OBJECTIFS DU COURS
À la fin de ce chapitre, l’élève doit pouvoir reconnaître une proposition et sa valeur
de vérité, utiliser la négation et les connecteurs logiques, manipuler l’implication
et l’équivalence, employer correctement les quantificateurs et leurs négations, puis
choisir et rédiger un raisonnement par contraposée, équivalences successives,
disjonction des cas, l’absurde ou récurrence.
I. Propositions et opérations sur les propositions
1.1 Proposition
ACTIVITÉ 1 — Reconnaître une proposition
Indiquer si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
- Tout entier pair est divisible par \(6\).
- La somme de deux entiers impairs est paire.
- \(\sqrt3\) est irrationnel.
- Quatre points quelconques du plan sont toujours sur un même cercle.
- La fonction \(x\mapsto x^2+x\), définie sur \(\mathbb R\), est paire.
- Toutes les droites de l’espace sont sécantes.
DÉFINITION 1
Une proposition est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer
une valeur de vérité bien déterminée : il est soit vrai, soit faux.
On note généralement une proposition par \(p,\;q,\;r,\ldots\). Une proposition vraie peut être codée par \(1\) et une proposition fausse par \(0\).
REMARQUE 1
Une proposition ne peut pas être vraie et fausse en même temps.
EXEMPLE 1 — Valeur de vérité
Considérons :
\[
p:\sqrt{20}\leq \sqrt9+\sqrt{12},
\qquad
q:\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac43,
\qquad
r:\pi\in\mathbb Q.
\]
On a \(p\) vraie, \(q\) vraie et \(r\) fausse.
1.2 Négation d’une proposition
ACTIVITÉ 2 — Nier une proposition
Fatima et Ahmed jouent au jeu suivant : chaque fois que Fatima affirme une
proposition, Ahmed doit énoncer sa négation, et réciproquement.
Compléter le jeu pour les propositions suivantes :
\[ \sqrt3\in\mathbb N, \qquad \sqrt{11}+\sqrt2<5, \] \[ 145236\text{ est un multiple de }4, \qquad \sqrt{(-3)^2}=-3. \] Pour chaque paire, préciser laquelle des deux propositions est vraie.DÉFINITION 2
La négation d’une proposition \(p\), notée \(\neg p\),
est la proposition qui est vraie lorsque \(p\) est fausse et fausse lorsque
\(p\) est vraie.
\[
\begin{array}{c|c}
p & \neg p\\ \hline
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\]
EXEMPLE 2
Si
\[
p:\sqrt{20}\leq\sqrt9+\sqrt{12},
\]
alors
\[
\neg p:\sqrt{20}>\sqrt9+\sqrt{12}.
\]
Comme \(p\) est vraie, \(\neg p\) est fausse.
APPLICATION 1 — Nier une proposition
Donner la négation de chacune des propositions suivantes, puis préciser sa valeur
de vérité :
\[
p:\sqrt{26}>\sqrt9+\sqrt{16},
\qquad
q:\frac{16}{25}\neq\frac45,
\qquad
r:\pi\in\mathbb Q.
\]
Solution de l’application 1
\[
\neg p:\sqrt{26}\leq\sqrt9+\sqrt{16}.
\]
Comme
\[
\sqrt{26}<7,
\]
\(p\) est fausse et \(\neg p\) est vraie.
\[
\neg q:\frac{16}{25}=\frac45.
\]
Or
\[
\frac{16}{25}\neq\frac45,
\]
donc \(q\) est vraie et \(\neg q\) est fausse.
Enfin :
\[
\neg r:\pi\notin\mathbb Q.
\]
Comme \(\pi\notin\mathbb Q\), \(r\) est fausse et \(\neg r\) est vraie.
1.3 Conjonction et disjonction de deux propositions
ACTIVITÉ 3 — Utiliser « et » et « ou »
Compléter chaque énoncé par « et » ou
« ou » de façon à obtenir une proposition correcte.
