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Correction de l’exercice 7 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction de l’exercice 07 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Étude des dérivées unilatérales, des tangentes, des graphiques et de la dérivabilité des fonctions définies par morceaux.

La pente d’une tangente se calcule à partir de deux de ses points : variation des ordonnées divisée par variation des abscisses. Les coordonnées relevées doivent appartenir à la même droite, sans confondre un point de la courbe avec un point de la tangente.

Une tangente horizontale correspond à une dérivée nulle. Aux extrémités du domaine représenté, les nombres dérivés sont unilatéraux ; une lecture graphique approchée est annoncée comme telle.

Repère de cours — Dérivabilité aux bornes et raccordements

Avant de dériver, contrôler le domaine et la continuité. En un point de raccordement, calculer séparément les limites des taux d’accroissement. Une limite infinie indique une demi-tangente verticale.

Exercice 07 — Lecture graphique des dérivées

Énoncé. La courbe est représentée sur un repère gradué. Déterminer son domaine, lire les dérivées unilatérales et les dérivées aux points indiqués, déterminer les équations des deux tangentes et rechercher les abscisses où la dérivée s’annule.
-6-5-4-3-2-1123456-2-1123456xyOBA
Schéma PMM redessiné à partir des points et tangentes du manuel.
Méthode. La précision des coefficients directeurs dépend de la figure imprimée. Les résultats sont établis à partir des graduations et tangentes du manuel. La position du minimum gauche est approximative et doit être confirmée sur le scan original avant publication.

Question 1

Déterminer \(D_f\).
Méthode et stratégie.

Lire la projection de toute la courbe sur l’axe des abscisses et vérifier si les extrémités sont incluses.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La courbe du document commence à l’abscisse \(-6\) et se termine à \(6\), extrémités incluses ; on ne la prolonge pas au-delà du graphique.

\[\boxed{D_f=[-6;6]}\]
Lecture sur le domaine graphique représenté.

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Question 2a

Lire \(f'(-4)\), \(f'(0)\), \(f'_d(-6)\) et \(f'_g(6)\).
Méthode et stratégie.

Pour chaque tangente, choisir deux points lisibles et calculer variation d’ordonnée divisée par variation d’abscisse.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La tangente en \(B(-4;-1)\) passe par \(C(-\frac{11}{2};0)\), et celle en \(A(0;3)\) passe par \((-3;0)\). Leurs pentes sont donc respectivement \(-\frac{2}{3}\) et \(1\).

À gauche, la demi-tangente passe par \((-6;3)\) et \((-\frac{11}{2};\frac{3}{2})\), d’où une pente \(-3\). À droite, on lit \((6;-1)\) et \((5;\frac{3}{2})\), d’où une pente \(-\frac{5}{2}\).

\[\boxed{f\prime(-4)=-\frac23,\quad f\prime(0)=1,\quad f\prime_d(-6)=-3,\quad f\prime_g(6)=-\frac52}.\]

Par exemple, les deux pentes principales se calculent explicitement ainsi :

\[m_T=\frac{3-0}{0-(-3)}=1,\qquad m_{T'}=\frac{0-(-1)}{-\frac{11}{2}-(-4)}=\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}.\]

Le signe négatif du second coefficient indique une tangente descendante lorsque l’abscisse augmente.

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Question 2b

Déterminer les équations cartésiennes des tangentes \(T\) et \(T'\).
Méthode et stratégie.

Associer à chaque tangente un point de contact et une pente, puis écrire son équation affine.

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La tangente \(T\) en \(A(0;3)\) a pour pente \(1\) : \(y-3=1(x-0)\). La tangente \(T'\) en \(B(-4;-1)\) a pour pente \(-\frac23\) : \(y+1=-\frac23(x+4)\).

\[\boxed{T:\ y=x+3\qquad T':\ y=-\frac23x-\frac{11}{3}}\]

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Question 3

Résoudre dans \(D_f\) l’équation \(f'(x)=0\).
Méthode et stratégie.

Repérer les tangentes horizontales sur la courbe ; une lecture approchée ne doit pas être annoncée comme exacte.

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Les tangentes horizontales sont celles du minimum situé vers \(x=-3,5\) et du maximum en \(x=2\). On lit donc :

\[\boxed{x\simeq-3,5\quad\text{ou}\quad x=2}.\]

La première abscisse est une lecture graphique approchée.

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