Correction des exercices 18 à 22 — Suites numériques — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 18 à 22 — Suites numériques — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Suites numériques • Exercices d’application

Les exercices 18 à 22 du manuel Al Moufid associent limites usuelles, fonctions continues et suites récurrentes. La démarche repose sur le contrôle du domaine de définition, l’encadrement et les théorèmes de convergence.

L’équation du point fixe sert à déterminer une limite déjà établie, et non à démontrer à elle seule que la suite converge.

Repères de cours — Suites numériques

Pour une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\), contrôler le domaine, la stabilité, la monotonie et l’existence d’une limite avant de résoudre \(\ell=f(\ell)\). La continuité de \(f\) au point limite doit être justifiée.

Exercice 18 — Limites par composition et limite trigonométrique

Déterminer les limites des huit suites proposées. Chaque expression est définie pour les entiers \(n\) suffisamment grands lorsque certaines valeurs initiales ne sont pas admises.

1 — Radical d’un quotient

\(u_n=\sqrt{\frac{3n-4}{2n+1}}\).

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Pour \(n\ge2\), le quotient sous la racine est positif. En divisant par \(n\), \(\frac{3n-4}{2n+1}=\frac{3-\frac{4}{n}}{2+\frac{1}{n}},\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-4}{2n+1}=\frac32>0\).

La fonction racine carrée est continue en \(\frac{3}{2}\). La limite du radical est donc la racine de la limite du quotient.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\sqrt{\frac32}}\]

Interprétation — La continuité de la racine carrée ne s'applique qu'à des termes où le radical est défini.

2 — Limite trigonométrique fondamentale

\(u_n=n^2\sin(\frac1n)\).

Méthode — Introduire \(t_n=\frac{1}{n}\), puis utiliser la limite fondamentale de \(\frac{\sin t}{t}\) au voisinage de zéro.

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Pour \(n\ge1\), \(u_n=n\,\frac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}\). Comme \(\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0\), la limite fondamentale \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1\) donne un second facteur tendant vers \(1>0\).

Le premier facteur \(n\) tend vers \(+\infty\). Le produit tend donc vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}\]

Interprétation — Le produit peut être réécrit sans employer de développement limité, qui n'est pas exigible ici.

3 — Continuité du sinus

\(u_n=\sin\!\left(\frac\pi3+\frac1n\right)\).

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L’argument vérifie \(\lim_{n\to+\infty}\frac\pi3+\frac1n=\frac\pi3\), puisque \(\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0\).

La fonction sinus est continue sur \(\mathbb R\). Le passage à la limite donne \(\sin(\frac\pi3)=\frac{\sqrt3}2\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{\sqrt3}{2}}\]

4 — Continuité du cosinus

\(u_n=\cos\!\left(\frac{n\pi-3}{2n+1}\right)\).

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Pour \(n\ge1\), on divise numérateur et dénominateur par \(n\) : \(\frac{n\pi-3}{2n+1}=\frac{\pi-\frac{3}{n}}{2+\frac{1}{n}},\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{n\pi-3}{2n+1}=\frac\pi2\).

Par continuité du cosinus sur \(\mathbb R\), \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\cos(\frac\pi2)=0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}\]

5 — Produit indéterminé et cosinus

\(u_n=4^n\left(1-\cos\!\left((\frac12)^n\right)\right)\).

Méthode — Faire apparaître \(\frac{1-\cos t_n}{t_n^2}\) avec \(t_n=(\frac{1}{2})^n\), puis utiliser la limite trigonométrique du cours.

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Posons \(t_n=(\frac{1}{2})^n>0\). Alors \(\lim_{n\to+\infty}t_n=0\) et \(4^n=\frac1{t_n^2}\). On transforme donc \(u_n=\frac{1-\cos t_n}{t_n^2}\).

La limite fondamentale \(\lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12\), qui se justifie aussi par \(1-\cos t=2\sin^2(\frac t2)\) et \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\), donne la valeur annoncée.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac12}\]

Interprétation — La compensation entre \(4^n\) et le carré de \((\frac{1}{2})^n\) lève la forme indéterminée.

6 — Racine d’une différence de puissances

\(u_n=\sqrt{3^n-2^n}\).