- \(x(x-2)=0\) signifie \(x=0\) … \(x=2\).
- \(ABCD\) est un losange implique \(AB=BC\) … \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
- \(ABC\) est équilatéral implique \(AB=BC\) … \(AB=AC\).
- \(|x|=x\) … \(|x|=-x\).
- \(x\leq y\) signifie \(x<y\) … \(x=y\).
- \(|x|<2\) signifie \(x<2\) … \(x>-2\).
- \(|x|\geq2\) signifie \(x\geq2\) … \(x\leq-2\).
DÉFINITION 3 — Conjonction
La conjonction de \(p\) et \(q\), notée
\[
p\land q,
\]
est la proposition « \(p\) et \(q\) ».
Elle est vraie uniquement lorsque \(p\) et \(q\) sont toutes les deux vraies.
DÉFINITION 4 — Disjonction
La disjonction de \(p\) et \(q\), notée
\[
p\lor q,
\]
est la proposition « \(p\) ou \(q\) ».
Elle est fausse uniquement lorsque \(p\) et \(q\) sont toutes les deux fausses.
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
p&q&p\land q&p\lor q\\ \hline
1&1&1&1\\
1&0&0&1\\
0&1&0&1\\
0&0&0&0
\end{array}
\]
APPLICATION 2 — Déterminer une valeur de vérité
Déterminer la valeur de vérité des propositions :
\[
p:(5-\pi>0)\land(\pi^2\geq10),
\]
\[
q:(\cos\pi=1)\lor(\cos\pi=-1),
\]
\[
r:\text{« Tout parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré. »}
\]
Solution de l’application 2
\(5-\pi>0\) est vraie, mais \(\pi^2\geq10\) est fausse.
Donc \(p\) est fausse.
La proposition \(q\) est vraie car \[ \cos\pi=-1. \]
La proposition \(r\) est fausse : un losange peut avoir des diagonales perpendiculaires sans être un carré.
PROPRIÉTÉ 1 — Lois de De Morgan
Pour toutes propositions \(p\) et \(q\) :
\[
\boxed{\neg(p\land q)\iff(\neg p\lor\neg q)}
\]
et
\[
\boxed{\neg(p\lor q)\iff(\neg p\land\neg q)}.
\]
APPLICATION 3 — Vérifier les lois de De Morgan
À l’aide d’une table de vérité, vérifier les deux lois de De Morgan.
Solution de l’application 3
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
p&q&\neg p&\neg q&p\land q&\neg(p\land q)&
\neg p\lor\neg q&p\lor q&\neg(p\lor q)&\neg p\land\neg q\\ \hline
1&1&0&0&1&0&0&1&0&0\\
1&0&0&1&0&1&1&1&0&0\\
0&1&1&0&0&1&1&1&0&0\\
0&0&1&1&0&1&1&0&1&1
\end{array}
\]
Les colonnes correspondantes sont identiques ; les deux équivalences sont donc
vérifiées.
1.4 Implication et équivalence de deux propositions
ACTIVITÉ 4 — Implication et équivalence
Soit \(ABC\) un triangle. On considère :
\[
p:\ ABC\text{ est rectangle en }B,
\]
\[
q:\ AC^2=AB^2+BC^2,
\]
\[
r:\ ABC\text{ est isocèle et rectangle en }B,
\]
\[
s:\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0.
\]
- Parmi \(p\Rightarrow q\), \(q\Rightarrow p\), \(p\Rightarrow r\) et \(p\Rightarrow s\), déterminer les implications vraies.
- Quelle relation logique existe entre \(p\) et \(q\) ?
