Parcours Maths Maroc

Correction du Devoir 4 — Suite récurrente, expression explicite et limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 4 Premiers termes Question 1 Question 2 Question 3 Rappel de l’énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=-2 \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ u_{n+1}=u_n+n^2-n. \] 1. Montrer que, pour tout entier \(n\ge3\) : \[ u_n\gt n. \] 2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\). 3. On donne : \[ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2 \] et : \[ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. \] Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis retrouver la limite de \((u_n)\). Rectification nécessaire : La propriété demandée dans la première question est fausse au rang \(n=3\). En effet : \[ u_1=-2,\qquad u_2=-2,\qquad u_3=0. \] Donc : \[ u...

Correction du Devoir 3 — Moyennes arithmétiques et convergence des suites Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 3 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Énoncé : Soit \((u_n)_{n\ge1}\) une suite réelle. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose : \[ S_n=\frac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{n}. \] 1. On suppose que \(u_n\longrightarrow0\). a) Soit \(\varepsilon\gt0\). Montrer qu’il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\ge n_0\) : \[ |S_n| \le \frac{M(n_0-1)}{n}+\varepsilon, \] où \(M\) est une constante dépendant des premiers termes de la suite. b) En déduire que : \[ S_n\longrightarrow0. \] 2. On considère la suite définie par : \[ u_n=(-1)^n. \] Étudier la convergence de \((S_n)\) et comparer avec celle de \((u_n)\). 3. On suppose que : \[ u_n\longrightarrow\ell. \] Montrer que : \[ ...

Correction du Devoir 2 — Paradoxe d’Achille et de la tortue Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 2 Vitesses Étapes du mouvement Temps total Vérification Rappel de l’énoncé : Achille fait une course avec une tortue. Il part \(100\) mètres derrière elle, mais il va dix fois plus vite. Lorsque Achille arrive au point de départ initial de la tortue, celle-ci a parcouru \(10\) mètres. Le raisonnement est ensuite répété indéfiniment. En notant \(v\) la vitesse constante d’Achille, calculer le temps nécessaire à Achille pour dépasser la tortue. Rectification de l’énoncé : Le manuel indique que, pendant qu’Achille parcourt les \(10\) mètres suivants, la tortue avance de \(10\) centimètres. Cette valeur est incorrecte. Puisque la vitesse de la tortue est dix fois plus petite que celle d’Achille, elle parcourt pendant ce temps : \[ 1\ \text{mètre}. ...

Correction du Devoir 1 — Problèmes de synthèse sur les suites numériques Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 1 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 1 — Sommes contenant des puissances de \(x\) Rappel de la question : Pour \(x\in]0;1[\), calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}x^k \] et : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}kx^k. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − 1. Première limite Posons : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}x^k. \] Comme \(x\ne1\), la somme géométrique donne : \[ S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}. \] Or : \[ 0\lt x\lt1. \] Donc : \[ x^{n+1}\longrightarrow0. \] Par conséquent : \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}x^k = \frac1{1-x}. } \] 2. Deuxième limite Posons : \[ T_n=\sum_{k=0}^{n}kx^k. \] ...

Correction de l’exercice 49 — Suite récurrente, encadrement et limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 49 Question 1 Question 2 Question 3 Énoncé : Soit \(a\) un réel supérieur ou égal à \(1\) et \((x_n)\) la suite numérique définie par : \[ x_0=a \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2}. \] 1. On suppose dans cette question que \(a=1\). Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. \] 2. On suppose maintenant que \(a\gt1\). a) Montrer que la suite \((x_n)\) est décroissante et minorée. b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite. 3. On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R^+\) par : \[ f_n(x) = \frac{x}{1+(n+1)x^2}. \] a) Montrer que la fonction \(f_n\) es...

Correction de l’exercice 48 — Suite de Fibonacci, formule de Binet et nombre d’or Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 48 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Énoncé : Soit \((\phi_n)\) la suite réelle définie par : \[ \phi_0=0, \qquad \phi_1=1 \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ \phi_{n+2}=\phi_{n+1}+\phi_n. \] 1. Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_n = \frac{\sqrt5}{5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \right]. \] 2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \phi_{n+1}^{\,2}-\phi_n\phi_{n+2}=(-1)^n. \] 3. Établir que la suite : \[ \left( \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} \right)_{n\ge1} \] converge et trouver sa limite. 4. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ \sum_{k=0}^...