Méthode — Factoriser \(3^n\) sous la racine carrée puis contrôler le signe de \(1-(\frac{2}{3})^n\).

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Comme \(3>2>0\), pour tout \(n\ge1\), \(3^n-2^n=3^n\bigl(1-(\frac23)^n\bigr)\ge0\).

Puisque \(\lim_{n\to+\infty}(\frac{2}{3})^n=0\), la parenthèse tend vers \(1>0\), tandis que \(\lim_{n\to+\infty}3^n=+\infty\). Le produit sous le radical tend donc vers \(+\infty\), et sa racine carrée aussi.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty}\]

Interprétation — Il faut établir la positivité du radicande avant de calculer la limite.

7 — Produit avec tangente

\(u_n=\frac{6n}{2n-5}\tan\!\left(\frac{\pi n+7}{6n-1}\right)\).

Méthode — Déterminer la limite de l'argument de la tangente et celle du facteur rationnel, puis vérifier la continuité de \(\tan\) au point limite.

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Pour \(n\) assez grand, le dénominateur \(2n-5\) est non nul. On calcule \(\frac{6n}{2n-5}=\frac6{2-\frac{5}{n}},\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{6n}{2n-5}=3\). De même \(\frac{\pi n+7}{6n-1}=\frac{\pi+\frac{7}{n}}{6-\frac{1}{n}},\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{\pi n+7}{6n-1}=\frac\pi6\).

La tangente est continue en \(\frac\pi6\) puisque \(\cos(\frac\pi6)\neq0\). Ainsi \(\lim_{n\to+\infty}\tan(\frac{\pi n+7}{6n-1})=\tan(\frac\pi6)=\frac1{\sqrt3}\). Par produit, la limite est \(\frac3{\sqrt3}=\sqrt3\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\sqrt3}\]

8 — Valeur absolue et racine cubique

\(u_n=\sqrt[3]{\left|\frac{-2n+1}{n+1}\right|}\).

Méthode — Calculer d'abord la limite du quotient signé, puis passer à la valeur absolue et à la racine cubique par continuité.

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Attention. La valeur absolue visible dans l’énoncé change le signe de la limite intérieure ; il ne faut pas la supprimer.

En divisant par \(n\), on obtient \(\frac{-2n+1}{n+1}=\frac{-2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}},\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{-2n+1}{n+1}=-2\). Sa valeur absolue tend donc vers \(2\). La fonction racine cubique étant continue sur \(\mathbb R\), la limite vaut \(\sqrt[3]{2}\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=\sqrt[3]{2}}\]

Interprétation — Omettre la valeur absolue changerait le signe du résultat final.

Exercice 19 — Fonction croissante et récurrence par racine cubique

Sur \(I=[0,2]\), \(f(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}\). On définit \(u_0=\frac12\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).

1 — Continuité et stricte croissance de \(f\)

Démontrer que \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0,2]\).

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La fonction \(x\mapsto x^2+2x\) est polynomiale, donc continue. La racine cubique est continue sur \(\mathbb R\). Leur composée \(f\) est continue sur \([0,2]\).

Si \(0\le x<y\le2\), alors \((y^2+2y)-(x^2+2x)=(y-x)(x+y+2)>0\). La racine cubique étant strictement croissante, \(f(x)<f(y)\).

\[\boxed{f\text{ continue et strictement croissante sur }[0,2]}\]

Interprétation — La continuité et la monotonie de la racine cubique s'appliquent à tous les réels.

2 — Image de l’intervalle

Déterminer \(f(I)\).

Méthode — Utiliser la continuité et la stricte croissance de \(f\) sur le segment ; calculer précisément les deux images des bornes.

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La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur le segment \([0,2]\). L’image de ce segment est donc le segment compris entre les images de ses bornes.

On a \(f(0)=\sqrt[3]0=0\) et \(f(2)=\sqrt[3]{4+4}=\sqrt[3]8=2\). Ainsi \(f([0,2])=[0,2]\).

\[\boxed{f([0,2])=[0,2]}\]

Interprétation — Pour une fonction continue croissante sur un segment, l'image est le segment formé par les images de ses extrémités.

3.a — Stabilité de l’intervalle

Prouver par récurrence \(0\le u_n\le2\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Initialiser \(u_0\in I\), puis utiliser la stabilité \(f(I)\subset I\) dans l'hérédité.

