Correction des exercices 01 à 04 — Suites numériques — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 01 à 04 — Suites numériques — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Suites numériques • Exercices d’application

Ces corrections des exercices d’application 01 à 04 du manuel Al Moufid portent sur les limites de suites : puissances de n, quotients, radicaux et suites géométriques. Chaque calcul met en évidence la transformation utile avant l’application d’une propriété de limites.

La difficulté consiste notamment à reconnaître une forme indéterminée et à choisir entre factorisation, multiplication par la quantité conjuguée et étude de la raison d’une suite géométrique.

Repères de cours — Limites de suites

Pour une expression polynomiale à l’infini, on isole la plus grande puissance de \(n\). Pour une différence de racines, la quantité conjuguée ou l’identité \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) permet de lever une indétermination. Si \(|q|<1\), alors \(\lim_{n\to+\infty}q^n=0\) ; si \(q>1\), alors \(\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty\).

Exercice 01 — Limites de suites polynomiales et rationnelles

Consigne. Déterminer la limite de chacune des suites ou expressions ci-dessous lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Question 1

\[u_n=2n^3-3n^2+4n+7\]

Méthode — Mettre la puissance maximale de \(n\) en facteur, puis étudier le signe du facteur restant à la limite.

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On met le terme dominant en facteur : \(u_n=n^3\bigl(2-\frac3n+\frac4{n^2}+\frac7{n^3}\bigr)\). Le facteur entre parenthèses tend vers \(2>0\), tandis que \(\lim_{n\to+\infty}n^3=+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Question 2

\[u_n=n^2-5\sqrt n\]

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Pour \(n\ge1\), on écrit \(u_n=n^2\left(1-\frac5{n^{\frac{3}{2}}}\right)\). Comme \(\lim_{n\to+\infty}\frac5{n^{\frac{3}{2}}}=0\), le second facteur tend vers \(1>0\) et \(\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Question 3

\[u_n=\frac{1-2n}{3n-5}\]

Méthode — Diviser le numérateur et le dénominateur par \(n\), leur plus haute puissance commune, puis vérifier que le dénominateur limite ne s’annule pas.

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En divisant les deux termes de la fraction par \(n\), on obtient \(u_n=\frac{\frac1n-2}{3-\frac5n}\). Le dénominateur tend vers \(3\neq0\) : on peut appliquer la règle de la limite d’un quotient.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-\frac23}\]

Question 4

\[u_n=\frac{6n^2-3n+4}{n-7}\]

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Pour \(n>7\), \(u_n=n\,\frac{6-\frac3n+\frac4{n^2}}{1-\frac7n}\). Le quotient tend vers \(6>0\) et \(n\) tend vers \(+\infty\), donc le produit tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Question 5

\[u_n=\frac{3n+4}{n^3-n+3}\]

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On divise numérateur et dénominateur par \(n^3\) : \(u_n=\frac{\frac3{n^2}+\frac4{n^3}}{1-\frac1{n^2}+\frac3{n^3}}\). Le numérateur tend vers \(0\), le dénominateur vers \(1\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Question 6

\[u_n=\frac{n^2+5n}{3n^2+1}\]

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En divisant par \(n^2\), on trouve \(u_n=\frac{1+\frac5n}{3+\frac1{n^2}}\). Les limites du numérateur et du dénominateur sont respectivement \(1\) et \(3\neq0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac13}\]

Question 7

\[u_n=\frac{-n^3+4n^2}{3n^2-5n+9}\]

Méthode — Factoriser par \(n\) pour distinguer le facteur non borné et le quotient de limite négative.

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On écrit \(u_n=n\,\frac{-1+\frac4n}{3-\frac5n+\frac9{n^2}}\). Le quotient tend vers \(-\frac13<0\) et \(n\) tend vers \(+\infty\) : le produit tend vers \(-\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty}\]

Interprétation — Le signe de la limite infinie doit être justifié ; la seule comparaison des degrés ne suffit pas.

Question 8

\[u_n=\frac{1-n}{1+\sqrt n}\]

Méthode — Extraire \(\sqrt n\) et transformer le quotient intérieur en une expression de limite finie strictement négative.

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Pour \(n\ge1\), \(u_n=\sqrt n\,\frac{\frac1n-1}{\frac1{\sqrt n}+1}\). Le quotient tend vers \(-1<0\), tandis que \(\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty}\]

Exercice 02 — Racines et formes indéterminées

Consigne. Déterminer la limite de chacune des suites ou expressions ci-dessous lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Question 1

\[u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n\]

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La différence des racines est une forme indéterminée. On multiplie par la quantité conjuguée : \(u_n=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\). Le dénominateur tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Question 2

\[u_n=\sqrt{3n^2+4}-\sqrt{n^2+5}\]

Méthode — Mettre \(n\) en facteur dans les deux radicaux ; comparer ensuite leurs coefficients limites.

