Nombres complexes : forme algébrique et opérations — Exercices 1 à 3
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces trois exercices consolident les premiers réflexes indispensables dans le calcul sur les nombres complexes. Il faut savoir remplacer un nombre complexe par sa valeur, développer des produits et des puissances en utilisant \(i^2=-1\), puis regrouper correctement les termes réels et les termes imaginaires pour obtenir la forme algébrique \(a+ib\). Les quotients demandent une attention supplémentaire : lorsque le dénominateur est complexe, son conjugué permet de transformer le dénominateur en un nombre réel. Enfin, lorsqu’un complexe dépend de \(z=x+iy\), l’écriture sous la forme \(A+iB\) permet de lire directement sa partie réelle et sa partie imaginaire. L’objectif est donc moins de mémoriser des calculs particuliers que de reconnaître la transformation adaptée à chaque expression.
Tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme \[ z=x+iy, \] où \(x\) et \(y\) sont réels et \(i^2=-1\).
Lorsque \[ z=x+iy, \] on a \[ \operatorname{Re}(z)=x \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Im}(z)=y. \] La partie imaginaire est donc le coefficient réel de \(i\), et non le terme \(iy\).
Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on vérifie d’abord que son dénominateur est non nul. On peut ensuite multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. En effet, si \(a\) et \(b\) sont réels, \[ (a+ib)(a-ib)=a^2+b^2, \] ce qui donne un dénominateur réel.
Exercice 1
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1) Cas \(z=-i\)
On commence par remplacer \(z\) par \(-i\). La seule règle algébrique particulière à utiliser est \(i^2=-1\).
Pour \(z_2\), il faut d’abord calculer \(z^2\), car ce terme intervient dans l’expression donnée.
2) Cas \(z=3+2i\)
Cette fois, \(z\) est déjà sous forme algébrique. On développe donc directement les expressions, puis on remplace chaque occurrence de \(i^2\) par \(-1\).
Dans \(z_2\), le terme \(z^2\) doit être déterminé avant d’effectuer l’addition et la multiplication par \(i\).
3) Cas \(\displaystyle z=\frac{2+i}{2-i}\)
Avant de remplacer \(z\) dans \(z_1\) et \(z_2\), il est utile de mettre \(z\) lui-même sous forme algébrique. Le dénominateur est un nombre complexe non réel : on utilise donc son conjugué.
Maintenant que \(z\) est sous forme algébrique, on peut reprendre exactement les expressions définissant \(z_1\) et \(z_2\).
Exercice 2
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1) Calcul de \(A\)
Il s’agit d’un produit de deux nombres complexes déjà sous forme algébrique. On développe donc comme un produit algébrique ordinaire, puis on remplace \(i^2\).
2) Calcul de \(B\)
On calcule d’abord le carré placé entre parenthèses. Il faudra ensuite faire attention au signe « moins » situé devant ce carré.
3) Calcul de \(C\)
Le nombre \(C\) est le carré d’un complexe. Après développement, les termes sans \(i\) sont regroupés pour faire apparaître directement la forme algébrique.
4) Calcul de \(D\)
Pour calculer le cube, la correction commence par déterminer le carré. La valeur obtenue est précisément le conjugué du facteur restant : leur produit devient alors réel.
5) Calcul de \(U\)
Le dénominateur contient une partie imaginaire. Pour obtenir un dénominateur réel, on le multiplie par son conjugué, après avoir vérifié qu’il n’est pas nul.
6) Calcul de \(V\)
On applique le même principe : le conjugué transforme le dénominateur \(\sqrt3-2i\) en la somme réelle \(3+4\).
7) Calcul de \(W\)
Le quotient est traité de la même manière, mais cette fois le numérateur doit également être développé après multiplication par le conjugué.
8) Calcul de \(X\)
Ici, il est plus lisible de calculer d’abord séparément le numérateur et le dénominateur. Une fois ces deux expressions simplifiées, on retrouve un quotient de deux nombres complexes auquel on peut appliquer la règle précédente.
9) Calcul de \(Y\)
Le dénominateur contient une puissance de \(i\). Avant de développer le numérateur, on simplifie donc cette puissance à l’aide de \(i^4=1\).
Exercice 3
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1er cas : \(Z=z^2-2iz-1\)
Comme \(z=x+iy\), on développe séparément \(z^2\) et \(-2iz\), puis on regroupe les termes réels d’un côté et les coefficients de \(i\) de l’autre.
Il reste maintenant à rassembler les termes. Cette étape est essentielle puisque la partie réelle et la partie imaginaire se lisent uniquement lorsque \(Z\) est écrit sous la forme \(A+iB\).
2ème cas : \(\displaystyle Z=\frac{4iz+3}{z+1}\)
Avant toute manipulation du quotient, on utilise l’hypothèse \(z\neq-1\). Elle garantit précisément que le dénominateur \(z+1\) n’est pas nul.
Le dénominateur possède encore une partie imaginaire. On multiplie donc par son conjugué \(x+1-iy\). Le produit obtenu au dénominateur est réel.
Pour identifier \(\operatorname{Re}(Z)\) et \(\operatorname{Im}(Z)\), on sépare maintenant les deux parties du numérateur.
Ces trois exercices mettent en place les réflexes algébriques fondamentaux du chapitre. Pour obtenir la forme algébrique d’un nombre complexe, on développe, on utilise \(i^2=-1\), puis on regroupe séparément la partie réelle et le coefficient de \(i\). Lorsqu’un quotient possède un dénominateur complexe non réel, il faut d’abord vérifier que ce dénominateur est non nul puis utiliser son conjugué afin d’obtenir un dénominateur réel.
Enfin, pour déterminer une partie réelle et une partie imaginaire, le but est toujours d’atteindre une écriture \(A+iB\). On peut alors lire directement \(\operatorname{Re}(Z)=A\) et \(\operatorname{Im}(Z)=B\). Ces réflexes seront réutilisés dans la suite du chapitre, notamment dès que les calculs sur les complexes deviennent plus élaborés.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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