Nombres complexes : forme algébrique et opérations
Correction détaillée des exercices \(1\), \(2\) et \(3\) : calculs dans \(\mathbb C\), quotients, forme algébrique, parties réelle et imaginaire.
Objectif de cette correction
Dans ces exercices, on utilise uniquement les règles de base du cours :
\[
i^2=-1,\qquad z=x+iy,\qquad \operatorname{Re}(z)=x,\qquad \operatorname{Im}(z)=y.
\]
Pour simplifier un quotient de complexes, on multiplie par le conjugué du dénominateur,
après avoir vérifié que ce dénominateur est non nul.
Remarque importante.
Si \(z=a+ib\), alors la partie imaginaire est le réel \(b\).
On écrit donc \(\operatorname{Im}(z)=b\), et non \(\operatorname{Im}(z)=ib\).
Exercice 1
Énoncé
Pour tout \(z\in\mathbb C\), on pose :
\[
z_1=3+iz
\qquad \text{et} \qquad
z_2=z+i(z^2+5).
\]
Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous la forme algébrique dans chacun des cas suivants :
\[
1)\ z=-i,\qquad
2)\ z=3+2i,\qquad
3)\ z=\frac{2+i}{2-i}.
\]
Afficher la correction de l’exercice 1 Masquer la correction de l’exercice 1
1) Cas \(z=-i\)
On calcule :
\[
z_1=3+i(-i)=3-i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
z_1=3+1=4.
\]
Pour \(z_2\), on a :
\[
z^2=(-i)^2=-1.
\]
Donc :
\[
z_2=-i+i(-1+5)=-i+4i=3i.
\]
\[
\boxed{z_1=4}
\qquad \text{et} \qquad
\boxed{z_2=3i}.
\]
2) Cas \(z=3+2i\)
On calcule :
\[
z_1=3+i(3+2i)=3+3i+2i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), alors :
\[
z_1=3+3i-2=1+3i.
\]
Calculons \(z^2\) :
\[
z^2=(3+2i)^2=9+12i+4i^2.
\]
Donc :
\[
z^2=9+12i-4=5+12i.
\]
Ainsi :
\[
z^2+5=10+12i.
\]
Alors :
\[
i(z^2+5)=i(10+12i)=10i+12i^2.
\]
Donc :
\[
i(z^2+5)=-12+10i.
\]
Par suite :
\[
z_2=3+2i-12+10i=-9+12i.
\]
\[
\boxed{z_1=1+3i}
\qquad \text{et} \qquad
\boxed{z_2=-9+12i}.
\]
3) Cas \(\displaystyle z=\frac{2+i}{2-i}\)
Le dénominateur est non nul :
\[
2-i\neq0.
\]
On peut donc simplifier ce quotient.
On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[
z=\frac{2+i}{2-i}\times\frac{2+i}{2+i}.
\]
Donc :
\[
z=\frac{(2+i)^2}{2^2+1^2}.
\]
Or :
\[
(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i.
\]
Ainsi :
\[
z=\frac{3+4i}{5}
=\frac35+\frac45 i.
\]
Calculons \(z_1\) :
\[
z_1=3+i\left(\frac35+\frac45i\right).
\]
Donc :
\[
z_1=3+\frac35 i+\frac45 i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
z_1=3-\frac45+\frac35 i
=\frac{11}{5}+\frac35 i.
\]
Calculons maintenant \(z_2\). On a :
\[
z^2=\left(\frac35+\frac45i\right)^2.
\]
Donc :
\[
z^2=\frac9{25}+\frac{24}{25}i+\frac{16}{25}i^2
=-\frac7{25}+\frac{24}{25}i.
\]
Par suite :
\[
z^2+5=\frac{118}{25}+\frac{24}{25}i.
\]
Alors :
\[
i(z^2+5)
=i\left(\frac{118}{25}+\frac{24}{25}i\right)
=-\frac{24}{25}+\frac{118}{25}i.
\]
Donc :
\[
z_2=\frac35+\frac45i-\frac{24}{25}+\frac{118}{25}i.
\]
Ainsi :
\[
z_2=\frac{15-24}{25}+\frac{20+118}{25}i
=-\frac9{25}+\frac{138}{25}i.
\]
\[
\boxed{z_1=\frac{11}{5}+\frac35 i}
\qquad \text{et} \qquad
\boxed{z_2=-\frac9{25}+\frac{138}{25}i}.
\]
Exercice 2
Énoncé
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants :
\[
A=(1-10i)(5+3i),
\]
\[
B=\sqrt3+i-(5i+\sqrt3)^2,
\]
\[
C=\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)^2,
\]
\[
D=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^3,
\]
\[
U=\frac{3+i\sqrt5}{3-i\sqrt5},
\quad
V=\frac1{\sqrt3-2i},
\quad
W=\frac{-1+7i}{2-3i},
\]
\[
X=\frac{(4-6i)^2}{(2+i)(1+3i)},
\quad
Y=\frac{(i+1)(i+2)(5-7i)}{2i^8}.
