un repère orthonormé direct, les coordonnées d’un point d’angle \(\theta\) sont alors \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\). Nous utiliserons ensuite la définition de l’affixe \(z_M=x+iy\).
Méthode et conditions.
On vérifie d’abord que le point appartient bien au cercle de rayon \(1\). Cette hypothèse justifie l’identification des coordonnées à \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) : la formule de l’affixe découle ensuite sans calcul supplémentaire.
Puisque \(M(x;y)\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), on a :
\[
OM=1.
\]
Si \(\theta\) est une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow I;\overrightarrow{OM}\right)\), alors, dans un repère orthonormé direct :
\[
x=\cos\theta
\qquad\text{et}\qquad
y=\sin\theta.
\]
L’affixe du point \(M(x;y)\) est :
\[
z_M=x+iy.
\]
Donc :
\[
z_M=\cos\theta+i\sin\theta.
\]
\[
\boxed{z_M=\cos\theta+i\sin\theta.}
\]
Interprétation.
La formule décrit l’affixe de tout point du cercle trigonométrique. Réciproquement, le complexe \(\cos\theta+i\sin\theta\) a un module égal à \(1\).
2) Passer du cercle unité au cercle de rayon \(r\)
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
La question précédente correspondait à un rayon égal à \(1\). Pour \(r>0\), les coordonnées du point sont multipliées par \(r\) tandis que la direction, donc l’argument, reste inchangée.
Méthode et conditions.
Nous appliquons le lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires : \(x=r\cos\theta\) et \(y=r\sin\theta\). La condition \(r>0\) permet de parler d’un argument du nombre complexe associé.
Le point \(M(z)\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\), donc :
\[
OM=r.
\]
Comme :
\[
\left(\overrightarrow I;\overrightarrow{OM}\right)=\theta\ [2\pi],
\]
les coordonnées de \(M\) sont :
\[
x=r\cos\theta
\qquad\text{et}\qquad
y=r\sin\theta.
\]
Ainsi :
\[
z=x+iy=r\cos\theta+i\,r\sin\theta.
\]
Par factorisation :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
\[
\boxed{z=r(\cos\theta+i\sin\theta).}
\]
Interprétation.
Le facteur \(r\) représente la distance à l’origine, tandis que \(\theta\) donne une direction. Ces deux informations suffisent à déterminer l’affixe du point.
3) Démontrer la réciproque
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Une égalité de la forme \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) ne doit pas simplement être interprétée comme une écriture : elle permet également de déduire une propriété géométrique du point image.
Méthode et conditions.
On extrait les coordonnées réelles et imaginaires, puis on calcule la distance à l’origine à l’aide de \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\). La condition \(r>0\) est indispensable pour passer de \(OM^2=r^2\) à \(OM=r\).
On suppose que :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta),
\qquad r\in\mathbb R_+^*.
\]
Alors le point \(M(z)\) a pour coordonnées :
\[
M(r\cos\theta\,;\,r\sin\theta).
\]
Calculons \(OM\) :
\[
OM^2=(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2.
\]
Donc :
\[
OM^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2.
\]
Comme \(r>0\), on obtient :
\[
OM=r.
\]
\[
\boxed{M(z)\text{ appartient au cercle de centre }O\text{ et de rayon }r.}
\]
À retenir.
Si un point \(M(z)\) est situé à la distance \(r>0\) de l’origine et si \(\theta\) est un argument de \(z\), alors :
\[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
Interprétation.
Nous avons établi les deux sens : les points du cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) sont exactement ceux dont l’affixe s’écrit \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
Exercice 9
Énoncé
Soit \(z\) un nombre complexe non nul. L’écriture :
\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta), \]où \(r=|z|\) et \(\theta=\arg z\ [2\pi]\), est appelée forme trigonométrique du nombre complexe \(z\). On peut aussi écrire :
\[ z=[r;\theta]. \]On pose :
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]L’écriture :
\[ z=|z|e^{i\theta} \]s’appelle la notation exponentielle du nombre \(z\).
