Nombres complexes : puissances et sommes
Correction détaillée des exercices \(4\), \(5\), \(6\) et \(7\) : puissances de nombres complexes, périodicité de \(i\) et \(j\), sommes et conditions de réalité.
Objectif de cette correction
Dans ces exercices, on travaille les puissances de nombres complexes.
On utilise principalement :
\[
i^2=-1,\qquad i^4=1,
\]
ainsi que la périodicité des puissances de \(i\) et de
\[
j=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}.
\]
Attention.
Lorsque l’énoncé utilise des puissances avec \(n\in\mathbb Z\), il faut vérifier que le nombre complexe de base est non nul.
Exercice 4
Énoncé
On considère le nombre complexe :
\[
Z=\frac{5+3i\sqrt3}{1-2i\sqrt3}.
\]
1) Déterminer la forme algébrique de \(Z\).
2) Calculer : \[ Z^2,\quad Z^3,\quad Z^{15}. \] 3) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb Z\) : \[ Z^{3n+2}=-2^{3n+1}(1+i\sqrt3), \] puis en déduire \(Z^{20}\).
2) Calculer : \[ Z^2,\quad Z^3,\quad Z^{15}. \] 3) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb Z\) : \[ Z^{3n+2}=-2^{3n+1}(1+i\sqrt3), \] puis en déduire \(Z^{20}\).
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1) Forme algébrique de \(Z\)
Le dénominateur est non nul :
\[
1-2i\sqrt3\neq0.
\]
On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[
Z=\frac{5+3i\sqrt3}{1-2i\sqrt3}
\times
\frac{1+2i\sqrt3}{1+2i\sqrt3}.
\]
Le dénominateur vaut :
\[
1^2+(2\sqrt3)^2=1+12=13.
\]
Le numérateur vaut :
\[
(5+3i\sqrt3)(1+2i\sqrt3)
=5+10i\sqrt3+3i\sqrt3+6i^2\cdot3.
\]
Donc :
\[
(5+3i\sqrt3)(1+2i\sqrt3)
=5+13i\sqrt3-18=-13+13i\sqrt3.
\]
Ainsi :
\[
Z=\frac{-13+13i\sqrt3}{13}=-1+i\sqrt3.
\]
\[
\boxed{Z=-1+i\sqrt3}.
\]
2) Calcul de \(Z^2\), \(Z^3\) et \(Z^{15}\)
\[
Z^2=(-1+i\sqrt3)^2.
\]
Donc :
\[
Z^2=1-2i\sqrt3+3i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
Z^2=1-2i\sqrt3-3=-2-2i\sqrt3.
\]
\[
\boxed{Z^2=-2-2i\sqrt3}.
\]
\[
Z^3=Z^2Z=(-2-2i\sqrt3)(-1+i\sqrt3).
\]
En développant :
\[
Z^3=2-2i\sqrt3+2i\sqrt3-2i^2\cdot3.
\]
Donc :
\[
Z^3=2+6=8.
\]
\[
\boxed{Z^3=8}.
\]
Puis :
\[
Z^{15}=(Z^3)^5=8^5.
\]
Donc :
\[
Z^{15}=32768.
\]
\[
\boxed{Z^{15}=32768}.
\]
3) Expression de \(Z^{3n+2}\) et calcul de \(Z^{20}\)
On a :
\[
Z=-1+i\sqrt3\neq0.
\]
Les puissances de \(Z\) sont donc bien définies pour tout \(n\in\mathbb Z\).
Pour tout \(n\in\mathbb Z\), on écrit :
\[
Z^{3n+2}=(Z^3)^nZ^2.
\]
Or :
\[
Z^3=8=2^3
\]
et :
\[
Z^2=-2-2i\sqrt3=-2(1+i\sqrt3).
\]
Donc :
\[
Z^{3n+2}=8^n[-2(1+i\sqrt3)].
\]
Ainsi :
\[
Z^{3n+2}=2^{3n}\times[-2(1+i\sqrt3)].
