Nombres complexes : puissances et sommes — Exercices 4 à 7
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid
Ces exercices développent plusieurs réflexes essentiels sur les puissances de nombres complexes. On commence par simplifier les expressions afin de faire apparaître une puissance remarquable. Une relation comme \(Z^3=8\), \(j^3=1\) ou \(i^4=1\) permet ensuite de réduire des exposants beaucoup plus grands sans effectuer de longs développements. Les mêmes idées interviennent dans les sommes : lorsqu’une suite de puissances est périodique, on regroupe les termes suivant une période complète. Enfin, certaines questions ne demandent pas la valeur exacte d’une puissance, mais seulement sa nature : réelle, imaginaire pure ou réelle négative. Il faut alors exploiter les résultats précédents et traduire précisément la condition imposée sur l’exposant.
Rappel de cours — Outils utilisés dans ces exercices
Dans les calculs algébriques, on utilise constamment :
\[ i^2=-1. \]Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Si \(z=a+ib\neq0\), alors :
\[ z\overline z=a^2+b^2. \]Pour les puissances, lorsqu’une relation simple comme \(z^p=1\) ou \(z^p\in\mathbb R\) apparaît, on cherche à écrire l’exposant en fonction de \(p\). Cela permet de remplacer une grande puissance par une petite puissance déjà calculée.
Exercice 4
On considère le nombre complexe :
\[ Z=\frac{5+3i\sqrt3}{1-2i\sqrt3}. \]1) Déterminer la forme algébrique de \(Z\).
2) Calculer :
\[ Z^2,\quad Z^3,\quad Z^{15}. \]3) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb Z\) :
\[ Z^{3n+2}=-2^{3n+1}(1+i\sqrt3), \]puis en déduire \(Z^{20}\).
Stratégie générale. La première question doit permettre de supprimer le quotient et d’obtenir une forme algébrique simple. On calculera ensuite les premières puissances de \(Z\). L’objectif est de faire apparaître une puissance particulièrement simple qui pourra être réutilisée pour \(Z^{15}\), puis pour toute puissance dont l’exposant est de la forme \(3n+2\).
1) Déterminer la forme algébrique de \(Z\)
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Méthode. Le dénominateur n’est pas réel. Pour obtenir la forme algébrique de \(Z\), on multiplie donc le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(1+2i\sqrt3\).
Le dénominateur est non nul :
\[ 1-2i\sqrt3\neq0. \]On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[ Z=\frac{5+3i\sqrt3}{1-2i\sqrt3} \times \frac{1+2i\sqrt3}{1+2i\sqrt3}. \]Le dénominateur vaut :
\[ 1^2+(2\sqrt3)^2=1+12=13. \]Le numérateur vaut :
\[ (5+3i\sqrt3)(1+2i\sqrt3) =5+10i\sqrt3+3i\sqrt3+6i^2\cdot3. \]Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[ (5+3i\sqrt3)(1+2i\sqrt3) =5+13i\sqrt3-18 =-13+13i\sqrt3. \]Ainsi :
\[ Z=\frac{-13+13i\sqrt3}{13} =-1+i\sqrt3. \]2) Calculer \(Z^2\), \(Z^3\) et \(Z^{15}\)
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On utilise directement \(Z=-1+i\sqrt3\). Le calcul de \(Z^3\) est particulièrement important : s’il donne une valeur simple, il permettra de calculer \(Z^{15}\) sans développer quinze facteurs.
On calcule :
\[ Z^2=(-1+i\sqrt3)^2. \]Donc :
\[ Z^2=1-2i\sqrt3+3i^2. \]Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[ Z^2=1-2i\sqrt3-3 =-2-2i\sqrt3. \]Pour \(Z^3\), on réutilise immédiatement \(Z^2\) :
\[ Z^3=Z^2Z =(-2-2i\sqrt3)(-1+i\sqrt3). \]En développant :
\[ Z^3 = 2-2i\sqrt3+2i\sqrt3-2i^2\cdot3. \]Les deux termes imaginaires s’annulent. Ainsi :
\[ Z^3=2+6=8. \]Comme :
\[ 15=3\times5, \]on utilise \(Z^3\) :
\[ Z^{15}=(Z^3)^5=8^5. \]Donc :
\[ Z^{15}=32768. \]3) Montrer que \[ Z^{3n+2}=-2^{3n+1}(1+i\sqrt3), \] puis calculer \(Z^{20}\)
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L’exposant est déjà écrit sous la forme \(3n+2\). Il faut donc faire apparaître \(Z^3\) et \(Z^2\), deux puissances déjà calculées. Comme \(n\in\mathbb Z\), on vérifie auparavant que \(Z\neq0\).
