Correction des exercices 1 à 22 — Logique — 1re Bac Sciences Expérimentales

Correction des exercices 1 à 22 — Logique

1re Bac Sciences Expérimentales · Parcours Maths Maroc

Objectifs et parcours de résolution

Les exercices 1 à 22 travaillent la formulation des propositions, les quantificateurs et les différentes façons de démontrer ou de réfuter un énoncé. Le premier exercice distingue une propriété dépendant de paramètres d’une proposition obtenue après leur fixation. Cette attention aux variables prépare les preuves suivantes : avant de calculer, il faut savoir ce qui est supposé, ce qui est recherché et sur quel ensemble porte l’affirmation.

Repères de cours utiles

La valeur de vérité d’un énoncé dépend de l’ensemble dans lequel ses variables sont prises. Une proposition ne comporte plus de variable libre ; une propriété contenant un paramètre peut devenir vraie ou fausse suivant la valeur de ce paramètre.

La négation de « pour tout \(x\) dans \(E\), \(P(x)\) » est « il existe \(x\) dans \(E\) tel que \(P(x)\) soit fausse ». La négation d’une existence est une affirmation universelle portant sur la propriété contraire. L’ensemble \(E\) reste le même.

Pour démontrer une implication, partir de son hypothèse et obtenir sa conclusion. Pour une équivalence, établir les deux implications. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation universelle, mais plusieurs exemples favorables ne la démontrent pas.

Méthode de travail sur ce sujet

Pour une négation, changer le quantificateur et nier la propriété, en conservant son domaine. Pour une implication, écrire explicitement l’hypothèse de départ.

Pour une affirmation universelle fausse, choisir un contre-exemple appartenant à l’ensemble annoncé. Pour une équivalence vraie, vérifier les deux sens et les conditions d’existence des expressions.

1–5 6–10 11–15 16–20 21–22

Exercice 1

Soit \(a\in\mathbb R\). On considère :

\[ P(a): \quad \forall x\in\mathbb R,\qquad x^2+(a-2)x+a\ge0. \]

1

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(P(a)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Lecture logique de l’énoncé.

Considérons :

\[ R(a,x): \quad x^2+(a-2)x+a\ge0. \]

Comme cet énoncé dépend de \(a\) et de \(x\), \(R(a,x)\) est une fonction propositionnelle.

Dans

\[ P(a): \quad \forall x\in\mathbb R,\ R(a,x), \]

la variable \(x\) est liée par le quantificateur universel. Il reste donc le paramètre \(a\). Ainsi \(P(a)\) est une fonction propositionnelle dépendant de \(a\).

Pour chaque valeur fixée de \(a\), \(P(a)\) devient une proposition vraie ou fausse.

Fixons maintenant \(a\). L’expression

\[ x^2+(a-2)x+a \]

est un trinôme du second degré en \(x\), dont le coefficient dominant est \(1>0\).

Pour que \(P(a)\) soit vraie, ce trinôme doit être positif ou nul pour tout réel \(x\).

Un trinôme du second degré dont le coefficient dominant est strictement positif est positif ou nul sur \(\mathbb R\) si et seulement si son discriminant est inférieur ou égal à zéro.

Calculons son discriminant par rapport à \(x\) :

\[ \Delta_x = (a-2)^2-4a = a^2-8a+4. \]

La proposition \(P(a)\) est donc vraie si et seulement si :

\[ a^2-8a+4\le0. \]

La première étude portait sur le trinôme en \(x\). Nous devons maintenant étudier le signe d’un nouveau trinôme, cette fois de variable \(a\).

Le discriminant de \(a^2-8a+4\) est :

\[ \Delta_a = 64-16 = 48. \] Ses deux racines sont : \[ a_1=4-2\sqrt3, \qquad a_2=4+2\sqrt3. \]

Son coefficient dominant étant positif :

\[ a^2-8a+4\le0 \] si et seulement si \[ 4-2\sqrt3 \le a\le 4+2\sqrt3. \]

\[ \boxed{ P(a)\text{ est vraie} \iff a\in [\,4-2\sqrt3,\;4+2\sqrt3\,]. } \]

2

Écrire la négation de \(P(a)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Propriété du cours.

La négation de

\[ \forall x\in E,\quad R(x) \]

est

\[ \exists x\in E,\quad \neg R(x). \]

De plus, la négation de

\[ x^2+(a-2)x+a\ge0 \]

est

\[ x^2+(a-2)x+a<0. \]

\[ \boxed{ \neg P(a): \quad \exists x\in\mathbb R, \quad x^2+(a-2)x+a<0. } \]

3

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(\neg P(a)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Une proposition et sa négation ont des valeurs de vérité opposées.

D’après la question 1 :

\[ P(a) \text{ est vraie} \iff a\in [\,4-2\sqrt3,\;4+2\sqrt3\,]. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ \neg P(a) \text{ est vraie} \iff a<4-2\sqrt3 \text{ ou } a>4+2\sqrt3. } \]

4

Lorsque \(P(a)\) est fausse, donner explicitement un réel \(x\) tel que \[ x^2+(a-2)x+a<0. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour montrer concrètement qu’une proposition universelle est fausse, on peut exhiber un contre-exemple.

Lorsque \(P(a)\) est fausse :

\[ \Delta_x>0. \] Écrivons : \[ x^2+(a-2)x+a = \left( x+\frac{a-2}{2} \right)^2 - \frac{\Delta_x}{4}. \]

Choisissons :

\[ x_0 = \frac{2-a}{2}. \]

Le carré s’annule et :

\[ x_0^2+(a-2)x_0+a = -\frac{\Delta_x}{4} <0. \]

\[ \boxed{ x=\frac{2-a}{2} } \] est un contre-exemple explicite.

Exercice 2

Soit \(a\in\mathbb R\). On considère :

\[ P(a): \quad \forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R, \quad y^2=x^2+a, \] et \[ Q(a): \quad \exists y\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R, \quad y^2=x^2+a. \]

1

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(P(a)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Lecture des quantificateurs.

Dans \(P(a)\), le quantificateur \(\forall x\) vient avant \(\exists y\). Cela signifie que, pour chaque valeur de \(x\), on est autorisé à choisir une valeur de \(y\) adaptée à ce \(x\).

Pour \(x\) fixé, l’équation

\[ y^2=x^2+a \]

admet une solution réelle si et seulement si :

\[ x^2+a\ge0. \]

Cette condition doit être satisfaite pour tout \(x\). Or la plus petite valeur de \(x^2\) est \(0\), obtenue pour \(x=0\).

Il faut donc et il suffit que :

\[ a\ge0. \]

\[ \boxed{ P(a)\text{ est vraie} \iff a\ge0. } \]

2

Lorsque \(P(a)\) est fausse, construire un réel \(x\) pour lequel aucun réel \(y\) ne convient.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Si \(P(a)\) est fausse, alors \(a<0\).