\]
D’où :
\[
Z^{3n+2}=-2^{3n+1}(1+i\sqrt3).
\]
\[
\boxed{Z^{3n+2}=-2^{3n+1}(1+i\sqrt3)}.
\]
Comme :
\[
20=3\times6+2,
\]
on obtient :
\[
Z^{20}=-2^{19}(1+i\sqrt3).
\]
\[
\boxed{Z^{20}=-2^{19}(1+i\sqrt3)}.
\]
À retenir.
La relation \(Z^{3n+2}=(Z^3)^nZ^2\) est valable ici pour \(n\in\mathbb Z\)
car \(Z\neq0\).
Exercice 5
Énoncé
On considère le nombre :
\[
A=-1+i(2-\sqrt3).
\]
1) Calculer :
\[
A^2,\quad A^3,\quad A^6.
\]
2) Montrer que :
\[
(\forall n\in\mathbb N),\quad A^{12n}\in\mathbb R.
\]
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On pose :
\[
a=2-\sqrt3.
\]
Alors :
\[
A=-1+ai.
\]
1) Calcul de \(A^2\)
\[
A^2=(-1+ai)^2.
\]
Donc :
\[
A^2=1-2ai+a^2i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
A^2=1-a^2-2ai.
\]
Or :
\[
a^2=(2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3.
\]
Ainsi :
\[
A^2=1-(7-4\sqrt3)-2(2-\sqrt3)i.
\]
Donc :
\[
A^2=-6+4\sqrt3+(-4+2\sqrt3)i.
\]
\[
\boxed{A^2=-6+4\sqrt3+(-4+2\sqrt3)i}.
\]
Calcul de \(A^3\)
\[
A^3=(-1+ai)^3.
\]
En développant :
\[
A^3=-1+3ai+3a^2-a^3i.
\]
Donc :
\[
A^3=(-1+3a^2)+(3a-a^3)i.
\]
On a :
\[
a^2=7-4\sqrt3
\]
et :
\[
a^3=(2-\sqrt3)^3=26-15\sqrt3.
\]
Ainsi :
\[
-1+3a^2=-1+3(7-4\sqrt3)=20-12\sqrt3.
\]
De plus :
\[
3a-a^3=3(2-\sqrt3)-(26-15\sqrt3).
\]
Donc :
\[
3a-a^3=-20+12\sqrt3.
\]
\[
\boxed{A^3=(20-12\sqrt3)+(-20+12\sqrt3)i}.
\]
On peut aussi écrire :
\[
\boxed{A^3=(20-12\sqrt3)(1-i)}.
\]
Calcul de \(A^6\)
\[
A^6=(A^3)^2.
\]
Or :
\[
A^3=(20-12\sqrt3)(1-i).
\]
Donc :
\[
A^6=(20-12\sqrt3)^2(1-i)^2.
\]
On calcule :
\[
(1-i)^2=1-2i+i^2=-2i.
\]
Donc :
\[
A^6=-2(20-12\sqrt3)^2i.
\]
Or :
\[
(20-12\sqrt3)^2=400-480\sqrt3+432=832-480\sqrt3.
\]
Ainsi :
\[
A^6=(-1664+960\sqrt3)i.
\]
\[
\boxed{A^6=(-1664+960\sqrt3)i}.
\]
2) Montrer que \(A^{12n}\in\mathbb R\)
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :
\[
A^{12n}=(A^6)^{2n}.
\]
Or :
\[
A^6=(-1664+960\sqrt3)i.
\]
Donc \(A^6\) est un imaginaire pur.
Ainsi :
\[
(A^6)^2\in\mathbb R.
\]
Par suite :
\[
A^{12n}=(A^6)^{2n}
=
\left((A^6)^2\right)^n\in\mathbb R.
\]
\[
\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad A^{12n}\in\mathbb R}.
\]
À retenir.
