Correction des exercices 13 à 17 — Suites numériques — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 13 à 17 — Suites numériques — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Suites numériques • Exercices d’application

Les exercices 13 à 17 du manuel Al Moufid approfondissent l’étude des suites récurrentes : suites auxiliaires, monotonie, encadrements, convergence et sommes.

La récurrence et le passage à la limite sont justifiés aux rangs et sur les intervalles appropriés. L’exercice 16 comporte une erreur d’énoncé, signalée explicitement avant la correction.

Repères de cours — Suites numériques

Pour \(u_{n+1}=f(u_n)\), montrer d’abord que les termes restent dans un intervalle où \(f\) est définie. Le théorème de convergence monotone exige monotonie et borne. Si \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell=f(\ell)\).

Exercice 13 — Suite affine récurrente et somme partielle

On pose \(u_0=\frac54\) et \(u_{n+1}=\frac14u_n+\frac32\), pour \(n\ge0\).

1.a — Majoration stricte

Établir \(u_n<2\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Faire une récurrence en vérifiant que la relation affine préserve la condition \(u_n<2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Initialisation : \(u_0=\frac{5}{4}<2\). La propriété est vraie au rang zéro.

Hérédité : supposons \(u_n<2\) pour un certain \(n\ge0\). Comme \(\frac{1}{4}>0\), on a \(u_{n+1}=\frac14u_n+\frac32<\frac14\times2+\frac32=2\). Par récurrence, tous les termes restent strictement inférieurs à \(2\).

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_n<2}\]

Interprétation — La comparaison stricte avec le point fixe permettra ensuite d'étudier le signe de la différence.

1.b — Monotonie et convergence

Étudier le sens de variation de \((u_n)\), puis décider si elle converge.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour tout \(n\), on calcule \(u_{n+1}-u_n=\frac14u_n+\frac32-u_n=\frac34(2-u_n)\).

D’après 1.a, \(2-u_n>0\), donc \(u_{n+1}-u_n>0\) : la suite est strictement croissante. Comme elle est majorée par \(2\), le théorème de convergence monotone établit sa convergence.

\[\boxed{(u_n)\text{ strictement croissante et convergente}}\]

Interprétation — La monotonie et la borne ne doivent pas être confondues avec la valeur de la limite.

2.a — Suite auxiliaire géométrique

En posant \(v_n=u_n-2\), montrer que \((v_n)\) est géométrique.

Méthode — Soustraire le point fixe \(2\) de la relation de récurrence pour obtenir une suite auxiliaire.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On soustrait \(2\) à la relation de récurrence : \(v_{n+1}=u_{n+1}-2=\frac14u_n+\frac32-2=\frac14(u_n-2)=\frac14v_n\).

La raison est donc \(q=\frac{1}{4}\). Son premier terme est \(v_0=u_0-2=\frac54-2=-\frac34\).

\[\boxed{v_{n+1}=\frac14v_n,\quad v_0=-\frac34}\]

Interprétation — Le choix \(v_n=u_n-2\) élimine le terme constant de la récurrence affine.

2.b — Expression explicite et limite

Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer sa limite.

Méthode — Utiliser l'expression géométrique de \(v_n\), puis revenir à \(u_n=v_n+2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La suite géométrique obtenue donne \(v_n=v_0q^n=-\frac34(\frac14)^n\) pour tout \(n\ge0\).

Comme \(u_n=v_n+2\), on en déduit \(u_n=2-\frac34(\frac14)^n\). La raison \(\frac{1}{4}\) étant comprise entre \(0\) et \(1\), le terme géométrique tend vers zéro.

\[\boxed{u_n=2-\frac34\left(\frac14\right)^n,\quad \lim_{n\to+\infty} u_n=2}\]

Interprétation — La formule explicite fournit une seconde démonstration de la convergence obtenue par monotonie.

3.a — Somme des \(n\) premiers termes

Pour \(n\ge1\), \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}\). Vérifier \(S_n=2n-1+(\frac14)^n\).

