Correction des exercices 09 à 12 — Suites numériques — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 09 à 12 — Suites numériques — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Suites numériques • Exercices d’application

Les exercices 09 à 12 du manuel Al Moufid font intervenir des sommes, des récurrences et des comparaisons de suites. Ils demandent de relier une formule ou une inégalité à la limite recherchée.

On prête une attention particulière au premier indice, au nombre de termes dans une somme et aux conditions d’application du théorème de convergence monotone.

Repères de cours — Suites numériques

Une somme de \(n\) termes tous compris entre \(a_n\) et \(b_n\) est comprise entre \(na_n\) et \(nb_n\). Une suite croissante majorée converge.

Exercice 09 — Somme de fractions et théorème d’encadrement

Pour \(n\ge1\), on définit \(u_n=\frac n{n^2+1}+\frac n{n^2+2}+\cdots+\frac n{n^2+n}=\sum_{k=1}^{n}\frac n{n^2+k}\).

1 — Calcul des deux premiers termes

Déterminer \(u_1\) et \(u_2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Attention. La somme contient exactement \(n\) termes : l’indice \(k\) parcourt les entiers de \(1\) à \(n\). Pour \(n=1\), il ne reste qu’un seul terme.

On obtient \(u_1=\frac1{1^2+1}=\frac12\). Pour \(n=2\), \(u_2=\frac2{4+1}+\frac2{4+2}=\frac25+\frac13=\frac{6+5}{15}=\frac{11}{15}\).

\[\boxed{u_1=\frac12,\qquad u_2=\frac{11}{15}}\]

2.a — Encadrement de la somme

Prouver que \(\frac n{n+1}\le u_n\le\frac{n^2}{n^2+1}\) pour \(n\ge1\).

Méthode — Encadrer chaque terme de la somme par un minimum et un maximum indépendants de l'indice de sommation.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour tout \(k\in\{1,\dots,n\}\), on a \(n^2+1\le n^2+k\le n^2+n\). Tous ces nombres étant positifs, le passage aux inverses donne \(\frac n{n^2+n}\le\frac n{n^2+k}\le\frac n{n^2+1}\).

En additionnant exactement \(n\) inégalités de cette forme, on obtient \(n\frac n{n^2+n}\le u_n\le n\frac n{n^2+1}\). Enfin, \(\frac{n^2}{n^2+n}=\frac n{n+1}\).

\[\boxed{\frac n{n+1}\le u_n\le\frac{n^2}{n^2+1}}\]

Interprétation — Il faut justifier les deux bornes terme à terme avant de sommer les inégalités.

2.b — Limite de la somme

En déduire \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Méthode — Déterminer séparément les limites des deux bornes de 2.a puis appliquer l'encadrement.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Par division du numérateur et du dénominateur par \(n\), on a \(\frac n{n+1}=\frac1{1+\frac{1}{n}},\quad \lim_{n\to+\infty}\frac n{n+1}=1\).

Pour la borne supérieure, \(\frac{n^2}{n^2+1}=\frac1{1+\frac{1}{n^2}},\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1\). Les deux bornes ont la même limite, donc le théorème d’encadrement entraîne la limite de \((u_n)\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=1}\]

Interprétation — La convergence découle de l'inégalité globale déjà démontrée, sans calculer la somme explicitement.

Exercice 10 — Minoration d’une somme de racines inverses

Pour tout entier \(n\ge1\), \(u_n=1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt k}\).

1 — Comparaison des termes

Justifier que, pour \(1\le k\le n\), \(\frac1{\sqrt n}\le\frac1{\sqrt k}\).

Méthode — Comparer \(k\) et \(n\), puis utiliser la décroissance de la fonction inverse de la racine carrée sur les réels positifs.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(1\le k\le n\), la croissance de la fonction racine carrée sur \([0,+\infty[\) donne \(0<\sqrt k\le\sqrt n\).

En prenant les inverses de ces réels positifs, le sens de l’inégalité est inversé : \(\frac1{\sqrt n}\le1/\sqrt k\).

\[\boxed{\frac1{\sqrt n}\le\frac1{\sqrt k}}\]

Interprétation — Le sens de l'inégalité est inversé après passage aux inverses positifs.

2 — Minoration de la somme

Montrer que \(\sqrt n\le u_n\) pour tout \(n\ge1\).

Méthode — Sommer les \(n\) inégalités obtenues en 1, sans perdre le nombre de termes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La question précédente fournit, pour chaque \(k\) de \(1\) à \(n\), \(\frac1{\sqrt k}\ge\frac1{\sqrt n}\).

En additionnant les \(n\) inégalités, on obtient \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt k}\ge\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt n}=\frac n{\sqrt n}=\sqrt n\).

\[\boxed{u_n\ge\sqrt n}\]

3 — Limite

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Nous avons prouvé \(u_n\ge\sqrt n\) pour \(n\ge1\). La suite \((\sqrt n)\) tend vers \(+\infty\).