\]
Afficher la correction de l’exercice 2 Masquer la correction de l’exercice 2
1) Calcul de \(A\)
\[
A=(1-10i)(5+3i).
\]
En développant :
\[
A=5+3i-50i-30i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
A=5-47i+30=35-47i.
\]
\[
\boxed{A=35-47i}.
\]
2) Calcul de \(B\)
\[
B=\sqrt3+i-(5i+\sqrt3)^2.
\]
On calcule :
\[
(5i+\sqrt3)^2=25i^2+10\sqrt3 i+3.
\]
Donc :
\[
(5i+\sqrt3)^2=-25+3+10\sqrt3 i
=-22+10\sqrt3 i.
\]
Par suite :
\[
B=\sqrt3+i-(-22+10\sqrt3 i).
\]
Ainsi :
\[
B=22+\sqrt3+(1-10\sqrt3)i.
\]
\[
\boxed{B=22+\sqrt3+(1-10\sqrt3)i}.
\]
3) Calcul de \(C\)
\[
C=\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)^2.
\]
Donc :
\[
C=\frac34-\frac{\sqrt3}{2}i+\frac14i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), alors :
\[
C=\frac34-\frac14-\frac{\sqrt3}{2}i.
\]
Ainsi :
\[
C=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.
\]
\[
\boxed{C=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i}.
\]
4) Calcul de \(D\)
\[
D=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^3.
\]
Calculons d’abord le carré :
\[
\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2
=
\frac14-\frac{\sqrt3}{2}i+\frac34i^2.
\]
Donc :
\[
\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2
=
-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.
\]
Alors :
\[
D=\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)
\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right).
\]
C’est le produit d’un complexe par son conjugué :
\[
D=\frac14+\frac34=1.
\]
\[
\boxed{D=1}.
\]
5) Calcul de \(U\)
Le dénominateur est non nul :
\[
3-i\sqrt5\neq0.
\]
\[
U=\frac{3+i\sqrt5}{3-i\sqrt5}.
\]
On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[
U=\frac{3+i\sqrt5}{3-i\sqrt5}
\times
\frac{3+i\sqrt5}{3+i\sqrt5}.
\]
Donc :
\[
U=\frac{(3+i\sqrt5)^2}{3^2+(\sqrt5)^2}.
\]
Or :
\[
(3+i\sqrt5)^2=9+6i\sqrt5+5i^2=4+6i\sqrt5.
\]
Et :
\[
3^2+(\sqrt5)^2=14.
\]
Donc :
\[
U=\frac{4+6i\sqrt5}{14}
=\frac27+\frac{3\sqrt5}{7}i.
\]
\[
\boxed{U=\frac27+\frac{3\sqrt5}{7}i}.
\]
6) Calcul de \(V\)
Le dénominateur est non nul :
\[
\sqrt3-2i\neq0.
\]
\[
V=\frac1{\sqrt3-2i}.
\]
On multiplie par le conjugué :
\[
V=\frac1{\sqrt3-2i}
\times
\frac{\sqrt3+2i}{\sqrt3+2i}.
\]
Donc :
\[
V=\frac{\sqrt3+2i}{3+4}
=\frac{\sqrt3}{7}+\frac27i.
\]
\[
\boxed{V=\frac{\sqrt3}{7}+\frac27i}.
\]
7) Calcul de \(W\)
Le dénominateur est non nul :
\[
2-3i\neq0.
\]
\[
W=\frac{-1+7i}{2-3i}.
\]
On multiplie par le conjugué :
\[
W=\frac{-1+7i}{2-3i}
\times
\frac{2+3i}{2+3i}.
\]
Au numérateur :
\[
(-1+7i)(2+3i)
=
-2-3i+14i+21i^2.
\]
Donc :
\[
(-1+7i)(2+3i)=-23+11i.
\]
Au dénominateur :
\[
(2-3i)(2+3i)=4+9=13.
\]
Ainsi :
\[
W=-\frac{23}{13}+\frac{11}{13}i.
\]
\[
\boxed{W=-\frac{23}{13}+\frac{11}{13}i}.
\]
8) Calcul de \(X\)
\[
X=\frac{(4-6i)^2}{(2+i)(1+3i)}.
\]
On calcule :
\[
(4-6i)^2=16-48i+36i^2=-20-48i.
\]
Et :
\[
(2+i)(1+3i)=2+6i+i+3i^2=-1+7i.
\]
Donc :
\[
X=\frac{-20-48i}{-1+7i}.
\]
Le dénominateur \(-1+7i\) est non nul.
On multiplie par son conjugué :
\[
X=\frac{(-20-48i)(-1-7i)}{(-1)^2+7^2}.