A) Préliminaire
1) Déterminer :
\[ e^{i0},\quad e^{i\pi},\quad e^{i\frac{\pi}{2}},\quad e^{-i\frac{\pi}{2}},\quad e^{i\frac{4\pi}{3}}. \]2) Déterminer la forme trigonométrique du nombre :
\[ -\sqrt2+i\sqrt6. \]3) Soit \(t\) le nombre complexe de module \(\sqrt2\) et d’argument \(\dfrac{25\pi}{4}\). Quelle est la forme algébrique de \(t\) ?
4) Soit \(\theta\in\mathbb R\) et \(k\in\mathbb R_+^*\). Vérifier que :
\[ |e^{i\theta}|=1 \qquad\text{et}\qquad \arg(ke^{i\theta})=\theta\ [2\pi]. \]5) Dans le plan complexe, on considère le cercle \(\mathcal C\) de centre \(\Omega(\omega)\) et de rayon \(r>0\), et soit \(M(z)\) un point quelconque du plan complexe. Montrer que :
\[ M\in\mathcal C \Longleftrightarrow \left[(\exists\theta\in\mathbb R),\ z=\omega+re^{i\theta}\right]. \]B) Angles orientés et affixes
Dans le plan complexe \(\mathcal P\) rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\overrightarrow I,\overrightarrow J)\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(z_A\), \(z_B\) et \(z_C\).
1.a) En utilisant les deux points \(E\) et \(F\) tels que :
\[ \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AB} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AC}, \]montrer que :
\[ \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \equiv \arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) \ [2\pi]. \]1.b) Déterminer une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) dans le cas où :
\[ A(1),\quad B(2+i),\quad C(2+i\sqrt3). \]2.a) On suppose, et seulement dans cette question, que :
\[ A\left(\frac75+\frac15i\right),\quad B(-1+i),\quad C(1-i). \]Montrer que \(ABC\) est rectangle en \(A\).
2.b) Dans le cas général, montrer l’équivalence suivante :
\[ (ABC\text{ est rectangle en }A) \Longleftrightarrow \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb R^*. \]3) Montrer l’équivalence suivante :
\[ (ABC\text{ est équilatéral}) \Longleftrightarrow \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \in \left\{e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\}. \]4) Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points deux à deux distincts et non alignés. Montrer l’équivalence suivante :
\[ (A,B,C,D\text{ sont cocycliques}) \Longleftrightarrow \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \div \frac{z_C-z_D}{z_B-z_D} \in\mathbb R. \]
Objectif de l’exercice.
Les préliminaires mettent en relation trigonométrie, notation exponentielle et module. La seconde partie exploite ces outils pour établir des critères d’angles, de triangles et de cocyclicité.
A) Préliminaire
A.1) Calculer les exponentielles complexes données
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Le cours définit \(e^{i\theta}\) à partir des fonctions trigonométriques. Pour les angles remarquables demandés, il suffit donc d’utiliser les valeurs connues du cosinus et du sinus, en contrôlant les signes selon le quadrant.
Méthode et conditions.
Nous appliquons directement \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\). Pour \(4\pi/3\), l’angle appartient au troisième quadrant : le cosinus et le sinus sont tous deux négatifs.
On utilise :
\[
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
\]
Donc :
\[
e^{i0}=1,\quad
e^{i\pi}=-1,\quad
e^{i\frac{\pi}{2}}=i,\quad
e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i.
\]
De plus :
\[
e^{i\frac{4\pi}{3}}
=
\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}
=
-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}.
\]
\[
\boxed{
e^{i0}=1,\quad
e^{i\pi}=-1,\quad
e^{i\frac{\pi}{2}}=i,\quad
e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i,\quad
e^{i\frac{4\pi}{3}}=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}
}.
\]
Interprétation.
Ces valeurs constituent des références réutilisables pour passer rapidement d’une écriture exponentielle à une écriture algébrique.
A.2) Donner la forme trigonométrique de \(-\sqrt2+i\sqrt6\)
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Pour transformer un nombre algébrique en forme trigonométrique, on calcule d’abord son module, puis on cherche un angle dont le cosinus et le sinus correspondent aux parties réelle et imaginaire divisées par le module.
Méthode et conditions.