- Dire lesquelles des équivalences suivantes sont vraies : \[ n\text{ pair}\iff n+1\text{ impair}, \] \[ x^2=4\iff x=2, \] pour \(x\in\mathbb R^*\), \[ \frac1x<0\iff x<0, \] \[ I\text{ milieu de }[AB] \iff \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0. \]
DÉFINITION 5 — Implication
L’implication
\[
p\Rightarrow q
\]
est la proposition « \(p\) implique \(q\) » ou « si \(p\), alors \(q\) ».
Elle est fausse uniquement lorsque \(p\) est vraie et \(q\) est fausse.
\[
\begin{array}{c|c|c}
p&q&p\Rightarrow q\\ \hline
1&1&1\\
1&0&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}
\]
REMARQUE 2
\(q\Rightarrow p\) est appelée l’implication réciproque de
\(p\Rightarrow q\).
Si \(p\) est fausse, alors \(p\Rightarrow q\) est vraie, quelle que soit la valeur de vérité de \(q\).
Pour démontrer directement \(p\Rightarrow q\), on suppose \(p\) vraie puis on établit \(q\).
Si \(p\) et \(p\Rightarrow q\) sont vraies, alors \(q\) est vraie : c’est un raisonnement déductif.
EXEMPLE 3 — Valeur de vérité d’une implication
\[
0\in\mathbb N^*\Rightarrow5\in\mathbb Z
\]
est vraie car l’hypothèse est fausse.
\[
\pi=\frac{22}{7}\Rightarrow\pi^2<10
\]
est vraie car l’hypothèse est fausse.
\[
\sqrt3>1\Rightarrow\frac32>1
\]
est vraie.
Enfin,
\[
\sqrt3+\sqrt2<4
\Rightarrow
(\sqrt3+\sqrt2)^2=5
\]
est fausse : l’hypothèse est vraie mais la conclusion est fausse.
PROPRIÉTÉ 2 — Écriture et négation d’une implication
Pour toutes propositions \(p\) et \(q\) :
\[
\boxed{p\Rightarrow q\iff\neg p\lor q}
\]
et, à l’aide des lois de De Morgan,
\[
\boxed{\neg(p\Rightarrow q)\iff p\land\neg q}.
\]
DÉFINITION 6 — Équivalence
L’équivalence de \(p\) et \(q\), notée
\[
p\iff q,
\]
est vraie si \(p\) et \(q\) ont la même valeur de vérité.
Elle se lit « \(p\) équivaut à \(q\) » ou
« \(p\) si et seulement si \(q\) ».
\[
\begin{array}{c|c|c}
p&q&p\iff q\\ \hline
1&1&1\\
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}
\]
PROPRIÉTÉ 3
\[
\boxed{
(p\iff q)
\iff
\big[(p\Rightarrow q)\land(q\Rightarrow p)\big]
}
\]
Pour établir une équivalence, on peut donc démontrer les deux implications
réciproques.
APPLICATION 4 — Valeur de vérité d’une implication
Déterminer si les implications suivantes sont vraies ou fausses :
- \(0\in\mathbb N\Rightarrow\mathbb Z\subset\mathbb N\).
- \(\pi=\dfrac{22}{7}\Rightarrow\pi^2<10\).
- \(\sqrt3>\dfrac32\Rightarrow\sqrt3>1\).
- \(\sqrt3+\sqrt2<4 \Rightarrow(\sqrt3+\sqrt2)^2=5\).
- \(\pi\notin\mathbb Q\Rightarrow(\sqrt2)^2=2\).
Solution de l’application 4
- Elle est fausse : l’hypothèse est vraie tandis que \(\mathbb Z\subset\mathbb N\) est fausse.
- Elle est vraie car son hypothèse est fausse.
- Elle est vraie.
- Elle est fausse car \[ (\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6\neq5. \]
- Elle est vraie.
APPLICATION 5 — Vérifier la négation d’une implication
À l’aide d’une table de vérité :
- montrer que \[ (p\Rightarrow q)\iff(\neg p\lor q); \]
- en déduire la négation de \(p\Rightarrow q\).