Méthode — Substituer la formule explicite de \(u_k\) dans la somme et contrôler les bornes \(k=0\) à \(k=n-1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En utilisant l’expression explicite, \(S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(2-\frac34(\frac14)^k\right)=2n-\frac34\sum_{k=0}^{n-1}(\frac14)^k\).

La somme géométrique contient exactement \(n\) termes et vaut \(\sum_{k=0}^{n-1}(\frac14)^k=\frac{1-(\frac{1}{4})^n}{1-\frac{1}{4}}=\frac43[1-(\frac{1}{4})^n]\). Ainsi \(S_n=2n-[1-(\frac{1}{4})^n]\).

\[\boxed{S_n=2n-1+\left(\frac14\right)^n}\]

3.b — Limite de la somme

Déterminer \(\lim_{n\to+\infty}S_n\).

Méthode — Décomposer la somme en terme affine et terme géométrique, puis étudier leurs limites.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On sait que \(\lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{4})^n=0\) et que \(\lim_{n\to+\infty}2n-1=+\infty\).

Une suite tendant vers \(+\infty\) augmentée d’une suite convergeant vers zéro garde la limite \(+\infty\). Ainsi la suite des sommes partielles diverge vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty}\]

Interprétation — Le terme qui grandit linéairement domine la correction géométrique bornée.

Exercice 14 — Homographie, suite géométrique et somme

On définit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}\). Ensuite, on introduit \(v_n=\frac{u_n+1}{u_n-2}\) et \(S_n=\sum_{k=0}^{n}v_k\).

1 — Deux premiers termes

Calculer \(u_0\) et \(u_1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le premier terme est donné : \(u_0=1\). Le dénominateur \(u_0+2=3\) est non nul.

On remplace dans la relation : \(u_1=\frac{3\times1+2}{1+2}=\frac53\).

\[\boxed{u_0=1,\quad u_1=\frac53}\]

2 — Intervalle stable

Établir \(1\le u_n<2\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Prouver par récurrence que l'intervalle \([1,2[\) est stable par la fonction homographique.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Initialisation : \(u_0=1\) appartient à \([1,2[\). Supposons \(1\le u_n<2\) pour un rang \(n\ge0\).

Pour \(x\in[1,2[\), on a \(x+2>0\), \(f(x)-1=\frac{2x}{x+2}>0\), et \(2-f(x)=\frac{2-x}{x+2}>0\), avec \(f(x)=\frac{3x+2}{x+2}\). Donc \(1<f(x)<2\).

En particulier \(1<u_{n+1}<2\). Par récurrence, \(1\le u_n<2\) pour tous les rangs.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad 1\le u_n<2}\]

Interprétation — Les bornes du segment doivent être étudiées avec les inégalités strictes à leur juste place.

3 — Sens de variation et convergence

Étudier la monotonie de \((u_n)\) puis justifier sa convergence.

Méthode — Calculer \(f(x)-x\) sur l'intervalle stable, puis combiner le signe obtenu avec la borne supérieure.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour tout \(x\in[1,2[\), \(f(x)-x=\frac{3x+2-x(x+2)}{x+2}=\frac{(2-x)(x+1)}{x+2}\).

Les trois facteurs \(2-x\), \(x+1\) et \(x+2\) sont positifs sur cet intervalle. Donc \(u_{n+1}-u_n>0\) pour tous les rangs. La suite est strictement croissante et majorée par \(2\), donc convergente par le théorème de convergence monotone.

\[\boxed{(u_n)\text{ croissante et convergente}}\]

Interprétation — L'étude de \(f(x)-x\) se traduit directement en variation de la suite \(u_{n+1}=f(u_n)\).

4.a — Suite auxiliaire géométrique

Montrer que \(v_n=\frac{u_n+1}{u_n-2}\) est définie et géométrique ; préciser raison et premier terme.

Méthode — Contrôler d'abord \(u_n\ne2\), puis calculer \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) à partir de l'homographie.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La question 2 donne \(u_n<2\), donc \(u_n-2\neq0\) : \(v_n\) est bien définie.