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Initialisation : \(u_0=\frac{1}{2}\in[0,2]\). Supposons \(u_n\in[0,2]\) pour un entier \(n\ge0\).

La question 2 établit \(f([0,2])=[0,2]\). Par conséquent \(u_{n+1}=f(u_n)\in[0,2]\). Par récurrence, tous les termes demeurent dans cet intervalle.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad0\le u_n\le2}\]

Interprétation — Le contrôle de stabilité donne un encadrement valable pour chaque terme de la récurrence.

3.b — Monotonie croissante

Montrer que \((u_n)\) est croissante.

Méthode — Comparer \(f(x)\) à \(x\) sur \(I\) en exploitant le signe de \(x^2+2x-x^3\).

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Pour \(x\in[0,2]\), on a \(x^2+2x-x^3=x(2-x)(x+1)\ge0\). La racine cubique étant croissante, \(f(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}\ge\sqrt[3]{x^3}=x\).

Comme tous les \(u_n\) appartiennent à \([0,2]\), on peut appliquer cette propriété à \(x=u_n\) : \(u_{n+1}=f(u_n)\ge u_n\). Ainsi \((u_n)\) est croissante, et même strictement croissante tant que \(0<u_n<2\).

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_{n+1}\ge u_n}\]

Interprétation — Il faut tenir compte du domaine \([0,2]\) pour établir le signe du polynôme factorisé.

3.c — Convergence

En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

Méthode — Réunir l'information de croissance et la majoration par \(2\), puis citer le théorème de convergence monotone.

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La question 3.b montre que \((u_n)\) est croissante, et 3.a qu’elle est majorée par \(2\).

Le théorème de convergence monotone s’applique. Il existe donc un réel \(\ell\in[\frac{1}{2},2]\) tel que \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in[\frac{1}{2},2]}\]

Interprétation — La borne supérieure rend ce théorème applicable à une suite croissante.

3.d — Valeur de la limite

Calculer la limite de \((u_n)\).

Méthode — La convergence étant acquise, utiliser la continuité de \(f\) au point limite pour écrire l'équation du point fixe.

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Puisque \(f\) est continue en \(\ell\in[0,2]\) et que \(u_{n+1}=f(u_n)\), on peut passer à la limite : \(\ell=\sqrt[3]{\ell^2+2\ell}\).

Après élévation au cube, \(\ell^3-\ell^2-2\ell=\ell(\ell-2)(\ell+1)=0\), donc \(\ell\in\{-1,0,2\}\). Or \(\ell\in[\frac{1}{2},2]\), car la suite croît depuis \(u_0=\frac{1}{2}\). Le seul candidat admissible est \(2\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=2}\]

Interprétation — Les solutions algébriques possibles doivent encore être départagées grâce à l'encadrement de la suite.

Exercice 20 — Récurrence polynomiale et convergence vers zéro

Sur \(I=[0,\frac14]\), on considère \(f(x)=x^2+\frac34x\) et \(u_0=\frac15\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

1 — Image de l’intervalle

Déterminer \(f(I)\).

Méthode — Étudier la variation de la fonction polynomiale sur \([0,\frac{1}{4}]\) puis évaluer les images des bornes.

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Pour \(0\le x<y\le1/4\), \(f(y)-f(x)=(y-x)(x+y+\frac{3}{4})>0\). La fonction est donc strictement croissante sur \(I\), et elle est continue puisqu’elle est polynomiale.

De plus \(f(0)=0\) et \(f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}\). Par continuité et croissance, l’image du segment est \([0,\frac{1}{4}]\).

\[\boxed{f(I)=[0,\frac14]}\]

2.a — Intervalle invariant

Démontrer \(0\le u_n\le\frac14\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Vérifier le terme initial dans \(I\) et transmettre l'appartenance à \(I\) par la récurrence.

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Initialisation : \(u_0=\frac{1}{5}\in[0,\frac{1}{4}]\). Supposons \(u_n\in I\) à un rang \(n\).