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Pour \(n\ge1\), \(u_n=n\bigl(\sqrt{3+\frac4{n^2}}-\sqrt{1+\frac5{n^2}}\bigr)\). La parenthèse tend vers \(\sqrt3-1>0\) et \(n\) tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Interprétation — Comme \(n\) est positif pour les grands rangs, \(\sqrt{n^2}=n\) est légitime.

Question 3

\[u_n=\frac{n\sqrt{n+1}-1}{n+1}\]

Méthode — Séparer les deux termes du numérateur, puis mettre en évidence le facteur \(\frac n{n+1}\).

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On sépare le quotient : \(u_n=\frac n{n+1}\sqrt{n+1}-\frac1{n+1}\). Le premier facteur \(\frac n{n+1}\) tend vers \(1>0\) et \(\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n+1}=+\infty\), tandis que le second terme tend vers \(0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Question 4

\[u_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}}\]

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En rationalisant le numérateur (pour \(n\ge1\)) : \(u_n=\frac2{\sqrt{n+1}\bigl(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\bigr)}\). Le dénominateur tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Interprétation — Une différence de racines proches peut tendre vers zéro même si chacune d’elles devient infinie.

Question 5

\[u_n=\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\frac{n+1}{\sqrt{n+3}}\]

Méthode — Factoriser \(n+1\), rationaliser la différence des inverses et simplifier le quotient obtenu.

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On met \(n+1\) en facteur et on rationalise : \(u_n=\frac{n+1}{\sqrt{n+2}\sqrt{n+3}\bigl(\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}\bigr)}\). Après division par \(n^{\frac{3}{2}}\), cela donne \(u_n=\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt n\sqrt{1+\frac{2}{n}}\sqrt{1+\frac{3}{n}}(\sqrt{1+\frac{3}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}})}\), qui tend vers \(0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Question 6

\[u_n=\frac{\sqrt[3]{8n^3-n^2+1}}{3n-2}\]

Méthode — Extraire le facteur \(n\) de la racine cubique puis diviser le quotient par \(n\).

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Pour \(n\ge1\), \(u_n=\frac{\sqrt[3]{8-\frac1n+\frac1{n^3}}}{3-\frac2n}\). Le numérateur tend vers \(2\), le dénominateur vers \(3\neq0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac23}\]

Interprétation — La racine cubique vérifie \(\sqrt[3]{n^3a}=n\sqrt[3]a\) sans condition de signe sur \(a\).

Question 7

\[u_n=\frac{\sqrt{2n^2+3n+2}}{2n-\sqrt{4n^2+1}}\]

Méthode — Rationaliser le dénominateur \(2n-\sqrt{4n^2+1}\) avant tout passage à la limite.

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Le dénominateur tend vers \(0\), il faut éviter un quotient direct. Or \(2n-\sqrt{4n^2+1}=\frac{-1}{2n+\sqrt{4n^2+1}}\). Ainsi \(u_n=-\sqrt{2n^2+3n+2}\bigl(2n+\sqrt{4n^2+1}\bigr)\), produit de deux quantités positives qui tendent vers \(+\infty\), précédé du signe moins.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty}\]

Question 8

\[u_n=\frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}}\]

Méthode — Diviser par \(n\) sous les racines, puis utiliser la continuité de la racine carrée.

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Pour \(n\ge1\), on divise chaque terme sous les racines par \(n^2\) : \(u_n=\sqrt{\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n^2}}}-1\). Le quotient intérieur tend vers \(1\) et la racine carrée est continue en \(1\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Interprétation — Une différence dans le numérateur doit être traitée comme un tout avant de conclure.

Exercice 03 — Différences de racines et puissances

Consigne. Déterminer la limite de chacune des suites ou expressions ci-dessous lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Question 1

\[\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-3n+\frac1n\right)\]

Méthode — Mettre \(n\) en facteur dans la racine puis comparer le coefficient obtenu à \(3\).

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Pour \(n\ge1\), l’expression vaut \(n\bigl(\sqrt{1+\frac1n}-3\bigr)+\frac1n\). Le facteur entre parenthèses tend vers \(-2<0\), tandis que \(n\) tend vers \(+\infty\); le terme \(\frac{1}{n}\) tend vers \(0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-3n+\frac1n\right)=-\infty}\]

Interprétation — Le terme \(\frac{1}{n}\) ne compense pas un terme principal de l’ordre de \(n\).