Pour \(x\neq-2,2\), \(\frac{f(x)+1}{f(x)-2}=\frac{(3x+2)+(x+2)}{(3x+2)-2(x+2)}=4\frac{x+1}{x-2}\). D’où \(v_{n+1}=4v_n\).

On a \(v_0=\frac{1+1}{1-2}=-2\). Ainsi \((v_n)\) est géométrique de raison \(4\), de premier terme \(-2\).

\[\boxed{v_{n+1}=4v_n,\quad v_0=-2}\]

Interprétation — Une suite auxiliaire quotient peut simplifier une récurrence homographique en récurrence géométrique.

4.b — Expression de \(v_n\)

Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Méthode — Appliquer la formule d'une suite géométrique à partir du rang \(0\) et de la raison déterminée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Une suite géométrique de raison \(4\), initialisée au rang \(0\) par \(-2\), vérifie \(v_n=v_0\,4^n\).

En remplaçant \(v_0\) par \(-2\), on obtient la formule explicite, valable pour chaque entier naturel \(n\).

\[\boxed{v_n=-2\cdot4^n}\]

Interprétation — Le bon indice initial est essentiel : \(v_n=v_0q^n\) et non \(v_0q^{n-1}\).

4.c — Limite de \(u_n\)

En utilisant \(v_n\), déterminer \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Méthode — Isoler \(u_n\) dans la relation définissant \(v_n\) avant de passer à la limite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Partons de \(v_n=\frac{u_n+1}{u_n-2}\). L’égalité \(v_n(u_n-2)=u_n+1\) conduit à \((v_n-1)u_n=2v_n+1\), donc \(u_n=\frac{2v_n+1}{v_n-1}\).

Comme \(v_n=-2\cdot4^n\), on a \(u_n=\frac{4^{n+1}-1}{2\cdot4^n+1}=\frac{4-4^{-n}}{2+4^{-n}}\). La dernière fraction tend vers \(\frac{4}{2}=2\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=2}\]

5 — Somme géométrique des \(v_k\)

Calculer \(S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n\), puis sa limite.

Méthode — Remplacer chaque \(v_k\) par son expression géométrique et employer la somme des \(n+1\) premiers termes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La somme contient \(n+1\) termes de la suite géométrique \(v_k=-2\cdot4^k\). On a donc \(S_n=-2\sum_{k=0}^{n}4^k=-2\frac{4^{n+1}-1}{4-1}\).

D’où \(S_n=-\frac23(4^{n+1}-1)\). Puisque \(\lim_{n\to+\infty}4^{n+1}=+\infty\), le signe négatif impose la divergence vers \(-\infty\).

\[\boxed{S_n=-\frac23(4^{n+1}-1),\quad\lim_{n\to+\infty} S_n=-\infty}\]

Interprétation — Le nombre de termes va de \(0\) à \(n\), donc il est égal à \(n+1\).

Exercice 15 — Récurrence homographique et suite arithmétique

La suite \((u_n)\) vérifie \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\frac{5u_n}{3u_n+5}\), pour \(n\ge0\). On pose ensuite \(v_n=\frac5{u_n}\).

1.a — Positivité par récurrence

Prouver que \(u_n>0\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Initialiser la positivité au rang zéro, puis étudier séparément le signe du numérateur et du dénominateur de la récurrence.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Initialisation : \(u_0=1>0\). Supposons \(u_n>0\) pour un entier \(n\ge0\).

Alors le numérateur \(5u_n\) est strictement positif et le dénominateur \(3u_n+5\) aussi. Ainsi \(u_{n+1}=\frac{5u_n}{3u_n+5}>0\). La propriété est vraie pour tout \(n\) par récurrence.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_n>0}\]

Interprétation — La positivité obtenue garantit que tous les termes suivants sont bien définis.

1.b — Décroissance

Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

Méthode — Calculer la différence \(u_{n+1}-u_n\), puis établir son signe avec la positivité prouvée.