Pour réfuter la proposition universelle, choisissons :

\[ x=0. \] L’équation devient : \[ y^2=a. \]

Comme \(a<0\), aucun réel \(y\) ne convient.

\[ \boxed{x=0} \] est le contre-exemple recherché.

3

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(Q(a)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

L’ordre des quantificateurs change le sens.

Dans \(Q(a)\), on doit d’abord choisir un seul réel \(y\). Ce même \(y\) doit ensuite convenir pour tous les réels \(x\).

Supposons qu’un tel \(y\) existe.

Pour \(x=0\) : \[ y^2=a. \] Pour \(x=1\) : \[ y^2=a+1. \] On aurait donc : \[ a=a+1, \] ce qui est impossible.

\[ \boxed{ Q(a)\text{ est fausse pour tout }a\in\mathbb R. } \]

4

Écrire les négations de \(P(a)\) et de \(Q(a)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

En niant une proposition quantifiée, chaque \(\forall\) devient \(\exists\), chaque \(\exists\) devient \(\forall\), puis on nie la propriété.

\[ \boxed{ \neg P(a): \quad \exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R, \quad y^2\ne x^2+a. } \] \[ \boxed{ \neg Q(a): \quad \forall y\in\mathbb R,\ \exists x\in\mathbb R, \quad y^2\ne x^2+a. } \]

5

Pour \(a\ge0\), donner un choix de \(y\) en fonction de \(x\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour \(a\ge0\), on a :

\[ x^2+a\ge0. \]

On peut donc choisir :

\[ \boxed{ y=\sqrt{x^2+a}. } \]

Ce choix montre bien que le réel \(y\) peut dépendre du réel \(x\), ce qui correspond exactement à l’ordre \(\forall x\,\exists y\).

Exercice 3

\[ T(x)=\frac{2x+3}{x+1}, \qquad x\ne-1. \]

1

Montrer que \[ x\in\mathbb Q \Rightarrow T(x)\in\mathbb Q. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Si \(x\in\mathbb Q\), alors \(2x+3\in\mathbb Q\) et \(x+1\in\mathbb Q^*\).

Le quotient de deux rationnels dont le dénominateur est non nul est rationnel.

\[ \boxed{ x\in\mathbb Q \Rightarrow T(x)\in\mathbb Q. } \]

2

Montrer la réciproque.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Supposons :

\[ T(x)=r, \qquad r\in\mathbb Q. \] Alors : \[ r=\frac{2x+3}{x+1}. \] Donc : \[ (r-2)x=3-r. \]

On ne peut pas avoir \(r=2\), car cela conduirait à \(3=2\).

Ainsi : \[ x=\frac{3-r}{r-2}. \] Comme \(r\in\mathbb Q\) :

\[ \boxed{x\in\mathbb Q.} \]

3

En déduire une équivalence.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour établir \(P\iff Q\), on démontre \(P\Rightarrow Q\) puis \(Q\Rightarrow P\).

\[ \boxed{ x\in\mathbb Q \iff T(x)\in\mathbb Q. } \]

4

Montrer que si \(x\) est irrationnel, alors \(T(x)\) est irrationnel.

Afficher la correction + Masquer la correction −

L’implication demandée est la contraposée de \[ T(x)\in\mathbb Q \Rightarrow x\in\mathbb Q. \]

\[ \boxed{ x\notin\mathbb Q \Rightarrow T(x)\notin\mathbb Q. } \]

5

Écrire la négation de l’implication universelle précédente.

Afficher la correction + Masquer la correction −

La négation de \(P\Rightarrow Q\) est \(P\land\neg Q\).

\[ \boxed{ \exists x\in\mathbb R\setminus\{-1\}, \quad x\notin\mathbb Q \text{ et } T(x)\in\mathbb Q. } \]

Exercice 4

Soient \(a,b\in\mathbb Z\).

1

Montrer que \(a^2+b^2\) est impair si et seulement si \(a\) et \(b\) sont de parités différentes.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par disjonction des cas.

Pour travailler sur la parité, on distingue naturellement les deux possibilités : un entier est pair ou impair. Le carré d’un entier a la même parité que cet entier.

Ainsi, \(a^2+b^2\) est impair exactement lorsqu’un des deux carrés est pair et l’autre impair.

\[ \boxed{ a^2+b^2\text{ impair} \iff a\text{ et }b\text{ sont de parités différentes}. } \]

2

En déduire que si \(a^2+b^2\) est pair, alors \(a\) et \(b\) ont la même parité.

Afficher la correction + Masquer la correction −

D’après la question précédente, si \(a\) et \(b\) avaient des parités différentes, alors \(a^2+b^2\) serait impair.

Donc, si \(a^2+b^2\) est pair, \(a\) et \(b\) ont nécessairement la même parité.

\[ \boxed{ a^2+b^2\text{ pair} \Rightarrow a\text{ et }b\text{ ont la même parité}. } \]

3

Montrer que si \(a\) et \(b\) sont impairs, alors \(a^2+b^2\) n’est pas divisible par \(4\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Le carré d’un entier impair laisse le reste \(1\) dans la division par \(4\).

Ainsi : \[ a^2\equiv1\,[4], \qquad b^2\equiv1\,[4]. \] Donc : \[ a^2+b^2\equiv2\,[4]. \]

\[ \boxed{ 4\nmid(a^2+b^2). } \]

4

Montrer que \[ 4\mid(a^2+b^2) \iff a\text{ et }b\text{ sont pairs}. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Structure de la démonstration.

Comme on doit établir une équivalence, il faut démontrer les deux implications.

Supposons d’abord :

\[ 4\mid(a^2+b^2). \]

Alors \(a^2+b^2\) est pair, donc \(a\) et \(b\) ont la même parité. Ils ne peuvent pas être tous les deux impairs d’après la question 3. Ils sont donc tous les deux pairs.

Réciproquement, si

\[ a=2p, \qquad b=2q, \] alors : \[ a^2+b^2 = 4(p^2+q^2). \] Donc : \[ 4\mid(a^2+b^2). \]

\[ \boxed{ 4\mid(a^2+b^2) \iff a\text{ et }b\text{ sont pairs}. } \]

Exercice 5

Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6. \]

1

Montrer que \(n(n+1)(2n+1)\) est divisible par \(2\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Les entiers \(n\) et \(n+1\) sont consécutifs. L’un des deux est donc pair.

\[ \boxed{ 2\mid n(n+1)(2n+1). } \]

2

Montrer que ce produit est divisible par \(3\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par disjonction des cas.

Tout entier donne l’un des trois restes \(0\), \(1\) ou \(2\) dans la division par \(3\). On étudie donc séparément ces trois cas.

Si \(n=3k\), le facteur \(n\) est divisible par \(3\).