Question 2

\[\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{4n^2+n}-2n+1\right)\]

Méthode — Rationaliser \(\sqrt{4n^2+n}-2n\) puis calculer séparément la limite du terme constant ajouté.

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On rationalise la différence des racines : \(\sqrt{4n^2+n}-2n=\frac n{\sqrt{4n^2+n}+2n}=\frac1{\sqrt{4+\frac1n}+2}\). Cette expression tend vers \(\frac14\), auquel on ajoute \(1\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{4n^2+n}-2n+1\right)=\frac54}\]

Interprétation — Sans rationalisation, la forme \(+\infty-\infty\) ne permet aucune conclusion.

Question 3

\[\lim_{n\to+\infty}\left(n^2-n-\sqrt[3]n+1\right)\]

Méthode — Factoriser le terme \(n^2\) et contrôler que les puissances restantes deviennent négligeables.

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Pour \(n\ge1\), on factorise par \(n^2\) : \(n^2\bigl(1-\frac1n-\frac1{n^{\frac{5}{3}}}+\frac1{n^2}\bigr)\). La parenthèse tend vers \(1>0\); la limite vaut donc \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n^2-n-\sqrt[3]n+1\right)=+\infty}\]

Question 4

\[\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right)\]

Méthode — Appliquer l'identité \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) aux deux racines cubiques.

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Posons \(a=\sqrt[3]{n+1}\) et \(b=\sqrt[3]{n-1}\). Comme \(a^3-b^3=2\), on obtient \(a-b=\frac2{a^2+ab+b^2}\). Chaque terme du dénominateur est positif et tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right)=0}\]

Interprétation — La différence de racines cubiques est exactement le quotient d'une différence constante par un dénominateur croissant.

Question 5

\[\lim_{n\to+\infty}\left(n^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{1}{3}}\right)\]

Méthode — Mettre \(n^{\frac{1}{3}}\) en facteur, puis étudier le comportement de chacun des facteurs.

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On factorise : \(n^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{1}{3}}=n^{\frac{1}{3}}(n^{\frac{1}{3}}-1)\). Les deux facteurs sont finalement positifs et tendent vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{1}{3}}\right)=+\infty}\]

Question 6

\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{\frac{3}{5}}+n^{\frac{6}{7}}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{4}{9}}}\]

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Le terme dominant du numérateur est \(n^{\frac{6}{7}}\) et celui du dénominateur est \(n^{\frac{2}{3}}\). Plus précisément, pour \(n\ge1\), le quotient vaut \(n^{\frac{4}{21}}\frac{1+n^{-\frac{9}{35}}}{1+n^{-\frac{2}{9}}}\). Le second facteur tend vers \(1>0\) et \(\lim_{n\to+\infty}n^{\frac{4}{21}}=+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{\frac{3}{5}}+n^{\frac{6}{7}}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{4}{9}}}=+\infty}\]

Interprétation — Les exposants fractionnaires se comparent comme les autres exposants positifs ; ici leur différence décide de la divergence.

Exercice 04 — Suites géométriques et puissances

Consigne. Déterminer la limite de chacune des suites ou expressions ci-dessous lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Question 1

\[u_n=\left(\frac45\right)^n\]

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La base \(\frac45\) est strictement comprise entre \(0\) et \(1\). On utilise la limite usuelle des suites géométriques.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Question 2

\[u_n=\left(-\frac23\right)^n\]

Méthode — Traiter le signe alterné à l'aide de la valeur absolue de la raison.

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La valeur absolue vérifie \(|u_n|=(\frac23)^n,\quad \lim_{n\to+\infty}|u_n|=0\). Ainsi \(-|u_n|\le u_n\le |u_n|\), et le théorème d’encadrement donne la limite.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Interprétation — Une raison négative n'empêche pas la convergence lorsque sa valeur absolue est strictement inférieure à \(1\).

Question 3

\[u_n=\left(\frac65\right)^n\]

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La base \(\frac65\) est strictement supérieure à \(1\). Les puissances croissent sans borne.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Question 4

\[u_n=\frac{2^{n-1}}{5^n}\]

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En regroupant les puissances : \(u_n=\frac12\left(\frac25\right)^n\). Comme \(0<\frac25<1\), le terme géométrique tend vers \(0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Question 5

\[u_n=\frac1{4^n}-2\]

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Puisque \(\lim_{n\to+\infty}4^n=+\infty\), on a \(4^{-n}=(\frac14)^n,\quad \lim_{n\to+\infty}4^{-n}=0\). On retranche ensuite \(2\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-2}\]

Question 6

\[u_n=\frac{2^n+3^n}{5^n}\]

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On écrit \(u_n=(\frac25)^n+(\frac35)^n\). Les deux bases sont dans \(]0,1[\), donc chacune de leurs puissances tend vers \(0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Question 7

\[u_n=\frac{3^{2n}}{2^{3n}}\]

Méthode — Utiliser \(3^{2n}=9^n\) et \(2^{3n}=8^n\) afin d'obtenir une seule suite géométrique.

