Correction des exercices 38 à 41 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid
2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application
Calculs des dérivées secondes, signes de f'' et points d’inflexion, dans le domaine de dérivabilité et de continuité de la fonction.
Ces exercices relient le signe de la dérivée seconde à la forme de la courbe : une dérivée seconde positive donne une courbe convexe, une dérivée seconde négative une courbe concave. Le travail consiste à calculer, factoriser puis étudier les signes sur chaque intervalle du domaine.
L’annulation de la dérivée seconde ne suffit pas pour conclure à une inflexion. On vérifie un changement de concavité et l’existence du point de la courbe. Une abscisse exclue du domaine ne donne jamais un point d’inflexion.
Si f est deux fois dérivable, f''>0 correspond à une courbe convexe et f''<0 à une courbe concave. Un point d’inflexion exige un changement de concavité, et non la seule annulation de f''.
Exercice 38 — Polynôme de degré trois
Question 1
Dériver le polynôme, résoudre l’équation de la dérivée et dresser son signe avant de conclure sur les variations.
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On dérive : \(f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1\). Les zéros sont \(a=1-\frac{1}{\sqrt3}\) et \(b=1+\frac{1}{\sqrt3}\). La dérivée est positive hors de \([a,b]\) et négative sur \(]a,b[\).
Question 2
Dériver la formule de f′ en conservant la forme factorisée utile pour étudier son signe.
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On dérive \(f'(x)=3x^2-6x+2\).
Question 3
Utiliser le signe de f″ de part et d’autre de ses zéros ; un point d’inflexion exige un changement de concavité.
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On a \(f''(x)<0\) avant 1 et \(f''(x)>0\) après 1. Comme \(f(1)=-5\), il y a changement de concavité au point :
Exercice 39 — Concavité d’une fonction rationnelle
Question 1
Dériver deux fois sur chaque composante du domaine, puis factoriser la différence de cubes.
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La fonction est définie pour \(x\ne1\). Pour dériver le terme \(-\frac{1}{(x-1)}\), on écrit \(-(x-1)^{-1}\), dont la dérivée est \((x-1)^{-2}\). La seconde dérivation donne \(-2(x-1)^{-3}\). Enfin :
\[(x-1)^3-1=(x-2)((x-1)^2+(x-1)+1)=(x-2)(x^2-x+1).\]Par dérivation successive : \(f'(x)=2(x-1)+\frac{1}{(x-1)^2}\) puis \(f''(x)=2-\frac{2}{(x-1)^3}\). On factorise la différence de cubes.
Question 2
Combiner les signes de x−2 et de (x−1)³ ; x=1 est exclu et ne peut pas être un point d’inflexion.
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Le polynôme \(x^2-x+1\) est strictement positif (discriminant négatif). Le signe de \(f''\) est celui de \(\frac{(x-2)}{(x-1)}\). La fonction est convexe sur \(]-\infty;1[\) et \(]2;+\infty[\), concave sur \(]1;2[\). Elle change de concavité en 2, avec \(f(2)=0\).
Exercice 40 — Onze cas de concavité
Question 1
Pour ce polynôme, calculer f″ et contrôler son changement de signe à son unique zéro.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=3x^2-6x\]\[f''(x)=6(x-1)\]Le signe est négatif pour \(x\lt 1\), positif pour \(x\gt 1\). La courbe est concave sur \(]-\infty;1]\), convexe sur \([1;+\infty[\). Le changement de concavité et \(f(1)=0\) donnent le point d’inflexion \(I(1;0)\).
Question 2
Exclure de la formule de dérivation les zéros de x²+x ; utiliser la racine cubique réelle pour analyser le signe de f″.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[u=x^2+x,\quad f'(x)=1+\frac{2x+1}{3(\sqrt[3]u)^2}\quad(x\ne-1,0)\]\[f''(x)=\frac{6u-2(2x+1)^2}{9(\sqrt[3]u)^5}=-\frac{2(x^2+x+1)}{9(\sqrt[3]{x^2+x})^5}\]Le numérateur \(x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\) est positif. Le signe de \(f''\) est donc l’opposé de celui de \(x(x+1)\) : concavité sur \(]-\infty;-1[\) et \(]0;+\infty[\), convexité sur \(]-1;0[\). La fonction est continue en -1 et 0. Ses taux d’accroissement y tendent respectivement vers \(-\infty\) et \(+\infty\), donc elle admet des tangentes verticales. Les changements de concavité donnent les points d’inflexion \((-1;-1)\) et \((0;0)\).
Question 3
Dériver le quotient deux fois, factoriser le numérateur et noter que les puissances de x²+1 restent positives.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\]\[f''(x)=\frac{-2x(1+x^2)-4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3}=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}\]Le dénominateur est positif sur R. Les facteurs du numérateur s’annulent en \(-\sqrt3,0,\sqrt3\) et donnent les signes successifs −, +, −, +. La courbe est donc concave sur \(]-\infty;-\sqrt3]\) et \([0;\sqrt3]\), convexe sur \([-\sqrt3;0]\) et \([\sqrt3;+\infty[\). Chaque zéro entraîne un changement de signe : les points d’inflexion sont \((-\sqrt3;-\frac{\sqrt3}{4}),(0;0),(\sqrt3;\frac{\sqrt3}{4})\).