Si \(n=3k+1\), alors :

\[ 2n+1=6k+3=3(2k+1). \]

Si \(n=3k+2\), alors :

\[ n+1=3(k+1). \]

Dans tous les cas, le produit possède un facteur divisible par \(3\).

\[ \boxed{ 3\mid n(n+1)(2n+1). } \]

3

En déduire que \(S_n\in\mathbb N\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Le produit est divisible par \(2\) et par \(3\). Comme \(2\) et \(3\) sont premiers entre eux, il est divisible par \(6\).

\[ \boxed{ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}6 \in\mathbb N. } \]

4

Montrer que \[ S_{n+1}-S_n=(n+1)^2. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

On calcule directement la différence entre deux termes consécutifs :

\[ \begin{aligned} S_{n+1}-S_n &= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3) - n(n+1)(2n+1)}6\\ &= \frac{n+1}{6} \left[ (n+2)(2n+3)-n(2n+1) \right]. \end{aligned} \] Or : \[ (n+2)(2n+3)-n(2n+1) = 6(n+1). \]

\[ \boxed{ S_{n+1}-S_n=(n+1)^2. } \]

5

En déduire par récurrence que \[ 1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par récurrence.

Une démonstration par récurrence comporte une initialisation, une hypothèse de récurrence, l’hérédité, puis la conclusion.

Pour \(n=1\) :

\[ 1^2 = 1 = \frac{1\times2\times3}{6}. \]

La propriété est vraie au rang \(1\).

Supposons maintenant :

\[ 1^2+\cdots+n^2=S_n. \] Alors : \[ 1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2 = S_n+(n+1)^2. \]

Or, d’après la question précédente :

\[ S_n+(n+1)^2 = S_{n+1}. \]

La propriété est donc héréditaire.

\[ \boxed{ 1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. } \]

Exercice 6

Soient \(A,B,C\) trois parties d’un ensemble \(E\).

1

Traduire \(A\subseteq B\cap C\) à l’aide d’un quantificateur et d’une implication.

Afficher la correction + Masquer la correction −

L’inclusion \(A\subseteq D\) signifie que tout élément de \(A\) appartient à \(D\).

\[ \boxed{ A\subseteq B\cap C \iff \forall x\in E, \quad x\in A \Rightarrow (x\in B\land x\in C). } \]

2

Montrer que \[ A\subseteq B\cap C \iff (A\subseteq B\text{ et }A\subseteq C). \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Dire que \(x\in B\cap C\) signifie simultanément :

\[ x\in B \quad\text{et}\quad x\in C. \]

L’inclusion précédente revient donc à exiger que tout élément de \(A\) appartienne à \(B\) et à \(C\).

\[ \boxed{ A\subseteq B\cap C \iff (A\subseteq B\text{ et }A\subseteq C). } \]

3

Montrer que \[ B\cup C\subseteq A \iff (B\subseteq A\text{ et }C\subseteq A). \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Si \(B\cup C\subseteq A\), alors tout élément de \(B\) et tout élément de \(C\) appartient à \(A\). Donc :

\[ B\subseteq A \qquad\text{et}\qquad C\subseteq A. \]

Réciproquement, si ces deux inclusions sont vraies, tout élément de \(B\cup C\) appartient à \(A\).

\[ \boxed{ B\cup C\subseteq A \iff (B\subseteq A\text{ et }C\subseteq A). } \]

4

Montrer que \[ A\subseteq B\cap C \iff \overline B\cup\overline C \subseteq \overline A. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Le passage au complémentaire inverse l’inclusion :

\[ A\subseteq B\cap C \iff \overline{B\cap C}\subseteq\overline A. \]

Puis :

\[ \overline{B\cap C} = \overline B\cup\overline C. \]

\[ \boxed{ A\subseteq B\cap C \iff \overline B\cup\overline C \subseteq \overline A. } \]

5

Écrire la négation de \(A\subseteq B\cap C\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour nier l’inclusion, on nie la proposition universelle qui la définit. Il suffit donc qu’il existe un élément de \(A\) qui ne soit pas dans \(B\cap C\).

\[ \boxed{ A\nsubseteq B\cap C \iff A\cap (\overline B\cup\overline C) \ne\varnothing. } \]

Exercice 7

Soient \(x,y\in\mathbb R\).

1

Montrer que \[ (x+y)^2\le2(x^2+y^2). \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

On utilise la positivité d’un carré :

\[ (x-y)^2\ge0. \] Ainsi : \[ x^2-2xy+y^2\ge0, \] donc : \[ 2xy\le x^2+y^2. \] En ajoutant \(x^2+y^2\) :

\[ \boxed{ (x+y)^2\le2(x^2+y^2). } \]

2

En déduire que \[ x+y=2 \Rightarrow x^2+y^2\ge2. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Sous l’hypothèse \(x+y=2\) :

\[ (x+y)^2=4. \] Donc : \[ 4\le2(x^2+y^2). \]

\[ \boxed{x^2+y^2\ge2.} \]

3

Déterminer le cas d’égalité.

Afficher la correction + Masquer la correction −

L’égalité a lieu lorsque le carré utilisé au départ s’annule :

\[ (x-y)^2=0. \] Donc : \[ x=y. \] Avec \(x+y=2\) :

\[ \boxed{x=y=1.} \]

4

La réciproque est-elle vraie ?

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour montrer qu’une proposition universelle est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Prenons : \[ x=\sqrt2, \qquad y=0. \] Alors : \[ x^2+y^2=2, \] mais : \[ x+y=\sqrt2\ne2. \]

La réciproque est fausse.

5

Écrire la contraposée.

Afficher la correction + Masquer la correction −

La contraposée de \(P\Rightarrow Q\) est \(\neg Q\Rightarrow\neg P\).

\[ \boxed{ x^2+y^2<2 \Rightarrow x+y\ne2. } \]

6

Montrer que \[ x^2+y^2<2 \Rightarrow |x+y|<2. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

La première question fournit une information plus précise que la simple contraposée :

\[ (x+y)^2 \le 2(x^2+y^2). \] Si : \[ x^2+y^2<2, \] alors : \[ (x+y)^2<4. \]

\[ \boxed{|x+y|<2.} \]

Exercice 8

On travaille dans \(\mathbb Z\).

1

Montrer que \[ 3\nmid n \Rightarrow 3\nmid n^2. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par disjonction des cas.

Un entier est de l’une des formes \(3k\), \(3k+1\) ou \(3k+2\). Sous l’hypothèse \(3\nmid n\), il reste donc seulement les deux derniers cas.

Si :

\[ n=3k+1, \] alors : \[ n^2 = 3(3k^2+2k)+1. \]

Si :

\[ n=3k+2, \] alors : \[ n^2 = 3(3k^2+4k+1)+1. \]

Dans les deux cas, \(n^2\) n’est pas divisible par \(3\).

\[ \boxed{ 3\nmid n \Rightarrow 3\nmid n^2. } \]

2

En déduire \[ 3\mid n^2 \Rightarrow 3\mid n. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

La proposition demandée est exactement la contraposée de l’implication démontrée à la question précédente.

\[ \boxed{ 3\mid n^2 \Rightarrow 3\mid n. } \]

3

Montrer que \[ 3\mid(a^2+b^2) \Rightarrow (3\mid a\text{ et }3\mid b). \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Un carré entier laisse dans la division par \(3\) le reste \(0\) ou \(1\).