La valeur du module est strictement positive puisque le nombre est non nul. La partie réelle est négative et la partie imaginaire positive : l’argument recherché doit donc appartenir au deuxième quadrant.
Posons :
\[
z=-\sqrt2+i\sqrt6.
\]
Son module est :
\[
|z|=\sqrt{(-\sqrt2)^2+(\sqrt6)^2}
=
\sqrt{2+6}
=
2\sqrt2.
\]
On cherche \(\theta\) tel que :
\[
\cos\theta=\frac{-\sqrt2}{2\sqrt2}=-\frac12,
\qquad
\sin\theta=\frac{\sqrt6}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{2}.
\]
Donc :
\[
\theta=\frac{2\pi}{3}\ [2\pi].
\]
\[
\boxed{
-\sqrt2+i\sqrt6
=
2\sqrt2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)
=
2\sqrt2\,e^{i\frac{2\pi}{3}}
}.
\]
Interprétation.
Le nombre est entièrement caractérisé par son module \(2\sqrt2\) et un argument \(2\pi/3\). On peut écrire indifféremment sa forme trigonométrique ou exponentielle.
A.3) Retrouver la forme algébrique de \(t\)
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
La forme algébrique se retrouve à partir du module et de l’argument. Comme plusieurs mesures représentent le même argument modulo \(2\pi\), il est plus efficace de réduire l’angle avant de calculer les coordonnées.
Méthode et conditions.
Nous réduisons \(25\pi/4\) modulo \(2\pi\), puis utilisons \(t=|t|(\cos\theta+i\sin\theta)\). La simplification finale donne directement la partie réelle et la partie imaginaire.
On sait que :
\[
|t|=\sqrt2
\qquad\text{et}\qquad
\arg(t)=\frac{25\pi}{4}\ [2\pi].
\]
Or :
\[
\frac{25\pi}{4}=6\pi+\frac{\pi}{4}.
\]
Donc :
\[
\frac{25\pi}{4}\equiv \frac{\pi}{4}\ [2\pi].
\]
Ainsi :
\[
t=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).
\]
Comme :
\[
\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},
\]
alors :
\[
t=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=1+i.
\]
\[
\boxed{t=1+i.}
\]
Interprétation.
Le résultat est cohérent avec les données : \(|1+i|=\sqrt2\) et un argument de \(1+i\) est bien \(\pi/4\).
A.4) Déterminer le module et l’argument
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Il faut distinguer l’effet d’un facteur réel strictement positif de celui d’un facteur complexe. Multiplier \(e^{i\theta}\) par \(k>0\) change son module sans changer sa direction.
Méthode et conditions.
La relation \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) fournit le module de \(e^{i\theta}\). Puisque \(k\) est strictement positif, la forme \(k(\cos\theta+i\sin\theta)\) est bien trigonométrique, avec le même argument.
On a :
\[
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
\]
Donc :
\[
|e^{i\theta}|
=
\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}
=
1.
\]
Comme \(k\in\mathbb R_+^*\), on a :
\[
ke^{i\theta}=k(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
C’est une forme trigonométrique de module \(k\) et d’argument \(\theta\).
\[
\boxed{|e^{i\theta}|=1}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{\arg(ke^{i\theta})=\theta\ [2\pi].}
\]
Interprétation.
La condition \(k>0\) est essentielle : un facteur négatif ajouterait un angle de \(\pi\), tandis que \(k=0\) supprimerait l’argument.
A.5) Caractériser un cercle par une écriture exponentielle
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Un cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(r\) rassemble les points situés à une distance \(r\) de \(\Omega\). Dans le plan complexe, cette distance se traduit par le module de la différence des affixes.
Méthode et conditions.
Nous partons de \(\Omega M=|z-\omega|\). Comme \(r>0\), le complexe \(z-\omega\) est non nul sur le cercle et admet une écriture exponentielle. Pour prouver une équivalence, nous traitons séparément les deux implications.
Soit \(\mathcal C\) le cercle de centre \(\Omega(\omega)\) et de rayon \(r>0\).
Le point \(M(z)\) appartient à \(\mathcal C\) si et seulement si :
\[
\Omega M=r.