On a :
\[ Z=-1+i\sqrt3\neq0. \]Les puissances de \(Z\) sont donc bien définies pour tout \(n\in\mathbb Z\).
Pour tout \(n\in\mathbb Z\), on écrit :
\[ Z^{3n+2}=(Z^3)^nZ^2. \]Or :
\[ Z^3=8=2^3 \]et :
\[ Z^2=-2-2i\sqrt3 =-2(1+i\sqrt3). \]Donc :
\[ Z^{3n+2} = 8^n[-2(1+i\sqrt3)]. \]Ainsi :
\[ Z^{3n+2} = 2^{3n}\times[-2(1+i\sqrt3)]. \]D’où :
\[ Z^{3n+2} = -2^{3n+1}(1+i\sqrt3). \]Pour calculer \(Z^{20}\), on remarque que :
\[ 20=3\times6+2. \]On prend donc \(n=6\) dans la relation précédente :
\[ Z^{20} = -2^{19}(1+i\sqrt3). \]Exercice 5
On considère le nombre :
\[ A=-1+i(2-\sqrt3). \]1) Calculer :
\[ A^2,\quad A^3,\quad A^6. \]2) Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N),\quad A^{12n}\in\mathbb R. \]Stratégie générale. Les premières puissances de \(A\) sont calculées algébriquement. La question essentielle consiste ensuite à observer la nature de \(A^6\). Si cette puissance est imaginaire pure, son carré sera réel, ce qui permettra de traiter \(A^{12n}\) sans effectuer de nouveau développement.
1) Calculer \(A^2\), \(A^3\) et \(A^6\)
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L’expression \(2-\sqrt3\) intervient plusieurs fois. Pour alléger les calculs, on pose temporairement :
Alors :
\[ A=-1+ai. \]Calcul de \(A^2\)
\[ A^2=(-1+ai)^2. \]Donc :
\[ A^2=1-2ai+a^2i^2. \]Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[ A^2=1-a^2-2ai. \]Or :
\[ a^2=(2-\sqrt3)^2 =4-4\sqrt3+3 =7-4\sqrt3. \]Ainsi :
\[ A^2 = 1-(7-4\sqrt3)-2(2-\sqrt3)i. \]Donc :
\[ A^2 = -6+4\sqrt3+(-4+2\sqrt3)i. \]Calcul de \(A^3\)
\[ A^3=(-1+ai)^3. \]En développant :
\[ A^3=-1+3ai+3a^2-a^3i. \]Donc :
\[ A^3=(-1+3a^2)+(3a-a^3)i. \]On a :
\[ a^2=7-4\sqrt3 \]et :
\[ a^3=(2-\sqrt3)^3 =26-15\sqrt3. \]Ainsi :
\[ -1+3a^2 = -1+3(7-4\sqrt3) = 20-12\sqrt3. \]De plus :
\[ 3a-a^3 = 3(2-\sqrt3)-(26-15\sqrt3). \]Donc :
\[ 3a-a^3=-20+12\sqrt3. \]On peut aussi écrire :
\[ \boxed{A^3=(20-12\sqrt3)(1-i)}. \]Calcul de \(A^6\)
On utilise :
\[ A^6=(A^3)^2. \]Or :
\[ A^3=(20-12\sqrt3)(1-i). \]Donc :
\[ A^6 = (20-12\sqrt3)^2(1-i)^2. \]On calcule :
\[ (1-i)^2 = 1-2i+i^2 = -2i. \]Donc :
\[ A^6 = -2(20-12\sqrt3)^2i. \]Or :
\[ (20-12\sqrt3)^2 = 400-480\sqrt3+432 = 832-480\sqrt3. \]Ainsi :
\[ A^6=(-1664+960\sqrt3)i. \]2) Montrer que \[ (\forall n\in\mathbb N),\quad A^{12n}\in\mathbb R \]
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Il n’est pas nécessaire de calculer explicitement \(A^{12n}\). On réutilise la nature de \(A^6\) obtenue à la question précédente.
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :
\[ A^{12n}=(A^6)^{2n}. \]Or :
\[ A^6=(-1664+960\sqrt3)i. \]Donc \(A^6\) est un imaginaire pur.