Si :

\[ a^2+b^2\equiv0\,[3], \]

la seule possibilité est :

\[ a^2\equiv0\,[3], \qquad b^2\equiv0\,[3]. \]

La question précédente permet alors de revenir des carrés aux entiers eux-mêmes :

\[ \boxed{ 3\mid a \text{ et } 3\mid b. } \]

4

Montrer la réciproque.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Supposons :

\[ 3\mid a \qquad\text{et}\qquad 3\mid b. \]

Il existe \(p,q\in\mathbb Z\) tels que :

\[ a=3p, \qquad b=3q. \] Alors : \[ a^2+b^2=9(p^2+q^2). \]

\[ \boxed{ 3\mid(a^2+b^2). } \]

5

En déduire une équivalence.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Les deux implications ayant été démontrées, on peut conclure par une équivalence.

\[ \boxed{ 3\mid(a^2+b^2) \iff (3\mid a\text{ et }3\mid b). } \]

Exercice 9

\[ f(x)=x^2-2x+3. \]

1

Montrer que \[ f(x)=(x-1)^2+2. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ f(x) = x^2-2x+1+2. \]

\[ \boxed{ f(x)=(x-1)^2+2. } \]

2

En déduire que \[ \forall x\in\mathbb R,\quad f(x)\ge2. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Lecture logique.

On doit démontrer une proposition universelle : l’inégalité doit être vraie pour tout réel \(x\). La forme obtenue à la question précédente rend cette vérification immédiate grâce à la positivité d’un carré.

Pour tout réel \(x\) : \[ (x-1)^2\ge0. \] Donc : \[ f(x)=(x-1)^2+2\ge2. \]

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R,\quad f(x)\ge2. } \]

3

Montrer que \[ \forall y\ge2,\quad \exists x\in\mathbb R,\quad f(x)=y. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour démontrer une proposition de la forme \(\forall y\,\exists x\), on fixe d’abord \(y\), puis on construit un \(x\) qui convient.

Soit donc \(y\ge2\).

On cherche : \[ (x-1)^2+2=y. \] Donc : \[ (x-1)^2=y-2. \]

Comme \(y-2\ge0\), on peut choisir :

\[ x=1+\sqrt{y-2}. \]

\[ \boxed{ \forall y\ge2,\quad \exists x\in\mathbb R,\quad f(x)=y. } \]

4

Étudier \[ \forall y\in\mathbb R,\quad \exists x\in\mathbb R,\quad f(x)=y. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour montrer qu’une proposition universelle est fausse, il suffit de trouver une valeur pour laquelle la propriété échoue.

On sait que :

\[ f(x)\ge2 \]

pour tout réel \(x\).

Prenons \(y=0\). Il n’existe aucun réel \(x\) tel que \(f(x)=0\).

La proposition est fausse.

5

Écrire la négation de la proposition précédente.

Afficher la correction + Masquer la correction −

La négation de \[ \forall y\,\exists x,\ R(x,y) \] est \[ \exists y\,\forall x,\ \neg R(x,y). \]

\[ \boxed{ \exists y\in\mathbb R,\quad \forall x\in\mathbb R,\quad f(x)\ne y. } \]

Le choix \(y=0\) vérifie cette proposition.

Exercice 10

\[ P(a): \quad \forall x\in\mathbb R,\quad |x-a|\le2 \Rightarrow |x|\le5. \]

1

Traduire l’implication par une inclusion d’intervalles.

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ |x-a|\le2 \iff x\in[a-2,a+2]. \] Et : \[ |x|\le5 \iff x\in[-5,5]. \]

La proposition affirme que tout élément du premier intervalle appartient au second : elle exprime donc une inclusion.

\[ \boxed{ P(a) \iff [a-2,a+2]\subseteq[-5,5]. } \]

2

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(P(a)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour avoir :

\[ [a-2,a+2]\subseteq[-5,5], \] il faut et il suffit que : \[ a-2\ge-5 \] et \[ a+2\le5. \] Donc :

\[ \boxed{ P(a)\text{ vraie} \iff -3\le a\le3. } \]

3

Écrire la négation de \(P(a)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

La négation de \(P\Rightarrow Q\) est \(P\land\neg Q\).

\[ \boxed{ \neg P(a): \quad \exists x\in\mathbb R,\quad |x-a|\le2 \text{ et } |x|>5. } \]

4

Construire un contre-exemple lorsque \(P(a)\) est fausse.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Si \(a>3\), choisissons l’extrémité droite :

\[ x=a+2. \] Alors : \[ |x-a|=2, \qquad |x|>5. \]

Si \(a<-3\), choisissons l’extrémité gauche :

\[ x=a-2. \] Alors : \[ |x-a|=2, \qquad |x|>5. \]

\[ \boxed{ a>3:\ x=a+2 \qquad;\qquad a<-3:\ x=a-2. } \]

Exercice 11

\[ P(a): \quad \forall x\in\mathbb R,\quad x\ge1 \Rightarrow x^2+a(x+1)\ge0. \]

1

Écrire la négation de \(P(a)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

On nie d’abord le quantificateur universel, puis l’implication.

\[ \boxed{ \neg P(a): \quad \exists x\in\mathbb R,\quad x\ge1 \text{ et } x^2+a(x+1)<0. } \]

2

Montrer que, pour \(x\ge1\), \[ \frac{x^2}{x+1}\ge\frac12. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\ge1\), \(x+1>0\). Calculons la différence :

\[ \frac{x^2}{x+1} - \frac12 = \frac{(2x+1)(x-1)} {2(x+1)}. \]

Tous les facteurs ont alors le signe nécessaire pour obtenir :

\[ \boxed{ \frac{x^2}{x+1}\ge\frac12. } \]

3

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(P(a)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\ge1\) :

\[ x^2+a(x+1)\ge0 \] équivaut à : \[ a\ge-\frac{x^2}{x+1}. \]

La question précédente donne :

\[ -\frac{x^2}{x+1} \le -\frac12. \]

La valeur la plus contraignante est atteinte pour \(x=1\).

\[ \boxed{ P(a)\text{ vraie} \iff a\ge-\frac12. } \]

4

Donner un contre-exemple lorsque \(P(a)\) est fausse.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Si :

\[ a<-\frac12, \] prenons : \[ x=1. \] Alors : \[ 1+2a<0. \]

\[ \boxed{x=1} \] est un contre-exemple.

5

On considère \[ Q(a): \quad \forall x\in\mathbb R,\quad x^2+a(x+1)\ge0 \Rightarrow x\ge1. \] Étudier \(Q(a)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour rendre une implication universelle fausse, il suffit de trouver une valeur pour laquelle l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse.