\]
En écriture complexe :
\[
\Omega M=|z-\omega|.
\]
Donc :
\[
M\in\mathcal C
\Longleftrightarrow
|z-\omega|=r.
\]
Si \(M\in\mathcal C\), alors le nombre complexe \(z-\omega\) a pour module \(r\).
Donc il existe \(\theta\in\mathbb R\) tel que :
\[
z-\omega=re^{i\theta}.
\]
D’où :
\[
z=\omega+re^{i\theta}.
\]
Réciproquement, s’il existe \(\theta\in\mathbb R\) tel que :
\[
z=\omega+re^{i\theta},
\]
alors :
\[
|z-\omega|=|re^{i\theta}|=r|e^{i\theta}|=r.
\]
Donc :
\[
M\in\mathcal C.
\]
\[
\boxed{
M\in\mathcal C
\Longleftrightarrow
\left[(\exists\theta\in\mathbb R),\ z=\omega+re^{i\theta}\right]
}.
\]
Interprétation.
L’écriture \(z=\omega+re^{i\theta}\) est une paramétrisation du cercle : le centre intervient par translation, le rayon par multiplication, et \(\theta\) permet de parcourir tous ses points.
B) Angles orientés et affixes
Condition d’application.
Les angles orientés formés par des vecteurs et les arguments de quotients sont définis seulement pour des vecteurs non nuls. Dans les questions générales portant sur les triangles \(ABC\), on suppose donc \(A\), \(B\) et \(C\) deux à deux distincts. En particulier, \(A\ne B\) garantit \(z_B-z_A\ne0\).
Dans les quotients qui suivent, les dénominateurs sont non nuls lorsque les points concernés sont distincts. Par exemple :
\[
A\neq B \Longrightarrow z_B-z_A\neq0.
\]
B.1.a) Exprimer un angle orienté avec les affixes
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \(z_B-z_A\), et celle de \(\overrightarrow{AC}\) est \(z_C-z_A\). Le quotient de ces deux affixes fournit directement la différence de leurs arguments.
Méthode et conditions.
Nous avons besoin de \(A\ne B\) pour que le dénominateur soit non nul, et de \(A\ne C\) pour que les deux vecteurs soient non nuls. Les translations vers l’origine ne changent ni leur direction ni l’angle qu’ils forment.
On considère les points \(E\) et \(F\) tels que :
\[
\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AB}
\qquad\text{et}\qquad
\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AC}.
\]
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est :
\[
z_B-z_A.
\]
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est :
\[
z_C-z_A.
\]
Donc :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
=
\left(\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF}\right).
\]
Or l’angle entre deux vecteurs d’affixes non nulles \(u\) et \(v\) est :
\[
\arg\left(\frac{v}{u}\right).
\]
En prenant :
\[
u=z_B-z_A
\qquad\text{et}\qquad
v=z_C-z_A,
\]
on obtient :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\ [2\pi].
\]
\[
\boxed{
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\ [2\pi]
}.
\]
Interprétation.
L’argument du quotient donne l’angle orienté, tandis que son module donne \(AC/AB\). Cette double lecture servira dans les caractérisations de triangles.
B.1.b) Calculer un angle dans un cas concret
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Dans ce cas, les affixes des vecteurs sont simples : elles ont une partie réelle positive et des parties imaginaires positives. Leurs arguments peuvent donc être reconnus à partir des angles remarquables.
Méthode et conditions.
Nous calculons d’abord \(z_B-z_A\) et \(z_C-z_A\), puis nous soustrayons leurs arguments. Les deux affixes étant non nulles, le quotient et son argument sont bien définis.
On a :
\[
z_A=1,\qquad z_B=2+i,\qquad z_C=2+i\sqrt3.
\]
Donc :
\[
z_B-z_A=1+i
\qquad\text{et}\qquad
z_C-z_A=1+i\sqrt3.
\]
On sait que :
\[
\arg(1+i)=\frac{\pi}{4}\ [2\pi],
\]
et :
\[
\arg(1+i\sqrt3)=\frac{\pi}{3}\ [2\pi].
\]
Donc :
\[
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\equiv
\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}
=
\frac{\pi}{12}
\ [2\pi].