Ici, la difficulté est surtout algébrique : il faut réduire soigneusement
\(A^3\), puis utiliser \(A^6=(A^3)^2\).
Exercice 6
Énoncé
Soit \(n\) un entier naturel. On pose :
\[
j=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}.
\]
1) Calculer \(j^2\) et \(j^3\), puis \(j^n\) selon les valeurs de \(n\).
2) Vérifier que : \[ 1+j+j^2=0. \] 3) Calculer la somme : \[ S=1+j+j^2+\cdots+j^{2020}. \]
2) Vérifier que : \[ 1+j+j^2=0. \] 3) Calculer la somme : \[ S=1+j+j^2+\cdots+j^{2020}. \]
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1) Calcul de \(j^2\), \(j^3\), puis \(j^n\)
\[
j^2=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2.
\]
Donc :
\[
j^2=\frac14-\frac{\sqrt3}{2}i+\frac34i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
j^2=\frac14-\frac34-\frac{\sqrt3}{2}i.
\]
Ainsi :
\[
j^2=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}.
\]
\[
\boxed{j^2=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}}.
\]
\[
j^3=j^2j.
\]
Donc :
\[
j^3=
\left(-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)
\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right).
\]
C’est le produit d’un complexe par son conjugué :
\[
j^3=\frac14+\frac34=1.
\]
\[
\boxed{j^3=1}.
\]
Les puissances de \(j\) sont donc périodiques de période \(3\). Pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[
\boxed{
\begin{cases}
j^n=1 & \text{si } n\equiv0\ [3],\\
j^n=j & \text{si } n\equiv1\ [3],\\
j^n=j^2 & \text{si } n\equiv2\ [3].
\end{cases}}
\]
2) Vérifier que \(1+j+j^2=0\)
On a :
\[
j=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}
\]
et :
\[
j^2=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}.
\]
Donc :
\[
1+j+j^2
=
1-\frac12-\frac12
+i\frac{\sqrt3}{2}
-i\frac{\sqrt3}{2}
=0.
\]
\[
\boxed{1+j+j^2=0}.
\]
3) Calcul de la somme \(S\)
\[
S=1+j+j^2+\cdots+j^{2020}.
\]
On groupe les termes par paquets de trois :
\[
1+j+j^2=0.
\]
La somme contient les termes de \(j^0\) jusqu’à \(j^{2020}\), donc \(2021\) termes.
Or :
\[
2021=3\times673+2.
\]
Donc :
\[
S=673(1+j+j^2)+j^{2019}+j^{2020}.
\]
Comme :
\[
2019\equiv0\ [3]
\quad \text{et} \quad
2020\equiv1\ [3],
\]
alors :
\[
j^{2019}=1
\quad \text{et} \quad
j^{2020}=j.
\]
Ainsi :
\[
S=1+j.
\]
Donc :
\[
S=1-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}
=
\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}.
\]
\[
\boxed{S=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}}.
\]
À retenir.
La relation \(j^3=1\) permet de réduire les puissances de \(j\) selon le reste de \(n\) modulo \(3\).
Exercice 7
Énoncé
Soit \(n\) un entier naturel.
1) a) Calculer \(i^3\), \(i^4\), \(i^5\) et \(i^n\) selon les valeurs de \(n\).
b) Calculer les deux sommes suivantes : \[ S=1+i+i^2+i^3+\cdots+i^{2019}, \] \[ T=1-i+i^2-i^3+\cdots+(-i)^{2019}. \] 2) a) Calculer \((1+i)^3\), \((1+i)^4\) et \((1+i)^n\) selon les valeurs de \(n\).
b) Déterminer tous les entiers naturels \(n\) pour lesquels \((1+i)^n\) est un nombre réel négatif.