Prenons :

\[ x=-1. \] Alors : \[ x^2+a(x+1) = 1\ge0, \] mais : \[ -1\ge1 \] est faux.

\[ \boxed{ Q(a)\text{ est fausse pour tout }a\in\mathbb R. } \]

6

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(P(a)\Longleftrightarrow Q(a)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Une équivalence est vraie lorsque les deux propositions ont la même valeur de vérité.

Comme \(Q(a)\) est toujours fausse, l’équivalence est vraie lorsque \(P(a)\) est également fausse.

\[ \boxed{ P(a)\Longleftrightarrow Q(a) \text{ vraie} \iff a<-\frac12. } \]

Exercice 12

\[ P(x): \quad x^2-5x+6\le0, \] et \[ Q(x): \quad |x-1|\ge2. \]

1

Déterminer l’ensemble de vérité de \(P(x)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

On factorise :

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Le trinôme est négatif ou nul entre ses deux racines.

\[ \boxed{ P(x) \iff x\in[2,3]. } \]

2

Déterminer l’ensemble de vérité de \(Q(x)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ |x-1|\ge2 \] équivaut à : \[ x\le-1 \quad\text{ou}\quad x\ge3. \]

\[ \boxed{ Q(x) \iff x\in]-\infty,-1]\cup[3,+\infty[. } \]

3

Déterminer l’ensemble de vérité de \(P(x)\land Q(x)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Une conjonction est vraie lorsque les deux propositions sont vraies simultanément : on prend donc l’intersection des ensembles de vérité.

\[ \boxed{ P(x)\land Q(x) \iff x=3. } \]

4

Déterminer l’ensemble de vérité de \(P(x)\lor Q(x)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Une disjonction est vraie lorsqu’au moins une des deux propositions est vraie : on prend l’union des ensembles de vérité.

\[ \boxed{ P(x)\lor Q(x) \iff x\in]-\infty,-1]\cup[2,+\infty[. } \]

5

Étudier \(P(x)\Rightarrow Q(x)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Une implication est fausse uniquement lorsque l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse.

Cela se produit pour :

\[ x\in[2,3[. \]

\[ \boxed{ P(x)\Rightarrow Q(x) \iff x\in]-\infty,2[\cup[3,+\infty[. } \]

6

Étudier \(Q(x)\Rightarrow P(x)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Cette implication est fausse lorsque \(Q(x)\) est vraie et \(P(x)\) est fausse.

\[ \boxed{ Q(x)\Rightarrow P(x) \iff x\in]-1,3]. } \]

7

Étudier \(P(x)\Longleftrightarrow Q(x)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Une équivalence est vraie lorsque les deux propositions ont la même valeur de vérité.

Elles sont toutes les deux vraies pour \(x=3\).

Elles sont toutes les deux fausses pour :

\[ x\in]-1,2[. \]

\[ \boxed{ P(x)\Longleftrightarrow Q(x) \iff x\in]-1,2[\cup\{3\}. } \]

Exercice 13

On souhaite démontrer :

\[ 3^n>n^2 \]

pour tout entier \(n\ge1\).

1

Vérifier la propriété pour \(n=1\) et \(n=2\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Dans un raisonnement par récurrence, on commence par vérifier la propriété au rang de départ. Ici, on vérifie séparément \(n=1\) et \(n=2\), car l’étape d’hérédité sera utilisée à partir de \(n\ge2\).

\[ 3^1=3>1=1^2, \] et \[ 3^2=9>4=2^2. \]

2

Montrer que, pour tout \(n\ge2\), \[ 3n^2>(n+1)^2. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour comparer les deux membres, étudions leur différence :

\[ 3n^2-(n+1)^2 = 2n(n-1)-1. \]

Pour \(n\ge2\) :

\[ n(n-1)\ge2. \] Donc : \[ 2n(n-1)-1>0. \]

\[ \boxed{ 3n^2>(n+1)^2. } \]

3

Supposons, pour un certain entier \(n\ge2\), que \[ 3^n>n^2. \] Montrer que \[ 3^{n+1}>(n+1)^2. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Étape d’hérédité.

On suppose la propriété vraie au rang \(n\), puis on cherche à la démontrer au rang \(n+1\).

À partir de : \[ 3^n>n^2, \] on obtient, en multipliant par \(3>0\) : \[ 3^{n+1}>3n^2. \] Or la question précédente donne : \[ 3n^2>(n+1)^2. \] Par transitivité :

\[ \boxed{ 3^{n+1}>(n+1)^2. } \]

4

Conclure par récurrence.

Afficher la correction + Masquer la correction −

La propriété est vérifiée pour \(n=1\) et \(n=2\), et elle est héréditaire à partir du rang \(2\).

\[ \boxed{ \forall n\in\mathbb N^*, \quad 3^n>n^2. } \]

5

En déduire qu’il n’existe aucun \(n\in\mathbb N^*\) tel que \(3^n=n^2\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

On vient de montrer que l’inégalité est stricte pour tout entier positif \(n\). L’égalité est donc impossible.

\[ \boxed{ \nexists n\in\mathbb N^*, \quad 3^n=n^2. } \]

Exercice 14

\[ A_n=2^{2n+1}+1. \]

1

Vérifier que \(A_0\) est divisible par \(3\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ A_0 = 2^1+1 = 3. \]

\[ \boxed{ 3\mid A_0. } \]

2

Montrer que \[ A_{n+1}=4A_n-3. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

On cherche une relation reliant deux termes consécutifs.

\[ A_{n+1} = 2^{2n+3}+1 = 4\cdot2^{2n+1}+1. \] Or : \[ 2^{2n+1} = A_n-1. \] Donc :

\[ \boxed{ A_{n+1}=4A_n-3. } \]

3

En déduire par récurrence que \(3\mid A_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par récurrence.

L’initialisation a déjà été faite avec \(A_0=3\). Il reste à établir l’hérédité.

Supposons :

\[ 3\mid A_n. \] Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que : \[ A_n=3k. \] Grâce à la relation précédente : \[ A_{n+1} = 4A_n-3 = 12k-3 = 3(4k-1). \] Donc : \[ 3\mid A_{n+1}. \]

\[ \boxed{ 3\mid A_n \quad \forall n\in\mathbb N. } \]

4

Montrer que \(A_n\) est toujours impair.

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ 2^{2n+1} \] est pair. Par conséquent : \[ A_n=2^{2n+1}+1 \] est impair.

\[ \boxed{ A_n\text{ est impair}. } \]

5

En déduire que \(\dfrac{A_n}{3}\) est impair.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par l’absurde.

On sait déjà que \(A_n\) est divisible par \(3\). Supposons que le quotient \(A_n/3\) soit pair et cherchons la contradiction.