Solution de l’application 5
Les colonnes de \(p\Rightarrow q\) et de \(\neg p\lor q\)
sont identiques : \(1,0,1,1\).
Donc
\[
p\Rightarrow q\iff\neg p\lor q.
\]
Ainsi
\[
\neg(p\Rightarrow q)
\iff
\neg(\neg p\lor q)
\iff
p\land\neg q.
\]
II. Fonction propositionnelle et quantificateurs
2.1 Fonction propositionnelle
ACTIVITÉ 5 — Première partie
On considère, pour \(x\in\mathbb R\), l’énoncé
\[
P(x):x^2-2x\geq0.
\]
- Déterminer la valeur de vérité de \[ P(3),\quad P(1),\quad P(-1),\quad P\left(\frac32\right). \]
- Résoudre \[ x^2-2x\geq0 \] dans \(\mathbb R\) et noter \(E\) son ensemble de solutions.
DÉFINITION 7
Une fonction propositionnelle est un énoncé mathématique
contenant une ou plusieurs variables appartenant à un ensemble donné.
Sa valeur de vérité dépend des valeurs prises par ces variables. On peut la noter \[ A(x),\qquad A(x,y),\qquad A(x,y,z),\ldots \]
EXEMPLE 4
Pour \(x\in\mathbb R\),
\[
A(x):x^2-2x\geq0
\]
est vraie pour certains réels et fausse pour d’autres.
Ce n’est donc pas, à elle seule, une proposition à valeur de vérité fixe.
2.2 Quantificateurs et propositions quantifiées
ACTIVITÉ 5 — Suite
On reprend
\[
P(x):x^2-2x\geq0.
\]
- Les propositions « pour tout \(x\in\mathbb R\), \(P(x)\) » et « pour tout \(x\in\mathbb Q\), \(P(x)\) » sont-elles vraies ?
- Existe-t-il un rationnel \(x\) tel que \(P(x)\) soit vraie ? Écrire cette affirmation avec le symbole \(\exists\).
DÉFINITION 8 — Quantificateur existentiel
Soit \(A(x)\) une fonction propositionnelle sur un ensemble \(E\).
\[
(\exists x\in E)\ A(x)
\]
signifie qu’il existe au moins un élément \(x\) de \(E\)
pour lequel \(A(x)\) est vraie.
DÉFINITION 9 — Quantificateur universel
\[
(\forall x\in E)\ A(x)
\]
signifie que \(A(x)\) est vraie pour tout élément \(x\) de \(E\).
EXEMPLE 5
\[
(\exists x\in\mathbb R):x^2+4=0
\]
est fausse.
\[
(\forall x\in\mathbb R_+^*):
x+\frac42\geq2\sqrt{x}
\]
est vraie.
\[
(\exists x\in\mathbb N^*):
x+\frac4x\geq4
\]
est vraie.
\[
(\exists!x\in\mathbb N):x^2=4
\]
est vraie.
Le symbole \(\exists!\) signifie « il existe un unique ».
APPLICATION 6 — Employer les quantificateurs
Écrire avec des quantificateurs :
- Pour tout entier naturel \(n\), il existe au moins un entier naturel \(k\) tel que \(k\leq n\).
- Le carré de tout réel est positif ou nul.
- La fonction \(f\) est constante sur son domaine \(D_f\).
Solution de l’application 6
\[
(\forall n\in\mathbb N)(\exists k\in\mathbb N):k\leq n,
\]
\[
(\forall x\in\mathbb R):x^2\geq0,
\]
\[
(\exists c\in\mathbb R)(\forall x\in D_f):f(x)=c.
\]
APPLICATION 7 — Plusieurs quantificateurs
Considérer
\[
P:(\forall x\in\mathbb R)(\forall y\in\mathbb R):
x^2+y^2\geq2xy,
\]
\[
Q:(\forall y\in\mathbb R)(\forall x\in\mathbb R):
x^2+y^2\geq2xy.