\]
\[
\boxed{
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
=
\frac{\pi}{12}\ [2\pi]
}.
\]
Interprétation.
L’angle obtenu est une mesure de l’angle orienté \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), exprimée modulo \(2\pi\).
B.2.a) Montrer que le triangle est rectangle en \(A\)
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Pour démontrer qu’un angle est droit à l’aide des affixes, il est naturel de chercher à montrer que le quotient des affixes des côtés issus de son sommet est imaginaire pur non nul.
Méthode et conditions.
Les différences \(z_B-z_A\) et \(z_C-z_A\) sont calculées avant le quotient. La multiplication par le conjugué du dénominateur permet ensuite de voir immédiatement si la partie réelle du quotient est nulle.
On a :
\[
z_A=\frac75+\frac15i,\qquad z_B=-1+i,\qquad z_C=1-i.
\]
Calculons :
\[
z_B-z_A
=
-1+i-\left(\frac75+\frac15i\right)
=
-\frac{12}{5}+\frac45 i.
\]
Et :
\[
z_C-z_A
=
1-i-\left(\frac75+\frac15i\right)
=
-\frac25-\frac65 i.
\]
Le quotient vaut :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
=
\frac{-\frac25-\frac65 i}{-\frac{12}{5}+\frac45 i}
=
\frac{-2-6i}{-12+4i}.
\]
En multipliant par le conjugué du dénominateur :
\[
\frac{-2-6i}{-12+4i}
=
\frac{(-2-6i)(-12-4i)}{(-12)^2+4^2}.
\]
Or :
\[
(-2-6i)(-12-4i)=80i,
\]
et :
\[
(-12)^2+4^2=160.
\]
Donc :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{i}{2}.
\]
Le nombre \(\dfrac{i}{2}\) est imaginaire pur non nul.
Donc :
\[
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
=
\frac{\pi}{2}\ [\pi].
\]
Ainsi :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
=
\frac{\pi}{2}\ [\pi].
\]
\[
\boxed{ABC\text{ est rectangle en }A.}
\]
Interprétation.
Le quotient obtenu vaut \(i/2\) : son argument est égal à \(\pi/2\) modulo \(\pi\), ce qui traduit exactement l’orthogonalité des deux côtés issus de \(A\).
B.2.b) Établir une caractérisation générale
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
Cette question demande une équivalence. Il faut identifier, dans les deux sens, la propriété complexe correspondant à la perpendicularité des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Méthode et conditions.
Pour un triangle non dégénéré au sommet \(A\), le quotient des affixes des deux vecteurs est défini et non nul. Son argument vaut \(\pi/2\) modulo \(\pi\) si et seulement si ce quotient est imaginaire pur non nul.
D’après la question 1.a :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\ [2\pi].
\]
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si et seulement si :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\frac{\pi}{2}\ [\pi].
\]
Cela équivaut à dire que le quotient :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\]
est un imaginaire pur non nul.
\[
\boxed{
(ABC\text{ est rectangle en }A)
\Longleftrightarrow
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb R^*
}.
\]
Interprétation.
La condition « imaginaire pur non nul » exprime donc un critère réutilisable pour décider si deux vecteurs du plan sont orthogonaux.
B.3) Caractériser un triangle équilatéral
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
L’équilatéralité associe une égalité de longueurs et un angle de \(60^\circ\). Un quotient d’affixes est adapté à cette double condition : son module représente un rapport de longueurs et son argument un angle orienté.
Méthode et conditions.
Nous vérifions successivement les deux sens. Si le triangle est équilatéral, le quotient a pour module \(1\) et pour argument \(\pm\pi/3\). Réciproquement, l’une des deux valeurs exponentielles impose à la fois l’égalité des longueurs et l’angle voulu.
D’après la question 1.a :
\[
\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)
\equiv
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\ [2\pi].
\]
De plus :
\[
\left|
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\right|
=
\frac{|z_C-z_A|}{|z_B-z_A|}
=
\frac{AC}{AB}.
\]
Si \(ABC\) est équilatéral, alors :
\[
AC=AB
\]
et :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\frac{\pi}{3}\ [2\pi]
\quad\text{ou}\quad
-\frac{\pi}{3}\ [2\pi].