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En utilisant les règles des puissances, \(u_n=(\frac98)^n\). Puisque \(\frac98>1\), la suite tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Interprétation — Une apparence de quotient de grandes puissances cache une raison supérieure à \(1\).

Question 8

\[u_n=\frac{3^n-5}{3^n+8}\]

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On divise par \(3^n>0\) : \(u_n=\frac{1-\frac5{3^n}}{1+\frac8{3^n}}\). Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(1\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=1}\]

Question 9

\[u_n=\frac{5^n-4^n}{3^n-2^n}\]

Méthode — Extraire \(5^n\) du numérateur et \(3^n\) du dénominateur en conservant le facteur géométrique extérieur.

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On factorise les puissances dominantes : \(u_n=(\frac53)^n\frac{1-(\frac45)^n}{1-(\frac23)^n}\). Le quotient tend vers \(1>0\) et \(\lim_{n\to+\infty}(\frac53)^n=+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Question 10

\[u_n=\left(-\frac12\right)^n+\left(\frac32\right)^n\]

Méthode — Étudier séparément la raison négative de valeur absolue inférieure à \(1\) et la raison supérieure à \(1\).

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Le premier terme tend vers \(0\), car sa base a une valeur absolue inférieure à \(1\). Le second tend vers \(+\infty\), car sa base est supérieure à \(1\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Interprétation — Un terme oscillant mais de module décroissant ne modifie pas la divergence positive de l'autre terme.

Question 11

\[u_n=\left(\frac53\right)^n+\left(\frac29\right)^n\]

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On sait que \(\lim_{n\to+\infty}(\frac53)^n=+\infty\) et \(\lim_{n\to+\infty}(\frac29)^n=0\). Le second terme ne modifie pas la divergence du premier.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Question 12

\[u_n=(1-\sqrt2)^n\]

Méthode — Calculer la valeur absolue de \(1-\sqrt2\) avant d'appliquer le critère géométrique.

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On a \(|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\in]0,1[\). Donc \(|u_n|=(\sqrt2-1)^n,\quad \lim_{n\to+\infty}|u_n|=0\), et \(\lim_{n\to+\infty}u_n=0\) par encadrement.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Interprétation — Le signe de la raison alterne, mais le module contrôle entièrement sa convergence vers zéro.

Question 13

\[u_n=\frac{4^n-(-2)^n}{3^n+(-2)^n}\]

Méthode — Factoriser les plus grandes puissances positives tout en normalisant la puissance de base négative.

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En divisant par \(3^n\), on obtient \(u_n=(\frac43)^n\frac{1-(-\frac12)^n}{1+(-\frac23)^n}\). Le quotient tend vers \(1>0\), tandis que \(\lim_{n\to+\infty}(\frac43)^n=+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Interprétation — Vérifier que le dénominateur reste non nul et que le facteur tendant vers \(1\) est positif à partir d'un certain rang.

Question 14

\[u_n=\frac{2^n-\pi^n+3^n}{3^n+\pi^n+2^n}\]

Méthode — Comparer les bases \(2\), \(3\) et \(\pi\), puis diviser par la puissance de la plus grande base.

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Comme \(\pi>3>2\), on divise par \(\pi^n\) : \(u_n=\frac{(\frac2\pi)^n-1+(\frac3\pi)^n}{(\frac3\pi)^n+1+(\frac2\pi)^n}\). Toutes les puissances de bases strictement inférieures à \(1\) tendent vers \(0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-1}\]

Interprétation — Le terme dominant au numérateur est négatif ; cette information détermine le signe de la limite.

Question 15

\[u_n=\frac{7(-0{,}8)^n+9}{(-0{,}8)^n+17}\]

Méthode — Vérifier d'abord \(|-0{,}8|<1\), puis utiliser le quotient des limites finies.

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Puisque \(|-0{,}8|<1\), la suite \(((-0{,}8)^n)\) tend vers \(0\). Le dénominateur tend vers \(17\neq0\), ce qui autorise le passage à la limite.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac9{17}}\]

Parcours Maths Maroc — PMM. Ces corrections ont été rédigées indépendamment pour accompagner l’apprentissage des méthodes du chapitre. Les autres exercices seront traités dans les articles suivants.

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