\]
- Comparer les valeurs de vérité de \(P\) et \(Q\).
- Nier \(P\).
- Comparer ensuite \[ R:(\forall y\in\mathbb R)(\exists x\in\mathbb R):x+y=6 \] et \[ S:(\exists x\in\mathbb R)(\forall y\in\mathbb R):x+y=6. \]
Solution de l’application 7
Comme
\[
x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\geq0,
\]
\(P\) et \(Q\) sont vraies.
La négation de \(P\) est
\[
(\exists x\in\mathbb R)(\exists y\in\mathbb R):
x^2+y^2<2xy.
\]
\(R\) est vraie : pour tout \(y\), prendre
\[
x=6-y.
\]
En revanche, \(S\) est fausse : un même réel \(x\) ne peut vérifier
\(x+y=6\) pour tout \(y\).
REMARQUE 3 — Ordre des quantificateurs
Des quantificateurs de même nature peuvent être permutés sans changer le sens.
En revanche, l’ordre de quantificateurs de natures différentes peut modifier la valeur de vérité.
Par exemple, \[ (\forall y\in\mathbb R)(\exists x\in\mathbb R):x+y=7 \] est vraie en prenant \(x=7-y\), tandis que \[ (\exists x\in\mathbb R)(\forall y\in\mathbb R):x+y=7 \] est fausse.2.3 Négation d’une proposition quantifiée
PROPRIÉTÉ 4
Pour toute fonction propositionnelle \(A(x)\) définie sur \(E\) :
\[
\boxed{
\neg[(\forall x\in E)A(x)]
\iff
(\exists x\in E)\neg A(x)
}
\]
et
\[
\boxed{
\neg[(\exists x\in E)A(x)]
\iff
(\forall x\in E)\neg A(x)
}.
\]
APPLICATION 8 — Nier des propositions composées
Donner la négation de chacune des propositions suivantes :
- \(p\) : « \(11\) est premier et \(2^2+3^2=13\) ».
- \(q\) : « \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) ou \((AB)\parallel(CD)\) ».
- \(r\) : « \(\sqrt{10}>3\Rightarrow10\neq3^2\) ».
- \[ s:(\forall x\in\mathbb R), (x^2+2>x\text{ et }x^2+2>-x). \]
- \[ u:(\forall a\in\mathbb R), (|a+2|\leq3\Rightarrow a>-5). \]
- \[ v:(\exists x\in\mathbb R_+^*), \left( x\in\mathbb Q \text{ ou } \frac{\sqrt{x}}{x+1}\in\mathbb Q \right). \]
Solution de l’application 8
- \[ \neg p: \text{« }11\text{ n’est pas premier ou }2^2+3^2\neq13\text{ ».} \]
- \[ \neg q: \text{« } \overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{CD} \text{ et }(AB)\nparallel(CD) \text{ ».} \]
- \[ \neg r: \text{« }\sqrt{10}>3\text{ et }10=3^2\text{ ».} \]
- \[ \neg s: (\exists x\in\mathbb R), (x^2+2\leq x\text{ ou }x^2+2\leq-x). \]
- \[ \neg u: (\exists a\in\mathbb R), (|a+2|\leq3\text{ et }a\leq-5). \]
- \[ \neg v: (\forall x\in\mathbb R_+^*), \left( x\notin\mathbb Q \text{ et } \frac{\sqrt{x}}{x+1}\notin\mathbb Q \right). \]
III. Raisonnements mathématiques
3.1 Raisonnement par contraposée
DÉFINITION 10
La proposition
\[
\neg q\Rightarrow\neg p
\]
est appelée l’implication contraposée de
\[
p\Rightarrow q.
\]
PROPRIÉTÉ 5
\[
\boxed{
(p\Rightarrow q)
\iff
(\neg q\Rightarrow\neg p)
}
\]
Ainsi, pour démontrer \(p\Rightarrow q\), on peut démontrer sa contraposée.