Écrivons : \[ A_n=3q. \] Si \(q\) était pair, alors \(3q=A_n\) serait pair. Or \(A_n\) est impair. Cette contradiction montre que \(q\) est impair.

\[ \boxed{ \frac{A_n}{3} \text{ est impair}. } \]

6

Montrer que \(A_n\) n’est jamais divisible par \(6\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Un entier divisible par \(6\) est notamment divisible par \(2\). Or \(A_n\) est impair.

\[ \boxed{ 6\nmid A_n \quad \forall n\in\mathbb N. } \]

Exercice 15

\[ (E_m): \qquad |x-2|+|x+2|=m. \]

1

Écrire le membre de gauche sans valeur absolue.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par disjonction des cas.

Le signe de \(x-2\) change en \(2\), et celui de \(x+2\) change en \(-2\). On doit donc distinguer les trois intervalles déterminés par \(-2\) et \(2\).

\[ |x-2|+|x+2| = \begin{cases} -2x,&x\le-2,\\ 4,&-2\le x\le2,\\ 2x,&x\ge2. \end{cases} \]

2

Montrer que l’équation n’a aucune solution lorsque \(m<4\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

L’étude par cas montre que, pour tout réel \(x\) :

\[ |x-2|+|x+2|\ge4. \]

Le membre de gauche ne peut donc jamais prendre une valeur strictement inférieure à \(4\).

\[ \boxed{ m<4 \Rightarrow S=\varnothing. } \]

3

Résoudre lorsque \(m=4\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Sur l’intervalle \([-2,2]\), le membre de gauche vaut exactement \(4\).

\[ \boxed{ S=[-2,2]. } \]

4

Résoudre lorsque \(m>4\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\le-2\), l’équation devient :

\[ -2x=m, \] donc : \[ x=-\frac m2. \]

Pour \(x\ge2\), elle devient :

\[ 2x=m, \] donc : \[ x=\frac m2. \]

Comme \(m>4\), les deux solutions vérifient bien les conditions des cas correspondants.

\[ \boxed{ S= \left\{ -\frac m2,\frac m2 \right\}. } \]

5

Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \[ \exists x\in\mathbb R,\quad |x-2|+|x+2|=m. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

La proposition est existentielle : elle est vraie lorsqu’il existe au moins une solution à l’équation. Les trois cas étudiés précédemment permettent donc de décider directement sa valeur de vérité.

\[ \boxed{ \exists x\in\mathbb R,\quad |x-2|+|x+2|=m \iff m\ge4. } \]

6

Écrire la négation de cette proposition.

Afficher la correction + Masquer la correction −

La négation de \[ \exists x,\ R(x) \] est \[ \forall x,\ \neg R(x). \]

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R,\quad |x-2|+|x+2|\ne m. } \]

Cette proposition est vraie exactement lorsque \(m<4\).

Exercice 16

On cherche les réels \(x>0\) vérifiant :

\[ x+\frac4x=m. \]

1

Montrer que \[ x+\frac4x\ge4. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

On utilise la positivité d’un carré :

\[ (x-2)^2\ge0. \] Donc : \[ x^2-4x+4\ge0. \] Comme \(x>0\), on peut diviser par \(x\) :

\[ \boxed{ x+\frac4x\ge4. } \]

2

Déterminer le cas d’égalité.

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ (x-2)^2=0 \iff x=2. \]

\[ \boxed{x=2.} \]

3

En déduire le cas \(m<4\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Le membre de gauche est toujours supérieur ou égal à \(4\).

\[ \boxed{ m<4 \Rightarrow \text{aucune solution positive}. } \]

4

Ramener l’équation à une équation du second degré.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Comme \(x>0\), on a \(x\ne0\), donc on peut multiplier par \(x\).

\[ x+\frac4x=m \iff x^2-mx+4=0. \] Le discriminant vaut : \[ \Delta=m^2-16. \]

5

Discuter le nombre de solutions positives.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Rappel — somme et produit des racines. Pour : \[ ux^2+vx+w=0, \qquad u\ne0, \] si \(x_1,x_2\) sont les deux racines : \[ x_1+x_2=-\frac vu, \qquad x_1x_2=\frac wu. \]

Si \(m=4\), le discriminant est nul et l’unique solution est :

\[ x=2. \]

Si \(m>4\), le discriminant est positif. Les deux racines vérifient :

\[ x_1+x_2=m>0, \qquad x_1x_2=4>0. \]

Le produit étant positif, elles ont le même signe. La somme étant positive, elles sont toutes les deux positives.

\[ \boxed{ \begin{cases} m<4 &: 0\text{ solution positive},\\ m=4 &: 1\text{ solution positive},\\ m>4 &: 2\text{ solutions positives}. \end{cases} } \]

6

Traduire le résultat à l’aide du quantificateur existentiel.

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ \boxed{ \exists x>0,\quad x+\frac4x=m \iff m\ge4. } \]

Exercice 17

Soient \(a,b>0\).

1

Montrer que \[ (a+b)^2\ge4ab. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

On utilise une quantité dont le signe est connu :

\[ (a-b)^2\ge0. \] Donc : \[ a^2-2ab+b^2\ge0. \] Ainsi :

\[ \boxed{ (a+b)^2\ge4ab. } \]

2

Montrer que \[ a+b\le1 \Rightarrow ab\le\frac14. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

La question demande de démontrer une implication. On part donc de l’hypothèse \(a+b\le1\) et on cherche à obtenir la conclusion sur le produit \(ab\).

Comme \(a,b>0\) : \[ 0<a+b\le1. \] Donc : \[ (a+b)^2\le1. \] Or : \[ 4ab\le(a+b)^2. \] Ainsi : \[ 4ab\le1. \]

\[ \boxed{ ab\le\frac14. } \]

3

Écrire la contraposée.

Afficher la correction + Masquer la correction −

La contraposée de \(P\Rightarrow Q\) est \(\neg Q\Rightarrow\neg P\).

La négation de \(ab\le\frac14\) est \(ab>\frac14\).

La négation de \(a+b\le1\) est \(a+b>1\).

\[ \boxed{ ab>\frac14 \Rightarrow a+b>1. } \]

4

La réciproque de la question 2 est-elle vraie ?

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour montrer que la réciproque est fausse, un contre-exemple suffit.

La réciproque serait :

\[ ab\le\frac14 \Rightarrow a+b\le1. \] Prenons : \[ a=1, \qquad b=\frac15. \] Alors : \[ ab=\frac15\le\frac14, \] mais : \[ a+b=\frac65>1. \]

La réciproque est fausse.