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Comme \(u_n>0\), la différence s’écrit \(u_{n+1}-u_n=\frac{5u_n}{3u_n+5}-u_n=\frac{-3u_n^2}{3u_n+5}\).

Le numérateur est strictement négatif et le dénominateur strictement positif. Par conséquent \(u_{n+1}-u_n<0\) pour tout \(n\ge0\), et la suite est strictement décroissante.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_{n+1}<u_n}\]

Interprétation — On ne déduit pas la monotonie d'un simple examen numérique des premiers termes.

1.c — Convergence

En déduire la convergence de \((u_n)\).

Méthode — Utiliser la décroissance et la minoration par zéro, puis appliquer le théorème de convergence monotone.

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La suite est strictement décroissante par la question 1.b. Elle est minorée par \(0\) grâce à la positivité de tous ses termes.

Par le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge. Il existe donc \(\ell\ge0\) tel que \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\).

\[\boxed{(u_n)\text{ convergente vers }\ell\ge0}\]

Interprétation — La preuve de convergence précède toute recherche éventuelle de la valeur limite.

2.a — Suite arithmétique auxiliaire

Prouver que \(v_n=\frac5{u_n}\) est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme.

Méthode — Inverser la relation de récurrence en contrôlant \(u_n\ne0\), puis calculer \(v_{n+1}-v_n\).

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La positivité de \(u_n\) garantit que \(v_n=\frac5{u_n}\) est définie. On utilise directement la relation de récurrence.

On calcule \(v_{n+1}=\frac5{u_{n+1}}=\frac{5(3u_n+5)}{5u_n}=3+\frac5{u_n}=v_n+3\). La raison est donc \(3\) et le premier terme \(v_0=5/u_0=5\).

\[\boxed{v_{n+1}=v_n+3,\quad v_0=5}\]

Interprétation — Une transformation en inverse transforme ici la relation fractionnaire en progression arithmétique.

2.b — Formule explicite

Exprimer \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).

Méthode — Employer la formule de la suite arithmétique au bon premier rang, puis inverser la relation entre \(u_n\) et \(v_n\).

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La formule d’une suite arithmétique de raison \(3\), commençant au rang \(0\), est \(v_n=v_0+3n=5+3n\).

Comme \(v_n=\frac5{u_n}\), on inverse la relation (les termes sont strictement positifs) : \(u_n=\frac5{v_n}=\frac5{5+3n}\).

\[\boxed{v_n=5+3n,\quad u_n=\frac5{5+3n}}\]

Interprétation — La formule explicite permet de vérifier directement les propriétés trouvées par récurrence.

2.c — Limite

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Méthode — Revenir à l'expression rationnelle explicite de \(u_n\) et comparer les degrés.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

À l’aide de l’expression explicite, \(u_n=\frac5{5+3n}=\frac{\frac{5}{n}}{\frac{5}{n}+3}\) pour \(n\ge1\).

Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(3\neq0\). La limite est donc \(0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Interprétation — Ce calcul confirme la convergence sans utiliser une équation du point fixe non justifiée.

Exercice 16 — Récurrence quadratique et correction d’une coquille

On considère \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n^2+u_n\). Attention : le manuel comporte ici deux affirmations contradictoires ; les énoncés exacts sont clarifiés au fil des questions.

1 — Positivité par récurrence

Montrer que \(u_n>0\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Effectuer une récurrence : initialiser \(u_0>0\), puis factoriser \(u_{n+1}=u_n(u_n+1)\).

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Initialisation : \(u_0=1>0\). Supposons \(u_n>0\) à un certain rang \(n\).

Comme \(u_{n+1}=u_n(u_n+1)\) et que \(u_n>0\), \(u_n+1>0\), le produit est strictement positif. La propriété est ainsi démontrée par récurrence.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_n>0}\]

Interprétation — La positivité garantit la croissance stricte de la suite à la question suivante.

2 — Correction : croissance stricte

Le manuel demande une « décroissance ». Cette assertion est fausse pour les données : établir la croissance stricte correcte.

Coquille du manuel — « Montrer que la suite est strictement décroissante ».

Correction adoptée — la suite est strictement croissante.