Par comparaison avec une suite qui diverge vers \(+\infty\), on conclut que la somme \(u_n\) tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Interprétation — Une minoration divergente positivement suffit pour une limite infinie.

Exercice 11 — Récurrence et comparaison avec une suite affine

On pose \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\frac12u_n-n-\frac12\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1 — Majorant par récurrence

Démontrer que \(u_n\le 3-2n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Méthode — Établir la propriété au premier rang, puis utiliser la relation de récurrence pour transmettre le majorant de \(n\) à \(n+1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Initialisation : \(u_0=0\le3=3-2\times0\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité : supposons, pour un certain \(n\in\mathbb N\), que \(u_n\le3-2n\). Le coefficient \(\frac{1}{2}\) étant positif, \(u_{n+1}=\frac12u_n-n-\frac12\le\frac12(3-2n)-n-\frac12=1-2n=3-2(n+1)\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.

Par le principe de récurrence, la propriété est établie pour tout \(n\ge0\).

\[\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad u_n\le3-2n}\]

Interprétation — L'hérédité doit produire exactement \(3-2(n+1)\), et pas seulement une borne voisine.

2 — Limite infinie

En déduire \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Méthode — Comparer \(u_n\) au majorant affine \(3-2n\) obtenu par récurrence.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La suite affine \((3-2n)\) tend vers \(-\infty\). La comparaison du premier point donne \(u_n\le3-2n\) pour tout \(n\).

Pour tout réel \(A\), à partir d’un certain rang \(3-2n<A\) ; le majorant permet alors d’affirmer \(u_n<A\). Cette caractérisation montre que \(\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty}\]

Exercice 12 — Suite homographique, invariance et monotonie

On définit \(u_0=\frac12\) et, pour \(n\ge0\), \(u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+1}\).

1 — Encadrement à partir du rang 1

Montrer par récurrence que \(1\le u_n\le2\) pour tout \(n\ge1\).

Méthode — Initialiser au rang \(1\), puis établir que la fonction de récurrence conserve le segment \([1,2]\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Attention. L’encadrement ne concerne pas le rang zéro, puisque \(u_0=\frac{1}{2}<1\). On initialise donc la récurrence au rang \(1\).

Calculons \(u_1=\frac{2(\frac{1}{2})+1}{\frac{1}{2}+1}=\frac43\in[1,2]\).

Supposons \(1\le u_n\le2\) pour un certain \(n\ge1\). Pour \(x\ge1\), posons \(f(x)=\frac{2x+1}{x+1}=2-\frac1{x+1}\). Comme \(x+1\in[2,3]\), on a \(f(x)\in[\frac{3}{2},\frac{5}{3}]\subset[1,2]\). Ainsi \(1\le u_{n+1}=f(u_n)\le2\).

La propriété est donc vraie par récurrence pour tout \(n\ge1\).

\[\boxed{\forall n\ge1,\quad 1\le u_n\le2}\]

2 — Sens de variation

Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

Méthode — Calculer \(u_{n+1}-u_n\) à l'aide de la relation de récurrence et du segment invariant.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x,y>-1\), \(f(x)-f(y)=\frac{x-y}{(x+1)(y+1)}\). Les dénominateurs sont positifs pour \(x,y\ge0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).

De plus, \(u_1=\frac43>u_0=\frac12\). Supposons \(u_{n+1}>u_n\). Comme les termes sont positifs, la stricte croissance de \(f\) donne \(u_{n+2}=f(u_{n+1})>f(u_n)=u_{n+1}\). Par récurrence, la suite est strictement croissante.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_{n+1}>u_n}\]

Interprétation — Le signe doit être démontré pour tout rang considéré, pas seulement pour les premiers termes.

3 — Convergence

Établir que la suite \((u_n)\) converge.

Méthode — Combiner la monotonie avec la majoration obtenue, puis citer le théorème de convergence monotone.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Par la question 2, la suite \((u_n)\) est croissante dès le rang zéro. Par la question 1, elle est majorée par \(2\) à partir du rang \(1\) et \(u_0=\frac{1}{2}\le2\) ; elle est donc majorée par \(2\) sur tous ses rangs.

Le théorème de convergence monotone affirme que toute suite croissante et majorée converge vers un réel \(\ell\le2\). Pour une conclusion enrichie, la continuité de \(f\) sur \([0,2]\) permet le passage à la limite dans la récurrence : \(\ell=\frac{2\ell+1}{\ell+1}\). Ainsi \(\ell^2-\ell-1=0\), et comme \(\ell\ge1\), la seule valeur compatible est \(\ell=\frac{1+\sqrt5}{2}\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{1+\sqrt5}{2}}\]

Interprétation — Une suite croissante ne converge pas par sa seule monotonie : une borne supérieure est indispensable.

MATHS PARCOURS MAROC

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