\]
Au numérateur :
\[
(-20-48i)(-1-7i)
=
20+140i+48i+336i^2.
\]
Donc :
\[
(-20-48i)(-1-7i)=-316+188i.
\]
Au dénominateur :
\[
(-1)^2+7^2=50.
\]
Ainsi :
\[
X=\frac{-316+188i}{50}
=-\frac{158}{25}+\frac{94}{25}i.
\]
\[
\boxed{X=-\frac{158}{25}+\frac{94}{25}i}.
\]
9) Calcul de \(Y\)
\[
Y=\frac{(i+1)(i+2)(5-7i)}{2i^8}.
\]
Comme :
\[
i^4=1,
\]
alors :
\[
i^8=(i^4)^2=1.
\]
Donc :
\[
2i^8=2.
\]
Calculons le numérateur :
\[
(i+1)(i+2)=(1+i)(2+i).
\]
Donc :
\[
(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=1+3i.
\]
Ainsi :
\[
(1+3i)(5-7i)=5-7i+15i-21i^2.
\]
Donc :
\[
(1+3i)(5-7i)=26+8i.
\]
Par suite :
\[
Y=\frac{26+8i}{2}=13+4i.
\]
\[
\boxed{Y=13+4i}.
\]
À retenir.
Dans les quotients de complexes, on commence toujours par vérifier que le
dénominateur est non nul, puis on multiplie par son conjugué.
Exercice 3
Énoncé
Soit \(z\) un nombre complexe différent de \(-1\). On pose :
\[
z=x+iy
\quad \text{avec} \quad
(x;y)\in\mathbb R^2.
\]
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre \(Z\)
dans chacun des cas suivants :
\[
Z=z^2-2iz-1,
\]
\[
Z=\frac{4iz+3}{z+1}.
\]
Afficher la correction de l’exercice 3 Masquer la correction de l’exercice 3
1er cas : \(Z=z^2-2iz-1\)
On a :
\[
z=x+iy.
\]
Donc :
\[
z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2xyi.
\]
Calculons :
\[
-2iz=-2i(x+iy).
\]
Donc :
\[
-2iz=-2xi-2i^2y.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
-2iz=2y-2xi.
\]
Ainsi :
\[
Z=x^2-y^2+2xyi+2y-2xi-1.
\]
En regroupant la partie réelle et la partie imaginaire :
\[
Z=x^2-y^2+2y-1+i(2xy-2x).
\]
\[
\boxed{\operatorname{Re}(Z)=x^2-y^2+2y-1}
\]
et
\[
\boxed{\operatorname{Im}(Z)=2xy-2x=2x(y-1)}.
\]
2ème cas : \(\displaystyle Z=\frac{4iz+3}{z+1}\)
Comme \(z\neq -1\), on a :
\[
z+1\neq0.
\]
Le quotient est donc bien défini.
On écrit :
\[
z+1=x+1+iy.
\]
De plus :
\[
4iz+3=4i(x+iy)+3.
\]
Donc :
\[
4iz+3=3-4y+4xi.
\]
Ainsi :
\[
Z=\frac{3-4y+4xi}{x+1+iy}.
\]
On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[
Z=
\frac{(3-4y+4xi)(x+1-iy)}
{(x+1)^2+y^2}.
\]
Comme \(z\neq -1\), alors :
\[
(x+1)^2+y^2\neq0.
\]
Calculons le numérateur :
\[
(3-4y+4xi)(x+1-iy).
\]
Sa partie réelle est :
\[
(3-4y)(x+1)+4xy.
\]
Donc :
\[
(3-4y)(x+1)+4xy
=
3x+3-4xy-4y+4xy.
\]
Ainsi, la partie réelle du numérateur est :
\[
3x-4y+3.
\]
Sa partie imaginaire est :
\[
-(3-4y)y+4x(x+1).
\]
Donc :
\[
-(3-4y)y+4x(x+1)
=
-3y+4y^2+4x^2+4x.
\]
Ainsi, la partie imaginaire du numérateur est :
\[
4x^2+4x+4y^2-3y.
\]
Par conséquent :
\[
Z=
\frac{3x-4y+3}{(x+1)^2+y^2}
+
i\frac{4x^2+4x+4y^2-3y}{(x+1)^2+y^2}.
\]
\[
\boxed{
\operatorname{Re}(Z)=
\frac{3x-4y+3}{(x+1)^2+y^2}
}
\]
et
\[
\boxed{
\operatorname{Im}(Z)=
\frac{4x^2+4x+4y^2-3y}{(x+1)^2+y^2}
}.
\]
À retenir.
Pour déterminer \(\operatorname{Re}(Z)\) et \(\operatorname{Im}(Z)\),
il faut d’abord écrire \(Z\) sous la forme \(a+ib\).
Dans le deuxième cas, la condition \(z\neq -1\) garantit que le dénominateur
\(z+1\) est non nul.
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