Méthode — Tester l'affirmation imprimée au premier rang, puis étudier le signe exact de \(u_{n+1}-u_n\).

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Attention. En réalité \(u_1=u_0^2+u_0=2>1=u_0\). Une décroissance serait déjà contredite au premier rang ; il ne faut donc pas en fabriquer une démonstration.

Pour tout \(n\ge0\), \(u_{n+1}-u_n=u_n^2>0\), puisque la question 1 garantit \(u_n>0\). La suite est donc strictement croissante.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_{n+1}>u_n}\]

Interprétation — L'énoncé imprimé demande une décroissance impossible ; il faut signaler et corriger cette contradiction.

3.a — Correction d’une inégalité stricte

Le manuel imprime \(u_n>2^n\) pour tout \(n\ge0\). Montrer la version exacte \(u_n\ge2^n\), avec \(u_n>2^n\) lorsque \(n\ge2\).

Coquille du manuel — « Montrer que uₙ > 2ⁿ pour tout n ≥ 0 ».

Correction adoptée — uₙ ≥ 2ⁿ pour n ≥ 0, et uₙ > 2ⁿ pour n ≥ 2.

Méthode — Tester la stricte inégalité aux petits rangs, puis utiliser \(u_{n+1}=u_n(u_n+1)\) pour une minoration par une puissance de \(2\).

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Attention. \(u_0=1=2^0\) et \(u_1=2=2^1\), donc le signe strict du manuel ne convient pas aux deux premiers rangs.

Comme \(u_0=1\), la croissance stricte donne \(u_n\ge1\) pour tout \(n\). On a donc \(u_{n+1}=u_n(u_n+1)\ge2u_n\). Par récurrence à partir de \(u_0=1=2^0\), on en déduit \(u_n\ge2^n\) pour tout \(n\ge0\).

Pour \(n=1\), \(u_1=2\), puis \(u_2=6>4=2^2\). Dès qu’un terme vérifie \(u_n>2^n\) avec \(n\ge2\), on a \(u_{n+1}\ge2u_n>2^{n+1}\). La stricte inégalité est donc vraie pour \(n\ge2\).

\[\boxed{u_n\ge2^n\ (n\ge0),\qquad u_n>2^n\ (n\ge2)}\]

Interprétation — L'inégalité large est vraie à tous les rangs, mais l'inégalité stricte commence plus tard.

3.b — Limite de la suite

Déterminer \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Méthode — Appliquer la comparaison avec \(2^n\) une fois la minoration corrigée démontrée.

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La minoration \(u_n\ge2^n\) a été établie à tous les rangs. La suite géométrique \((2^n)\) tend vers \(+\infty\), puisque sa raison est strictement supérieure à \(1\).

Par le théorème de comparaison des limites infinies, la suite \((u_n)\) tend donc vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\]

Interprétation — Un minorant qui tend vers \(+\infty\) impose la divergence positive.

Exercice 17 — Récurrence avec radical et convergence vers un point fixe

La suite est donnée par \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}\) pour \(n\ge0\).

1 — Encadrement invariant

Montrer par récurrence que \(0\le u_n\le4\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Initialiser au rang zéro et montrer que la fonction \(x\mapsto\sqrt{x+12}\) conserve \([0,4]\).

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Initialisation : \(u_0=3\in[0,4]\). Supposons \(0\le u_n\le4\) pour un certain rang \(n\).

Alors \(12\le u_n+12\le16\). Par croissance de la racine carrée, \(\sqrt{12}\le\sqrt{u_n+12}\le4\). En particulier \(0\le u_{n+1}\le4\). Par récurrence, \([0,4]\) contient tous les termes.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad 0\le u_n\le4}\]

Interprétation — La stabilité d'un intervalle sert à justifier à la fois l'existence des termes et leurs bornes.

2.a — Formule de la différence

En rationalisant, démontrer \(u_{n+1}-u_n=-\frac{(u_n-4)(u_n+3)}{\sqrt{u_n+12}+u_n}\).