EXEMPLE 6 — Contraposée
Montrons, pour \(x>0\),
\[
x\neq16
\Rightarrow
\sqrt{x}-2\neq\frac{x}{8}.
\]
Démontrons la contraposée :
\[
\sqrt{x}-2=\frac{x}{8}
\Rightarrow
x=16.
\]
En effet,
\[
8\sqrt{x}-16=x
\]
\[
\iff
x-8\sqrt{x}+16=0
\]
\[
\iff
(\sqrt{x}-4)^2=0
\]
\[
\iff
x=16.
\]
La contraposée étant vraie, l’implication initiale est vraie.
APPLICATION 9 — Utiliser la contraposée
Soient \(x,y\in\mathbb R\). Montrer :
\[
(x\neq y\text{ et }xy\neq2)
\Rightarrow
\frac{x}{x^2+2x+2}
\neq
\frac{y}{y^2+2y+2}.
\]
Solution de l’application 9
On démontre la contraposée.
Supposons
\[
\frac{x}{x^2+2x+2}
=
\frac{y}{y^2+2y+2}.
\]
Les dénominateurs sont strictement positifs.
Par produit en croix,
\[
x(y^2+2y+2)=y(x^2+2x+2).
\]
Donc
\[
(y-x)(xy-2)=0.
\]
Ainsi
\[
x=y
\quad\text{ou}\quad
xy=2.
\]
La contraposée est démontrée.
3.2 Raisonnement par équivalences successives
ACTIVITÉ 6 — Examiner un raisonnement par équivalences
Deux démonstrations sont proposées. Dans chacune, le symbole \(\iff\)
est utilisé en chaîne.
L’une des deux contient une erreur. La repérer et la justifier.
Pour \(x\in\mathbb R\) : \[ \sqrt{x^2+8}\geq3 \iff x^2+8\geq9 \iff x^2\geq1 \iff x\geq1. \] Pour \(x\in\mathbb R_+^*\) : \[ x+\frac4x\geq4 \iff x+\frac4x-4\geq0 \iff \frac{(x-2)^2}{x}\geq0. \]PROPRIÉTÉ 6
Le raisonnement par équivalences successives repose notamment sur la transitivité :
\[
\boxed{
[(p\iff q)\land(q\iff r)]
\Rightarrow
(p\iff r)
}
\]
Chaque passage d’une chaîne doit être une véritable équivalence.
EXEMPLE 7
Pour \(x\in[4,+\infty[\), montrons
\[
\frac{\sqrt{x-4}}{x}\leq\frac14.
\]
Comme \(x>0\) et les deux membres sont positifs,
\[
\frac{\sqrt{x-4}}{x}\leq\frac14
\]
\[
\iff
\frac{x-4}{x^2}\leq\frac1{16}
\]
\[
\iff
16x-64\leq x^2
\]
\[
\iff
0\leq x^2-16x+64
\]
\[
\iff
0\leq(x-8)^2.
\]
La dernière proposition étant toujours vraie, l’inégalité initiale est vraie.
APPLICATION 10 — Raisonnement par équivalences
- Soient \(\alpha,\beta\geq0\). Montrer : \[ \alpha+\beta=0 \iff (\alpha=0\text{ et }\beta=0). \]
- Soient \(a\geq4\) et \(b\geq9\). Montrer : \[ \sqrt{a-4}+3\sqrt{b-9} = \frac{a+b-3}{2} \] \[ \iff (a=5\text{ et }b=18). \]
Solution de l’application 10
Pour la première proposition, si
\[
\alpha+\beta=0
\]
avec \(\alpha,\beta\geq0\), alors
\[
\alpha=-\beta\leq0.
\]
Donc
\[
\alpha=0,
\]
puis
\[
\beta=0.