La question 1 donne \(f(I)=I\), donc \(u_{n+1}=f(u_n)\in I\). La propriété est vraie pour tout entier \(n\) par récurrence.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad0\le u_n\le\frac14}\]

Interprétation — La propriété \(f(I)\subset I\) ne suffit pas sans l'initialisation au bon rang.

2.b — Sens de variation

Étudier la monotonie de la suite.

Méthode — Factoriser \(f(x)-x\) et utiliser les deux bornes de l'intervalle invariant pour étudier le signe.

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On calcule pour chaque \(x\in I\) : \(f(x)-x=x^2+\frac34x-x=x(x-\frac14)\le0\), puisque \(x\ge0\) et \(x-\frac{1}{4}\le0\).

Pour chaque terme \(u_n\in I\), \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\le0\). La suite est donc décroissante.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_{n+1}\le u_n}\]

Interprétation — Une inégalité sur \(f(x)-x\) se traduit par l'inégalité correspondante entre deux termes successifs.

2.c — Convergence

Justifier que \((u_n)\) converge.

Méthode — Citer le sens de variation démontré et la minoration par zéro, puis appliquer le théorème de convergence monotone.

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La suite est décroissante d’après 2.b. Elle est minorée par \(0\) d’après 2.a.

En appliquant le théorème de convergence monotone, on obtient la convergence vers un réel \(\ell\) tel que \(0\le\ell\le u_0=\frac{1}{5}\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in[0,\frac15]}\]

Interprétation — La preuve des deux hypothèses doit précéder la conclusion de convergence.

2.d — Limite de la suite

Calculer la limite \(\ell\).

Méthode — Appliquer la continuité de \(f\) à la limite déjà obtenue et résoudre \(\ell=f(\ell)\) en tenant compte des bornes.

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La fonction polynomiale \(f\) est continue en \(\ell\). En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on a \(\ell=\ell^2+\frac34\ell\), soit \(\ell(\ell-\frac{1}{4})=0\).

Les points fixes sont \(0\) et \(\frac{1}{4}\). Comme \(0\le\ell\le1/5<\frac{1}{4}\), la seule limite compatible est \(0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Interprétation — La résolution du point fixe seule ne permettrait pas d'affirmer la convergence de la suite.

Exercice 21 — Point fixe et convergence d’une suite rationnelle

Sur \(I=]1,+\infty[\), on définit \(g(x)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}\), puis \(u_0=5\), \(u_{n+1}=g(u_n)\).

1 — Minoration de \(g\)

Montrer que \(g(x)\ge3\) pour chaque \(x>1\).

Méthode — Ramener la minoration de \(g\) à une différence algébrique et vérifier la positivité du dénominateur pour \(x>1\).

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Comme \(x>1\), le dénominateur \(x-1\) est strictement positif. On peut comparer directement \(g(x)\) à \(3\).

On obtient \(g(x)-3=\frac{x^2-3x+6-3(x-1)}{x-1}=\frac{(x-3)^2}{x-1}\ge0\). L’inégalité est donc démontrée, avec égalité pour \(x=3\).

\[\boxed{\forall x>1,\quad g(x)\ge3}\]

2.a — Minoration des termes

Établir par récurrence \(u_n\ge3\) pour tout \(n\ge1\).

Méthode — Initialiser au rang demandé, puis utiliser l'invariance de la demi-droite \([3,+\infty[\) par \(g\).

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Au rang zéro, on dispose déjà de \(u_0=5\ge3\). Comme \(u_0>1\), la question 1 donne \(u_1=g(u_0)\ge3\).

Supposons \(u_n\ge3\) pour un rang \(n\ge1\). Alors \(u_n>1\), et la propriété de \(g\) donne \(u_{n+1}=g(u_n)\ge3\). On conclut par récurrence.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_n\ge3}\]

Interprétation — L'information \(u_0=5\) doit être exploitée même si l'énoncé ne demande la propriété qu'à partir du rang \(1\).

2.b — Monotonie de la suite

Étudier le sens de variation de \((u_n)\).

Méthode — Calculer \(g(x)-x\) pour \(x\ge3\), puis contrôler son signe.

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Pour \(x>1\), \(g(x)-x=\frac{x^2-3x+6-x(x-1)}{x-1}=\frac{6-2x}{x-1}=\frac{2(3-x)}{x-1}\).