Méthode — Rationaliser \(\sqrt{u_n+12}-u_n\), puis factoriser le numérateur obtenu.

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La différence vaut \(u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n+12}-u_n\). Le dénominateur \(\sqrt{u_n+12}+u_n\) est strictement positif car \(u_n\ge0\).

On multiplie par la quantité conjuguée : \(u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+12-u_n^2}{\sqrt{u_n+12}+u_n}=\frac{-(u_n-4)(u_n+3)}{\sqrt{u_n+12}+u_n}\).

\[\boxed{u_{n+1}-u_n=-\frac{(u_n-4)(u_n+3)}{\sqrt{u_n+12}+u_n}}\]

Interprétation — Le dénominateur doit être strictement positif pour discuter correctement le signe.

2.b — Croissance et convergence

Déduire de la différence que la suite est monotone et convergente.

Méthode — Étudier le signe de la différence obtenue, puis appliquer le théorème de convergence monotone avec la majoration.

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Pour \(u_n\in[0,4]\), on a \(u_n-4\le0\) et \(u_n+3>0\). Le signe moins devant leur produit assure \(u_{n+1}-u_n\ge0\).

La suite est donc croissante. Elle est majorée par \(4\) grâce à la question 1. Le théorème de convergence monotone permet de conclure à sa convergence.

\[\boxed{(u_n)\text{ croissante, majorée par }4,\text{ donc convergente}}\]

Interprétation — Cette méthode évite d'annoncer la convergence à partir de l'existence d'un point fixe.

3.a — Contrôle de l’écart à 4

Montrer que \(|u_{n+1}-4|\le\frac14|u_n-4|\).

Méthode — Rationaliser \(\sqrt{u_n+12}-4\) et minorer le nouveau dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On rationalise la différence avec le point fixe \(4\) : \(u_{n+1}-4=\sqrt{u_n+12}-4=\frac{u_n-4}{\sqrt{u_n+12}+4}\).

Le dénominateur est au moins \(4\), car \(\sqrt{u_n+12}\ge0\). Ainsi \(|u_{n+1}-4|=\frac{|u_n-4|}{\sqrt{u_n+12}+4}\le\frac14|u_n-4|\).

\[\boxed{|u_{n+1}-4|\le\frac14|u_n-4|}\]

Interprétation — L'inégalité sur l'écart à \(4\) quantifie la vitesse de rapprochement de la suite.

3.b — Majoration géométrique de l’écart

En déduire \(|u_n-4|\le(\frac14)^n\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Faire une récurrence en itérant le facteur de contraction \(\frac{1}{4}\) et en contrôlant l'écart initial.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On définit la proposition \(P(n):|u_n-4|\le(\frac{1}{4})^n\). Elle est vraie au rang zéro car \(|u_0-4|=|3-4|=1=(\frac{1}{4})^0\).

Supposons \(P(n)\). En appliquant 3.a, \(|u_{n+1}-4|\le\frac14|u_n-4|\le\frac14(\frac{1}{4})^n=(\frac{1}{4})^{n+1}\). Par récurrence, l’inégalité est vraie pour tout \(n\ge0\).

\[\boxed{|u_n-4|\le\left(\frac14\right)^n}\]

Interprétation — La borne géométrique reste valable à tous les rangs grâce à une hérédité explicite.

3.c — Limite de la suite

En déduire \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Méthode — Encadrer \(|u_n-4|\) entre \(0\) et la borne géométrique issue de 3.b.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(0<\frac{1}{4}<1\), \(\lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{4})^n=0\). L’inégalité \(0\le|u_n-4|\le(\frac{1}{4})^n\) entraîne \(\lim_{n\to+\infty}|u_n-4|=0\) par encadrement.

Cette convergence de la distance à \(4\) équivaut à \(\lim_{n\to+\infty}u_n=4\). Elle confirme le point fixe positif de la relation \(\ell=\sqrt{\ell+12}\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=4}\]

Interprétation — La convergence vers \(4\) résulte ici d'un encadrement, pas d'une supposition sur le point fixe.

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