5

Déterminer les conditions d’égalité lorsque \[ a+b=1 \qquad\text{et}\qquad ab=\frac14. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

On revient à l’identité utilisée dans la première question :

\[ (a-b)^2 = (a+b)^2-4ab. \] Donc : \[ (a-b)^2 = 1-1 = 0. \] Ainsi : \[ a=b. \] Comme \(a+b=1\) :

\[ \boxed{ a=b=\frac12. } \]

Exercice 18

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=\frac{x}{1+|x|}. \]

1

Montrer que \[ \forall x\in\mathbb R,\quad |f(x)|<1. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

La proposition est universelle : il faut établir l’inégalité pour un réel \(x\) quelconque.

\[ |f(x)| = \frac{|x|}{1+|x|}. \] Or : \[ |x|<1+|x|. \] Le dénominateur est strictement positif, donc :

\[ \boxed{ |f(x)|<1 \qquad \forall x\in\mathbb R. } \]

2

Pour \(y\in]-1,1[\), résoudre \(f(x)=y\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par disjonction des cas.

Le dénominateur \(1+|x|\) est positif, donc \(f(x)\) et \(x\) ont le même signe. Le signe de \(y\) permet donc de déterminer le signe de \(x\) et de supprimer la valeur absolue.

Si \(y\ge0\), alors \(x\ge0\), donc :

\[ \frac{x}{1+x}=y. \] Ainsi : \[ x=\frac{y}{1-y}. \]

Si \(y<0\), alors \(x<0\), donc :

\[ \frac{x}{1-x}=y. \] Ainsi : \[ x=\frac{y}{1+y}. \]

\[ \boxed{ x= \begin{cases} \dfrac{y}{1-y}, & y\ge0,\\[3mm] \dfrac{y}{1+y}, & y<0. \end{cases} } \]

3

Montrer que tout \(y\in]-1,1[\) possède un unique antécédent.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Dans chacun des deux cas étudiés à la question précédente, l’équation fournit une seule valeur possible de \(x\).

Tout \(y\in]-1,1[\) possède donc un unique antécédent.

4

En déduire que \[ f(x)=f(t)\Rightarrow x=t. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Supposons :

\[ f(x)=f(t)=y. \]

Alors \(x\) et \(t\) sont deux antécédents de la même valeur \(y\). Or la question précédente montre que cet antécédent est unique.

\[ \boxed{x=t.} \]

5

Écrire la négation de \[ \forall x,t\in\mathbb R,\quad f(x)=f(t)\Rightarrow x=t. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

On nie d’abord les quantificateurs universels, puis l’implication. La négation de \(P\Rightarrow Q\) est \(P\land\neg Q\).

\[ \boxed{ \exists x,t\in\mathbb R,\quad f(x)=f(t) \text{ et } x\ne t. } \]

Cette proposition est fausse, d’après la question précédente.

6

Étudier \[ \forall y\in\mathbb R,\quad \exists x\in\mathbb R,\quad f(x)=y. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour réfuter cette proposition universelle, il suffit de trouver une valeur de \(y\) qui ne possède aucun antécédent.

Or :

\[ |f(x)|<1 \]

pour tout réel \(x\). La valeur \(y=1\) ne peut donc jamais être obtenue.

La proposition est fausse. Sa négation est :

\[ \boxed{ \exists y\in\mathbb R,\quad \forall x\in\mathbb R,\quad f(x)\ne y. } \]

Le choix \(y=1\) convient.

Exercice 19

Soient \(A,B\) deux parties d’un ensemble \(E\).

1

Montrer que \[ x\in A\Rightarrow x\in B \] est équivalente à \[ x\notin A\text{ ou }x\in B. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Le cours donne : \[ P\Rightarrow Q \iff \neg P\lor Q. \]

\[ \boxed{ x\in A\Rightarrow x\in B \iff x\notin A\text{ ou }x\in B. } \]

2

En déduire que \[ A\subseteq B \iff \overline A\cup B=E. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ A\subseteq B \] signifie : \[ \forall x\in E,\quad x\in A\Rightarrow x\in B. \] D’après la question précédente : \[ x\notin A \text{ ou } x\in B. \] Donc tout élément de \(E\) appartient à \(\overline A\cup B\).

\[ \boxed{ A\subseteq B \iff \overline A\cup B=E. } \]

3

Montrer que \[ A\nsubseteq B \iff A\cap\overline B\ne\varnothing. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

Nier \(A\subseteq B\) revient à nier : « tout élément de \(A\) appartient à \(B\) ». On obtient donc : « il existe un élément de \(A\) qui n’appartient pas à \(B\) ».

\[ \boxed{ A\nsubseteq B \iff A\cap\overline B\ne\varnothing. } \]

4

En déduire que \[ A\subseteq B \iff A\cap\overline B=\varnothing. \]

Afficher la correction + Masquer la correction −

On prend la négation de l’équivalence précédente.

\[ \boxed{ A\subseteq B \iff A\cap\overline B=\varnothing. } \]

Exercice 20

\[ (E_m): \quad x^2+2x+m=0. \]

On considère :

\[ P(m): \quad \exists x>0 \text{ solution de }(E_m), \] et \[ Q(m): \quad \exists x<0 \text{ solution de }(E_m). \]

1

Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(P(m)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

L’équation est du second degré. Son discriminant est :

\[ \Delta = 4(1-m). \]

Elle possède des racines réelles si \(m\le1\).

Lorsque les racines \(x_1,x_2\) existent :

\[ x_1+x_2=-2, \qquad x_1x_2=m. \]

La somme des racines est négative. Ainsi, s’il existe une racine positive, l’autre est nécessairement négative.

Le produit est donc négatif :

\[ m<0. \]

Réciproquement, si \(m<0\), les deux racines sont de signes contraires : il existe donc une racine positive.

\[ \boxed{ P(m) \iff m<0. } \]

2

Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(Q(m)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour avoir des racines réelles :

\[ m\le1. \]

Dans ce cas :

\[ x_1+x_2=-2<0. \]

Les deux racines ne peuvent donc pas être toutes les deux positives ou nulles. Il existe au moins une racine strictement négative.

\[ \boxed{ Q(m) \iff m\le1. } \]

3

Écrire les négations de \(P(m)\) et de \(Q(m)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

La négation d’une proposition existentielle est une proposition universelle.

\[ \boxed{ \neg P(m): \quad \forall x>0,\quad x^2+2x+m\ne0. } \] \[ \boxed{ \neg Q(m): \quad \forall x<0,\quad x^2+2x+m\ne0. } \] De plus : \[ \neg P(m) \iff m\ge0, \] et : \[ \neg Q(m) \iff m>1. \]

4

Étudier \(P(m)\Rightarrow Q(m)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Si \(P(m)\) est vraie, alors \(m<0\). Donc \(m\le1\), et par conséquent \(Q(m)\) est vraie.

\[ \boxed{ P(m)\Rightarrow Q(m) \text{ est vraie pour tout }m\in\mathbb R. } \]

5

Étudier la réciproque \(Q(m)\Rightarrow P(m)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

L’implication est fausse lorsque \(Q(m)\) est vraie et \(P(m)\) est fausse.