Puisque \(u_n\ge3\), le numérateur \(2(3-u_n)\le0\) et le dénominateur \(u_n-1>0\). Donc \(u_{n+1}-u_n=g(u_n)-u_n\le0\). La suite est décroissante.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_{n+1}\le u_n}\]

Interprétation — La propriété de minoration prouvée précédemment est exactement l'hypothèse qui permet de conclure.

2.c — Convergence et limite

Déduire la convergence de \((u_n)\), puis calculer sa limite.

Méthode — Combiner décroissance et minoration pour démontrer la convergence ; seulement ensuite résoudre l'équation du point fixe.

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La suite est décroissante et minorée par \(3\). Elle converge donc, par le théorème de convergence monotone, vers \(\ell\ge3\).

La fonction rationnelle \(g\) est continue en \(\ell>1\), puisque son dénominateur y est non nul. On passe à la limite : \(\ell=g(\ell)\), soit \(\frac{2(3-\ell)}{\ell-1}=0\). Comme \(\ell-1>0\), il vient \(\ell=3\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=3}\]

Interprétation — La continuité de \(g\) au point limite est nécessaire au passage à la limite dans la récurrence.

Exercice 22 — Suite récurrente avec radical

On définit \(u_0=\frac12\) et, pour \(n\ge0\), \(u_{n+1}=u_n+1-\sqrt{1+u_n^2}\).

1 — Positivité et majoration strictes

Démontrer par récurrence \(0<u_n<1\) pour tout \(n\ge0\).

Méthode — Initialiser \(0<u_0<1\), puis majorer et minorer l'expression \(x+1-\sqrt{1+x^2}\) sur \(0<x<1\).

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Initialisation : \(0<u_0=\frac{1}{2}<1\). Supposons \(0<u_n<1\) à un certain rang.

Pour tout \(x>0\), \(1<\sqrt{1+x^2}<1+x\), car \(1+x^2<(1+x)^2=1+2x+x^2\) et les deux membres sont positifs. Il s’ensuit \(0<x+1-\sqrt{1+x^2}<x\).

Avec \(x=u_n\), on obtient \(0<u_{n+1}<u_n<1\). Par récurrence, \(0<u_n<1\) pour tous les rangs.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad0<u_n<1}\]

Interprétation — Les deux inégalités strictes doivent être préservées à chaque rang de la récurrence.

2.a — Décroissance

Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

Méthode — Comparer directement \(u_{n+1}\) à \(u_n\) par le signe de \(1-\sqrt{1+u_n^2}\).

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Pour chaque \(n\), \(u_{n+1}-u_n=1-\sqrt{1+u_n^2}\).

Puisque \(u_n>0\), on a \(u_n^2>0\) puis \(\sqrt{1+u_n^2}>1\). Donc \(u_{n+1}-u_n<0\), ce qui prouve la stricte décroissance.

\[\boxed{\forall n\ge0,\quad u_{n+1}<u_n}\]

Interprétation — La positivité de \(u_n\) rend cette différence strictement négative.

2.b — Convergence

En déduire la convergence de \((u_n)\).

Méthode — Utiliser la décroissance obtenue et la minoration par zéro, puis appliquer le théorème de convergence monotone.

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La suite est strictement décroissante par la question 2.a et minorée par \(0\) grâce à la question 1.

Le théorème de convergence monotone donne donc l’existence d’une limite finie \(\ell\in[0,\frac{1}{2}]\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in[0,\frac12]}\]

Interprétation — L'existence d'une limite réelle résulte de deux propriétés distinctes et vérifiées.

3 — Valeur de la limite

Calculer \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Méthode — La convergence étant démontrée, passer à la limite par continuité et résoudre l'équation du point fixe dans l'intervalle autorisé.

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La fonction \(f(x)=x+1-\sqrt{1+x^2}\) est continue sur \(\mathbb R\). La convergence obtenue en 2.b permet donc le passage à la limite : \(\ell=\ell+1-\sqrt{1+\ell^2}\).

On simplifie : \(\sqrt{1+\ell^2}=1\). En élevant au carré, \(1+\ell^2=1\), donc \(\ell^2=0\), d’où \(\ell=0\).

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}\]

Interprétation — La limite est déterminée après, et non avant, la preuve de convergence.

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