Par conséquent :
\[ (A^6)^2\in\mathbb R. \]Ainsi :
\[ A^{12n} = (A^6)^{2n} = \left((A^6)^2\right)^n \in\mathbb R. \]Exercice 6
Soit \(n\) un entier naturel. On pose :
\[ j=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}. \]1) Calculer \(j^2\) et \(j^3\), puis \(j^n\) selon les valeurs de \(n\).
2) Vérifier que :
\[ 1+j+j^2=0. \]3) Calculer la somme :
\[ S=1+j+j^2+\cdots+j^{2020}. \]Stratégie générale. On calcule d’abord les premières puissances de \(j\). Dès qu’une puissance vaut \(1\), les puissances suivantes deviennent périodiques. Cette périodicité permettra ensuite de traiter \(j^n\), puis la longue somme jusqu’à \(j^{2020}\).
1) Calculer \(j^2\), \(j^3\), puis \(j^n\)
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On calcule :
\[ j^2 = \left( -\frac12+i\frac{\sqrt3}{2} \right)^2. \]Donc :
\[ j^2 = \frac14-\frac{\sqrt3}{2}i +\frac34i^2. \]Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[ j^2 = \frac14-\frac34-\frac{\sqrt3}{2}i. \]Ainsi :
\[ j^2 = -\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}. \]Calculons maintenant \(j^3\) :
\[ j^3=j^2j. \]Donc :
\[ j^3 = \left( -\frac12-i\frac{\sqrt3}{2} \right) \left( -\frac12+i\frac{\sqrt3}{2} \right). \]Il s’agit du produit de deux nombres complexes conjugués. Ainsi :
\[ j^3 = \frac14+\frac34 = 1. \]Puisque \(j^3=1\), toute puissance de \(j\) peut être réduite selon le reste de l’exposant dans la division par \(3\).
Pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ \boxed{ \begin{cases} j^n=1 & \text{si }n\equiv0\ [3],\\ j^n=j & \text{si }n\equiv1\ [3],\\ j^n=j^2 & \text{si }n\equiv2\ [3]. \end{cases}} \]2) Vérifier que \[ 1+j+j^2=0 \]
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Les valeurs de \(j\) et de \(j^2\) sont déjà connues. Il suffit donc de les additionner et de regrouper séparément les parties réelle et imaginaire.
On a :
\[ j=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2} \]et :
\[ j^2=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}. \]Donc :
\[ 1+j+j^2 = 1-\frac12-\frac12 +i\frac{\sqrt3}{2} -i\frac{\sqrt3}{2} = 0. \]3) Calculer \[ S=1+j+j^2+\cdots+j^{2020} \]
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La relation \(1+j+j^2=0\) invite à regrouper les termes par paquets de trois. Il faut ensuite déterminer combien de termes restent après les paquets complets.
La somme contient les termes de \(j^0\) jusqu’à \(j^{2020}\), soit \(2021\) termes.
Or :
\[ 2021=3\times673+2. \]Donc :
\[ S = 673(1+j+j^2) +j^{2019}+j^{2020}. \]Comme :
\[ 2019\equiv0\ [3] \]et :
\[ 2020\equiv1\ [3], \]on obtient :
\[ j^{2019}=1 \]et :
\[ j^{2020}=j. \]Ainsi :
\[ S=1+j. \]Donc :
\[ S = 1-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2} = \frac12+i\frac{\sqrt3}{2}. \]Exercice 7
Soit \(n\) un entier naturel.
1-a) Calculer \(i^3\), \(i^4\), \(i^5\) et \(i^n\) selon les valeurs de \(n\).
1-b) Calculer les deux sommes suivantes :
\[ S=1+i+i^2+i^3+\cdots+i^{2019}, \] \[ T=1-i+i^2-i^3+\cdots+(-i)^{2019}. \]2-a) Calculer \((1+i)^3\), \((1+i)^4\) et \((1+i)^n\) selon les valeurs de \(n\).
2-b) Déterminer tous les entiers naturels \(n\) pour lesquels \((1+i)^n\) est un nombre réel négatif.
Stratégie générale. La relation fondamentale \(i^4=1\) permet de réduire les puissances de \(i\) modulo \(4\). Pour \(1+i\), on cherchera également une petite puissance réelle. Cela permettra ensuite de distinguer les cas selon le reste de \(n\) dans la division euclidienne par \(4\).
1-a) Calculer \(i^3\), \(i^4\), \(i^5\) et \(i^n\)
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On sait que :
\[ i^2=-1. \]Donc :
\[ i^3=i^2\cdot i=-i, \] \[ i^4=(i^2)^2=1, \]et :
\[ i^5=i^4\cdot i=i. \]Puisque \(i^4=1\), les puissances de \(i\) se répètent par blocs de quatre. On distingue donc les quatre restes possibles modulo \(4\).
Pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ \boxed{ \begin{cases} i^n=1 & \text{si }n\equiv0\ [4],\\ i^n=i & \text{si }n\equiv1\ [4],\\ i^n=-1 & \text{si }n\equiv2\ [4],\\ i^n=-i & \text{si }n\equiv3\ [4]. \end{cases}} \]1-b) Calculer les sommes \(S\) et \(T\)
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Les puissances de \(i\) et de \(-i\) sont périodiques de période \(4\). On cherche donc des groupes de quatre termes dont la somme est nulle.
Pour la première somme :
\[ S=1+i+i^2+i^3+\cdots+i^{2019}. \]On a :
\[ 1+i+i^2+i^3 = 1+i-1-i = 0. \]La somme contient \(2020\) termes, et :
\[ 2020=4\times505. \]Donc :
\[ S = 505(1+i+i^2+i^3) = 0. \]Pour la deuxième somme :
\[ T=1-i+i^2-i^3+\cdots+(-i)^{2019}. \]On reconnaît :
\[ T=\sum_{k=0}^{2019}(-i)^k. \]Or :
\[ 1+(-i)+(-i)^2+(-i)^3 = 1-i-1+i = 0. \]Comme :
\[ 2020=4\times505, \]on obtient :
\[ T=0. \]2-a) Calculer \((1+i)^3\), \((1+i)^4\) et \((1+i)^n\)
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Comme pour les puissances de \(i\), on cherche d’abord une petite puissance de \(1+i\) qui devienne réelle. Elle servira ensuite de base pour réduire un exposant quelconque.
On calcule :
\[ (1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i. \]Donc :
\[ (1+i)^3 = (1+i)^2(1+i) = 2i(1+i). \]Ainsi :
\[ (1+i)^3 = 2i+2i^2 = -2+2i. \]Puis :
\[ (1+i)^4 = \left((1+i)^2\right)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4. \]On effectue maintenant la division euclidienne de \(n\) par \(4\). Les quatre restes possibles correspondent aux quatre formes possibles de la puissance.
Soit :
\[ n=4q+r \]avec :
\[ q\in\mathbb N, \qquad r\in\{0,1,2,3\}. \]Comme :
\[ (1+i)^4=-4, \]on obtient :
\[ \boxed{ \begin{cases} (1+i)^n=(-4)^q & \text{si }r=0,\\[2mm] (1+i)^n=(-4)^q(1+i) & \text{si }r=1,\\[2mm] (1+i)^n=(-4)^q(2i) & \text{si }r=2,\\[2mm] (1+i)^n=(-4)^q(-2+2i) & \text{si }r=3. \end{cases}} \]2-b) Déterminer les \(n\in\mathbb N\) tels que \((1+i)^n\) soit réel négatif
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Deux conditions doivent être examinées successivement. On cherche d’abord quand \((1+i)^n\) est réel. Parmi ces valeurs de \(n\), on détermine ensuite celles pour lesquelles ce réel est strictement négatif.
D’après la question précédente, \((1+i)^n\) est réel seulement lorsque :
\[ n=4q. \]Dans ce cas :
\[ (1+i)^n=(-4)^q. \]Le nombre \((-4)^q\) est strictement négatif si et seulement si \(q\) est impair.
Donc :
\[ q=2p+1, \qquad p\in\mathbb N. \]Ainsi :
\[ n = 4(2p+1) = 8p+4. \]À retenir
Ces exercices montrent qu’un calcul de grande puissance ne doit pas être abordé par des développements successifs. Il faut d’abord rechercher une petite puissance remarquable. Ainsi, \(Z^3=8\) permet de traiter les puissances de \(Z\) dont l’exposant est lié à \(3\), tandis que \(j^3=1\) et \(i^4=1\) conduisent directement à des phénomènes de périodicité. Ces périodes sont également très efficaces pour calculer des sommes comportant un grand nombre de termes.
L’exercice sur \(A\) met en évidence un autre réflexe : la nature d’une puissance intermédiaire peut suffire pour conclure. Comme \(A^6\) est imaginaire pur, son carré est réel, ce qui permet d’établir immédiatement que \(A^{12n}\) est réel. Enfin, pour \((1+i)^n\), la division euclidienne de l’exposant par \(4\) permet de distinguer les différents cas, puis de caractériser précisément les puissances réelles négatives.
Enseignant des mathématiques — Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Parcours Maths Maroc — PMM
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