\]
La réciproque est immédiate.
Pour la deuxième :
\[ 2\sqrt{a-4}+6\sqrt{b-9}=a+b-3 \] \[ \iff (\sqrt{a-4}-1)^2 + (\sqrt{b-9}-3)^2 =0 \] \[ \iff \sqrt{a-4}=1 \text{ et } \sqrt{b-9}=3 \] \[ \iff a=5 \text{ et } b=18. \]3.3 Raisonnement par disjonction des cas
ACTIVITÉ 7 — Découvrir la disjonction des cas
Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation
\[
(E):|x+2|+|x-2|=|x|.
\]
- Écrire \(|x+2|\), \(|x-2|\) et \(|x|\) sans valeur absolue sur chacun des intervalles déterminés par \(-2\), \(0\) et \(2\).
- Résoudre ensuite \((E)\) séparément sur ces différents intervalles.
PROPRIÉTÉ 7
Lorsque toutes les possibilités sont réparties entre plusieurs cas, on peut démontrer
la même conclusion dans chacun de ces cas puis conclure globalement.
Pour deux cas \(p\) et \(r\) couvrant toutes les possibilités :
\[
\boxed{
[(p\lor r)\Rightarrow q]
\iff
[(p\Rightarrow q)\land(r\Rightarrow q)]
}
\]
EXEMPLE 8 — Résolution d’une équation
Résolvons
\[
|3x-2|+x=6.
\]
Cas 1 : \(x\geq\dfrac23\).
Alors
\[
|3x-2|=3x-2
\]
et
\[
3x-2+x=6
\iff
x=2.
\]
Cette valeur convient.
Cas 2 : \(x<\dfrac23\).
Alors
\[
|3x-2|=2-3x
\]
et
\[
2-3x+x=6
\iff
x=-2.
\]
Cette valeur convient.
\[
\boxed{S=\{-2,2\}}
\]
APPLICATION 11 — Disjonction des cas
Pour \(n\in\mathbb N\), montrer que
\[
A=n(n^2+3)
\]
est toujours pair.
Solution de l’application 11
Premier cas : \(n=2k\).
Alors
\[
A=2k(4k^2+3),
\]
donc \(A\) est pair.
Deuxième cas : \(n=2k+1\).
Alors \(n^2\) est impair, donc \(n^2+3\) est pair.
Ainsi
\[
A=n(n^2+3)
\]
est pair.
Les deux cas couvrent tous les entiers naturels.
\(A=n(n^2+3)\) est pair pour tout \(n\in\mathbb N\).
3.4 Raisonnement par l’absurde
MÉTHODE 1 — Principe
Pour démontrer une proposition \(p\) par l’absurde, on suppose sa négation
\(\neg p\).
On montre ensuite que cette hypothèse conduit à une contradiction, c’est-à-dire à une proposition \(q\) et à sa négation \(\neg q\).
L’hypothèse \(\neg p\) est alors impossible, donc \(p\) est vraie.PROPRIÉTÉ 8
Le schéma logique peut s’écrire :
\[
\boxed{
[\neg p\Rightarrow(q\land\neg q)]
\Rightarrow p
}
\]
EXEMPLE 9 — Deux vecteurs non colinéaires
Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non colinéaires.
Montrons :
\[
(\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2),
\quad
\alpha\vec u+\beta\vec v=\vec0
\Rightarrow
\alpha=\beta=0.
\]
Sous l’hypothèse
\[
\alpha\vec u+\beta\vec v=\vec0,
\]
supposons, par l’absurde, que
\[
\alpha\neq0.
\]
Alors
\[
\vec u=-\frac{\beta}{\alpha}\vec v,
\]
ce qui rend \(\vec u\) et \(\vec v\) colinéaires : contradiction.
Donc
\[
\alpha=0.
\]
Puis
\[
\beta\vec v=\vec0.
\]
Comme \(\vec v\neq\vec0\), on obtient
\[
\beta=0.
