Parcours Maths Maroc

Correction du devoir 5 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Limite symétrique 2. Dérivabilité de g 3. Fonction partie entière Prolongement 1) Limite symétrique et dérivabilité Soit \(f\) une fonction dérivable en un point \(x_0\). a) Montrer que : \[ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0). \] b) Réciproquement, si la limite précédente existe, peut-on dire que \(f\) est dérivable en \(x_0\) ? a) Montrer la limite Lire la réponse + Masquer la réponse − On écrit : \[ f(x_0+h)-f(x_0-h) = \bigl(f(x_0+h)-f(x_0)\bigr) + \bigl(f(x_0)-f(x_0-h)\bigr). \] Donc, pour \(h\neq0\) : \[ \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} = \frac12 \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} + \frac12 \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}. \] Dans le deuxième quotient, on pose \(u=-h\). Lorsque \(h\to0\), on a aussi \(u\to0\), et : \[ \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h} = \frac{f(x_0)-f(x_0+u)}{-u} = \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{u}. \] Comme \(f\) est dérivable en \...

Correction du devoir 4 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir Partie A — Étude de f Partie B — Approximation de α Partie A — Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\) par : \[ f(x)=x^3+4x^2+6x-1. \] 1) Calculer \(f(0)\), \(f\left(\dfrac12\right)\), \(f(1)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule directement : \[ f(0)=0+0+0-1=-1. \] Ensuite : \[ f\left(\frac12\right) = \left(\frac12\right)^3 + 4\left(\frac12\right)^2 + 6\left(\frac12\right) - 1. \] Donc : \[ f\left(\frac12\right) = \frac18+1+3-1 = \frac18+3 = \frac{25}{8}. \] De même : \[ f(1)=1+4+6-1=10. \] Enfin, lorsque \(x\to+\infty\), le terme dominant est \(x^3\). Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \] \[ f(0)=-1,\qquad f\left(\frac12\right)=\frac{25}{8},\qquad f(1)=10, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \] 2) Calcu...

Correction du devoir 3 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Continuité 2. Dérivabilité 3. Signe de f′ 4. Variations 5. Courbe 6. Intervalle stable 7. Suite récurrente 8. Contraction 9. Identité trigonométrique 10. Expression explicite Énoncé du devoir Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} -x+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\geq0,\\[2mm] \dfrac4\pi\operatorname{Arctan}\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right) & \text{si }x\lt0. \end{cases} \] 1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule d’abord \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la première expression : \[ f(0)=-0+\sqrt{0^2+1}=1. \] Lorsque \(x\to0^+\), on a : \[ f(x)=-x+\sqrt{x^2+1}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0+1=1. \] Lorsque \(x\to0^-\), on a : \[ f(x)=\frac4\pi\operatorname{Arctan}\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right). \] Or : \[ -x+\sqrt{x^2+1}\to1...

Correction du devoir 2 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Continuité en 0 2. Inégalité Arctan x ≤ x 3. Encadrements et dérivabilité 4. Variations 5. Branches infinies 6. Fonction réciproque 7. Suite récurrente Énoncé du devoir Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x-1+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\lt0,\\[2mm] \sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x} & \text{si }x\geq0. \end{cases} \] 1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule d’abord la valeur de \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la deuxième expression : \[ f(0)=\sqrt[3]{0-\operatorname{Arctan}(0)}=0. \] Lorsque \(x\to0^-\), on utilise la première expression : \[ f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^-}f(x) = 0-1+\sqrt{1} = 0. \] Lorsque \(x\to0^+\), on utilise la deuxième expression : \[ f(x)=\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}....

Correction du devoir 1 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir Partie I — Étude de g Partie II — Étude de f Partie I — Étude de la fonction \(g\) On considère la fonction numérique \(g\) définie par : \[ g(x)=\operatorname{Arctan}\left(\frac1{x-1}\right) - \frac{x}{(x-1)^2+1}. \] 1) Déterminer le domaine de définition de \(g\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(g\) contient le terme : \[ \frac1{x-1}. \] Il faut donc que : \[ x-1\neq0. \] Autrement dit : \[ x\neq1. \] Le dénominateur \((x-1)^2+1\) ne s’annule jamais, car : \[ (x-1)^2+1\gt0 \quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}. \] Le domaine de définition de \(g\) est : \[ D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}. \] 2) Montrer que, pour tout \(x\in D_g\), \[ g'(x)=\frac{2x-4}{\left((x-1)^2+1\right)^2}. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour \(x\neq1\), posons : \[ A(x)=(x-1)^2+1. \] On a : \[ g(x)=\operatorname{Arctan}\...