1) a) Calculer \(i^3\), \(i^4\), \(i^5\) et \(i^n\) selon les valeurs de \(n\).
b) Calculer les deux sommes suivantes : \[ S=1+i+i^2+i^3+\cdots+i^{2019}, \] \[ T=1-i+i^2-i^3+\cdots+(-i)^{2019}. \] 2) a) Calculer \((1+i)^3\), \((1+i)^4\) et \((1+i)^n\) selon les valeurs de \(n\).
b) Déterminer tous les entiers naturels \(n\) pour lesquels \((1+i)^n\) est un nombre réel négatif.
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1-a) Puissances de \(i\)
On sait que :
\[
i^2=-1.
\]
Donc :
\[
i^3=i^2\cdot i=-i,
\]
\[
i^4=(i^2)^2=1,
\]
et :
\[
i^5=i^4\cdot i=i.
\]
\[
\boxed{i^3=-i,\quad i^4=1,\quad i^5=i}.
\]
Les puissances de \(i\) sont périodiques de période \(4\). Pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[
\boxed{
\begin{cases}
i^n=1 & \text{si } n\equiv0\ [4],\\
i^n=i & \text{si } n\equiv1\ [4],\\
i^n=-1 & \text{si } n\equiv2\ [4],\\
i^n=-i & \text{si } n\equiv3\ [4].
\end{cases}}
\]
1-b) Calcul des sommes
Pour la première somme :
\[
S=1+i+i^2+i^3+\cdots+i^{2019}.
\]
On a :
\[
1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0.
\]
La somme contient \(2020\) termes, et :
\[
2020=4\times505.
\]
Donc :
\[
S=505(1+i+i^2+i^3)=0.
\]
\[
\boxed{S=0}.
\]
Pour la deuxième somme :
\[
T=1-i+i^2-i^3+\cdots+(-i)^{2019}.
\]
On reconnaît :
\[
T=\sum_{k=0}^{2019}(-i)^k.
\]
Or :
\[
1+(-i)+(-i)^2+(-i)^3=1-i-1+i=0.
\]
Comme :
\[
2020=4\times505,
\]
on obtient :
\[
T=0.
\]
\[
\boxed{T=0}.
\]
2-a) Puissances de \(1+i\)
On calcule :
\[
(1+i)^2=1+2i+i^2=2i.
\]
Donc :
\[
(1+i)^3=(1+i)^2(1+i)=2i(1+i).
\]
Ainsi :
\[
(1+i)^3=2i+2i^2=-2+2i.
\]
\[
\boxed{(1+i)^3=-2+2i}.
\]
Puis :
\[
(1+i)^4=\left((1+i)^2\right)^2=(2i)^2=4i^2=-4.
\]
\[
\boxed{(1+i)^4=-4}.
\]
Soit :
\[
n=4q+r
\]
avec :
\[
q\in\mathbb N,\qquad r\in\{0,1,2,3\}.
\]
Comme :
\[
(1+i)^4=-4,
\]
on obtient :
\[
\boxed{
\begin{cases}
(1+i)^n=(-4)^q & \text{si } r=0,\\
(1+i)^n=(-4)^q(1+i) & \text{si } r=1,\\
(1+i)^n=(-4)^q(2i) & \text{si } r=2,\\
(1+i)^n=(-4)^q(-2+2i) & \text{si } r=3.
\end{cases}}
\]
2-b) Cas où \((1+i)^n\) est réel négatif
D’après la question précédente, \((1+i)^n\) est réel seulement lorsque :
\[
n=4q.
\]
Dans ce cas :
\[
(1+i)^n=(-4)^q.
\]
Le nombre \((-4)^q\) est strictement négatif si et seulement si \(q\) est impair.
Donc :
\[
q=2p+1,\qquad p\in\mathbb N.
\]
Ainsi :
\[
n=4(2p+1)=8p+4.
\]
\[
\boxed{n=8p+4,\quad p\in\mathbb N}.
\]
À retenir.
Pour les puissances de \(i\), on raisonne modulo \(4\).
Pour que \((1+i)^n\) soit réel négatif, il faut d’abord que \(n\) soit multiple de \(4\), puis que l’exposant \(q\) dans \((-4)^q\) soit impair.
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