\]
APPLICATION 12 — Utiliser le raisonnement par l’absurde
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), le nombre
\[
n^2+1
\]
n’est pas un carré parfait.
Solution de l’application 12
Supposons qu’il existe
\[
n\in\mathbb N^*
\quad\text{et}\quad
a\in\mathbb N
\]
tels que
\[
n^2+1=a^2.
\]
Comme
\[
a^2>n^2
\]
et \(a,n\geq0\), on a
\[
a>n.
\]
Ainsi \(a-n\) et \(a+n\) sont des entiers naturels strictement positifs et
\[
(a-n)(a+n)=1.
\]
Donc
\[
a-n=1
\quad\text{et}\quad
a+n=1.
\]
En soustrayant les deux égalités :
\[
2n=0,
\]
donc
\[
n=0,
\]
ce qui contredit \(n\in\mathbb N^*\).
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), \(n^2+1\) n’est pas un carré parfait.
3.5 Raisonnement par récurrence
ACTIVITÉ 8 — Découvrir la récurrence
Pour \(n\in\mathbb N\), on considère
\[
P(n):3^n>2n.
\]
- Vérifier \(P(0)\) et \(P(1)\).
- Supposer \(P(n)\) vraie pour un certain \(n\geq1\) et montrer que \(P(n+1)\) est vraie.
- Que peut-on conjecturer pour tout \(n\in\mathbb N\) ?
PROPRIÉTÉ 9 — Principe de récurrence
Soit \(P(n)\) une propriété définie pour tout entier \(n\geq n_0\).
Si :
- \(P(n_0)\) est vraie ;
- pour tout entier \(n\geq n_0\), \[ P(n)\Rightarrow P(n+1); \]
MÉTHODE 2 — Rédaction
Initialisation : vérifier \(P(n_0)\).
Hérédité : supposer que, pour un certain \(n\geq n_0\), \(P(n)\) est vraie, puis démontrer \(P(n+1)\).
Conclusion : invoquer le principe de récurrence.
APPLICATION 13 — Récurrence : une inégalité
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
4^n\geq3n+1.
\]
Solution de l’application 13
Posons
\[
P(n):4^n\geq3n+1.
\]
Initialisation : pour \(n=0\),
\[
4^0=1=3\times0+1.
\]
La propriété est donc vraie au rang \(0\).
Hérédité :
Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N\), \[ 4^n\geq3n+1. \] Alors \[ 4^{n+1} = 4\cdot4^n \] \[ \geq 4(3n+1) = 12n+4 \] et \[ 12n+4 \geq 3n+4 = 3(n+1)+1. \] Donc \[ P(n+1) \] est vraie.Conclusion :
\[
\boxed{
\forall n\in\mathbb N,\quad4^n\geq3n+1
}
\]
APPLICATION 14 — Récurrence : somme des carrés
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\),
\[
1^2+2^2+\cdots+n^2
=
\frac{n(n+1)(2n+1)}6.
\]
Solution de l’application 14
Posons
\[
P(n):
1^2+2^2+\cdots+n^2
=
\frac{n(n+1)(2n+1)}6.
\]
Initialisation :
Pour \(n=1\), les deux membres valent \(1\).
Hérédité :
Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N^*\), \(P(n)\) soit vraie. Alors \[ 1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6 +(n+1)^2. \] Donc \[ 1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2 = \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}6. \] Or \[ 2n^2+7n+6 = (n+2)(2n+3). \] Ainsi \[ 1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6. \] C’est exactement la formule au rang \(n+1\).Conclusion :
\[
\boxed{
\forall n\in\mathbb N^*,\quad
1^2+2^2+\cdots+n^2
=
\frac{n(n+1)(2n+1)}6
}
\]
PARCOURS MATHS MAROC — PMM
Professeur Hammou Boudraa
Professeur Hammou Boudraa
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