\]
Ainsi :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\in
\left\{e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\}.
\]
Réciproquement, si :
\[
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\in
\left\{e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\},
\]
alors son module est \(1\), donc :
\[
AC=AB.
\]
Son argument vaut \(\frac{\pi}{3}\) ou \(-\frac{\pi}{3}\), donc l’angle en \(A\) mesure \(60^\circ\). Un triangle isocèle en \(A\) ayant un angle de \(60^\circ\) en \(A\) est équilatéral.
\[
\boxed{
(ABC\text{ est équilatéral})
\Longleftrightarrow
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\in
\left\{e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}\right\}
}.
\]
Interprétation.
Il est essentiel de contrôler à la fois le module et l’argument. Connaître uniquement la mesure de l’angle ne suffirait pas à assurer que le triangle est équilatéral.
B.4) Caractériser quatre points cocycliques
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours.
La propriété géométrique à reconnaître est la relation entre angles inscrits interceptant une même corde. En écriture complexe, l’égalité de ces angles modulo \(\pi\) se traduit par le caractère réel d’un quotient.
Méthode et conditions.
L’hypothèse selon laquelle les quatre points sont deux à deux distincts garantit que les quotients employés sont non nuls. On utilise d’abord la caractérisation des angles orientés, puis la différence de leurs arguments. Les points étant supposés non alignés, le cas où ils seraient tous situés sur une même droite est exclu.
Posons :
\[
u=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\qquad\text{et}\qquad
v=\frac{z_C-z_D}{z_B-z_D}.
\]
Les points étant deux à deux distincts, les dénominateurs sont non nuls.
D’après la question 1.a :
\[
\arg(u)
\equiv
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\ [2\pi],
\]
et :
\[
\arg(v)
\equiv
\left(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\right)
\ [2\pi].
\]
On rappelle que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont cocycliques si et seulement si :
\[
\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\equiv
\left(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\right)
\ [\pi].
\]
Donc :
\[
A,B,C,D\text{ sont cocycliques}
\Longleftrightarrow
\arg(u)-\arg(v)\equiv0\ [\pi].
\]
Or :
\[
\arg\left(\frac{u}{v}\right)
\equiv
\arg(u)-\arg(v)
\ [2\pi].
\]
Ainsi :
\[
\arg\left(\frac{u}{v}\right)\equiv0\ [\pi]
\Longleftrightarrow
\frac{u}{v}\in\mathbb R.
\]
En remplaçant \(u\) et \(v\), on obtient :
\[
\boxed{
(A,B,C,D\text{ sont cocycliques})
\Longleftrightarrow
\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
\div
\frac{z_C-z_D}{z_B-z_D}
\in\mathbb R
}.
\]
À retenir.
Pour étudier un angle orienté avec des affixes, on utilise le quotient :
\[
\frac{\text{affixe du deuxième vecteur}}{\text{affixe du premier vecteur}}.
\]
Son argument donne l’angle orienté, et son module donne le rapport des longueurs.
Interprétation.
Le rapport obtenu est un critère de cocyclicité. Sans l’hypothèse de non-alignement, la condition de réalité caractériserait plus généralement quatre points alignés ou cocycliques, comme dans le cours.
À retenir
Tout nombre complexe non nul admet une écriture trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), avec \(r>0\), ainsi qu’une écriture exponentielle \(z=re^{i\theta}\). Le module mesure une distance ; l’argument donne une direction, définie modulo \(2\pi\). Le cercle de centre \(\Omega(\omega)\) et de rayon \(r>0\) est décrit par \(z=\omega+re^{i\theta}\).
Pour étudier une figure géométrique, le quotient \((z_C-z_A)/(z_B-z_A)\) joue un rôle central lorsqu’il est défini. Son module est le rapport \(AC/AB\) et son argument est l’angle orienté \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\). On en déduit des critères pour l’orthogonalité, l’équilatéralité et la cocyclicité. Dans chaque utilisation, la vérification des points distincts constitue une étape mathématique indispensable.
Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Commentaires
Enregistrer un commentaire