Cela correspond à : \[ m\le1 \] et \[ m\ge0. \] Donc elle est fausse pour : \[ 0\le m\le1. \]

\[ \boxed{ Q(m)\Rightarrow P(m) \text{ vraie} \iff m<0 \text{ ou } m>1. } \]

6

Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles l’équation possède une racine positive et une racine négative.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Deux racines réelles sont de signes opposés exactement lorsque leur produit est négatif.

Or : \[ x_1x_2=m. \]

\[ \boxed{ \text{une racine positive et une racine négative} \iff m<0. } \]

Exercice 21

Soit \(k\in\mathbb Z\).

1

Montrer que \[ 3\mid(n^3-n) \] pour tout entier \(n\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

On factorise :

\[ n^3-n = n(n-1)(n+1). \]

Ces trois facteurs sont trois entiers consécutifs. L’un d’eux est nécessairement divisible par \(3\).

\[ \boxed{ 3\mid(n^3-n) \quad \forall n\in\mathbb Z. } \]

2

On considère \[ P(k): \quad \forall n\in\mathbb Z,\quad 3\mid(n^3-kn). \] Déterminer une condition nécessaire sur \(k\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Une proposition universelle doit notamment être vraie pour toute valeur particulière autorisée de la variable. Une valeur bien choisie peut donc fournir une condition nécessaire.

Prenons : \[ n=1. \] Il faut alors : \[ 3\mid(1-k). \] Donc : \[ k\equiv1\,[3]. \]

\[ \boxed{ k=3q+1, \qquad q\in\mathbb Z. } \]

3

Montrer que cette condition est suffisante.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Supposons :

\[ k=3q+1. \] Alors : \[ n^3-kn = (n^3-n)-3qn. \]

Le premier terme est divisible par \(3\) d’après la question 1, et le second l’est également.

\[ \boxed{ 3\mid(n^3-kn) \quad \forall n\in\mathbb Z. } \]

4

Déterminer tous les entiers \(k\) pour lesquels \(P(k)\) est vraie.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Nous avons démontré que la condition est nécessaire puis suffisante : on obtient donc une équivalence.

\[ \boxed{ P(k)\text{ vraie} \iff k=3q+1, \quad q\in\mathbb Z. } \]

5

Écrire la négation de \(P(k)\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ \boxed{ \neg P(k): \quad \exists n\in\mathbb Z,\quad 3\nmid(n^3-kn). } \]

6

Lorsque \(P(k)\) est fausse, donner un contre-exemple.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Si \(P(k)\) est fausse :

\[ k\not\equiv1\,[3]. \]

La même valeur qui a servi à obtenir la condition nécessaire fournit alors immédiatement le contre-exemple.

Prenons : \[ n=1. \] Alors : \[ 1-k \] n’est pas divisible par \(3\).

\[ \boxed{n=1} \] est un contre-exemple.

Exercice 22

\[ A_m=[m-1,m+1], \qquad B=[-2,3]. \]

1

Écrire \(A_m\) à l’aide d’une valeur absolue.

Afficher la correction + Masquer la correction −

\[ m-1\le x\le m+1 \] équivaut à : \[ -1\le x-m\le1. \] Donc :

\[ \boxed{ A_m = \{x\in\mathbb R:\ |x-m|\le1\}. } \]

2

Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(A_m\subseteq B\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Pour que tout élément de \(A_m\) appartienne à \(B\), il faut que les deux extrémités de \(A_m\) restent à l’intérieur de \(B\).

Ainsi : \[ m-1\ge-2 \] et \[ m+1\le3. \]

\[ \boxed{ A_m\subseteq B \iff -1\le m\le2. } \]

3

Existe-t-il \(m\) tel que \(B\subseteq A_m\) ?

Afficher la correction + Masquer la correction −

Il faudrait simultanément :

\[ m-1\le-2 \] et \[ m+1\ge3. \] Donc : \[ m\le-1 \] et \[ m\ge2. \]

Ces deux conditions sont incompatibles.

\[ \boxed{ \nexists m\in\mathbb R,\quad B\subseteq A_m. } \]

4

Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(A_m\cap B=\varnothing\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

Raisonnement par disjonction des cas.

Deux intervalles sont disjoints ici si \(A_m\) est entièrement à gauche de \(B\), ou entièrement à droite de \(B\).

À gauche : \[ m+1<-2 \iff m<-3. \] À droite : \[ m-1>3 \iff m>4. \]

Pour \(m=-3\), les intervalles ont encore le point \(-2\) en commun. Pour \(m=4\), ils ont encore le point \(3\) en commun. Les inégalités doivent donc être strictes.

\[ \boxed{ A_m\cap B=\varnothing \iff m<-3 \text{ ou } m>4. } \]

5

Traduire \(A_m\subseteq B\) à l’aide d’un quantificateur et d’une implication.

Afficher la correction + Masquer la correction −

Une inclusion se traduit logiquement par une implication universelle : « si \(x\) appartient au premier ensemble, alors \(x\) appartient au second ».

\[ x\in A_m \iff |x-m|\le1, \] et \[ x\in B \iff -2\le x\le3. \]

\[ \boxed{ A_m\subseteq B \iff \forall x\in\mathbb R,\quad |x-m|\le1 \Rightarrow -2\le x\le3. } \]

6

Écrire la négation de cette proposition.

Afficher la correction + Masquer la correction −

On nie le quantificateur universel puis l’implication.

La négation de :

\[ -2\le x\le3 \] est : \[ x<-2 \quad\text{ou}\quad x>3. \]

\[ \boxed{ \exists x\in\mathbb R,\quad |x-m|\le1 \text{ et } (x<-2\text{ ou }x>3). } \]

7

Lorsque \(A_m\subseteq B\) est fausse, construire explicitement un élément de \(A_m\setminus B\).

Afficher la correction + Masquer la correction −

La négation de l’inclusion affirme précisément l’existence d’un élément de \(A_m\) qui n’appartient pas à \(B\). Il faut maintenant construire cet élément.

Si \(m<-1\), choisissons :

\[ x=m-1. \] Alors \(x\in A_m\), mais : \[ x<-2. \]

Si \(m>2\), choisissons :

\[ x=m+1. \] Alors \(x\in A_m\), mais : \[ x>3. \]

\[ \boxed{ m<-1:\ x=m-1 \qquad;\qquad m>2:\ x=m+1. } \]

Repères méthodologiques — Logique

Une fonction propositionnelle devient une proposition lorsque ses variables libres sont fixées ou liées par des quantificateurs.

Pour nier une proposition quantifiée, on échange \(\forall\) et \(\exists\), puis on nie la propriété.

La négation de \(P\Rightarrow Q\) est \(P\land\neg Q\).

La contraposée de \(P\Rightarrow Q\) est \(\neg Q\Rightarrow\neg P\).

Une équivalence peut être démontrée en établissant une implication et sa réciproque.

Pour montrer qu’une proposition universelle est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Selon la nature du problème, on peut utiliser un raisonnement direct, une contraposée, un raisonnement par l’absurde, une disjonction de cas ou une récurrence.

Correction pédagogique rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)