Question 4
Isoler les restrictions x≥0 et x≠1 ; les signes du dénominateur de f″ doivent être étudiés sur chaque intervalle.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=-\frac1{2\sqrt x(\sqrt x-1)^2}\quad(x\gt 0,\ x\ne1)\]\[f''(x)=\frac{3\sqrt x-1}{4x^{\frac{3}{2}}(\sqrt x-1)^3}\]On étudie séparément \(3\sqrt x-1\), qui change de signe en \(\frac{1}{9}\), et \(\sqrt x-1\), qui change de signe en 1. Le signe de \(f''\) est + sur \(]0;\frac{1}{9}[\), − sur \(]\frac{1}{9};1[\), + sur \(]1;+\infty[\). La courbe est successivement convexe, concave, convexe. En \(\frac{1}{9}\), \(f=-\frac{3}{2}\) : point d’inflexion \((\frac{1}{9};-\frac{3}{2})\). L’abscisse 1 est exclue du domaine.
Question 5
Dériver la puissance négative de 1+x² puis isoler le facteur dont le signe peut changer.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=1-\frac{x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\]\[f''(x)=-\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}+\frac{3x^2}{(1+x^2)^{\frac{5}{2}}}=\frac{2x^2-1}{(1+x^2)^{\frac{5}{2}}}\]Le dénominateur est positif. Le numérateur est positif à l’extérieur de \([-\frac{1}{\sqrt2};\frac{1}{\sqrt2}]\), négatif à l’intérieur. La courbe est convexe sur les deux intervalles extérieurs et concave entre les deux racines. Les changements de signe donnent les points d’inflexion \(I_\pm(\pm\frac{1}{\sqrt2};\ \pm\frac{1}{\sqrt2}+\sqrt{\frac{2}{3}})\).
Question 6
Factoriser x²−x−2 et étudier les signes de f″ sans franchir les pôles.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[q=x^2-x-2,\quad f'(x)=\frac{2q-(2x-1)^2}{q^2}=\frac{-2x^2+2x-5}{q^2}\]\[f''(x)=\frac{2(2x-1)(x^2-x+7)}{(x-2)^3(x+1)^3}\]Le domaine exclut -1 et 2. Le facteur \(x^2-x+7=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4}\) est strictement positif ; le signe dépend donc de \(\frac{(2x-1)}{[(x-2)(x+1)]}\). Les signes successifs sont − sur \(]-\infty;-1[\), + sur \(]-1;\frac{1}{2}[\), − sur \(]\frac{1}{2};2[\), + sur \(]2;+\infty[\). Le seul changement dans le domaine où la courbe est continue a lieu en \(\frac{1}{2}\), avec \(f(\frac{1}{2})=0\) : point d’inflexion \((\frac{1}{2};0)\).
Question 7
Dériver la racine sur x>1 ; résoudre f″=0 puis vérifier le changement de signe et calculer l’ordonnée.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=2x+\frac8{\sqrt{x-1}}\quad(x\gt 1)\]\[f''(x)=2-\frac{4}{(x-1)^{\frac{3}{2}}}=\frac{2((x-1)^{\frac{3}{2}}-2)}{(x-1)^{\frac{3}{2}}}\]Le dénominateur est positif. L’équation \((x-1)^{\frac{3}{2}}=2\) donne \(a=1+2^{\frac{2}{3}}\). La dérivée seconde est négative sur \(]1;a[\), positive sur \(]a;+\infty[\) : la courbe est concave puis convexe. Le point d’inflexion est \(I(a;a^2+16\,2^{\frac{1}{3}})\).
Question 8
La racine cubique s’annule en −1 : distinguer le domaine de continuité de celui de la dérivée seconde.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=\frac{x^2}{(\sqrt[3]{1+x^3})^2}+2\quad(x\ne-1)\]\[f''(x)=\frac{2x(1+x^3)-2x^4}{(\sqrt[3]{1+x^3})^5}=\frac{2x}{(\sqrt[3]{1+x^3})^5}\]Le signe dépend de x et de \(1+x^3\). La dérivée seconde est positive sur \(]-\infty;-1[\), négative sur \(]-1;0[\), positive sur \(]0;+\infty[\). La courbe est donc convexe, concave, puis convexe. Elle est continue en -1 et en 0. En -1, le taux d’accroissement tend vers \(+\infty\) : la tangente est verticale. Les points d’inflexion sont \((-1;-2)\) et \((0;1)\).
Question 9
Dériver le produit \(\sqrt{x}\)·(x−1)⁻² sur les intervalles autorisés, puis analyser le numérateur de f″.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=\frac1{2\sqrt x(x-1)^2}-\frac{2\sqrt x}{(x-1)^3}=-\frac{3x+1}{2\sqrt x(x-1)^3}\]\[f''(x)=\frac{15x^2+10x-1}{4x^{\frac{3}{2}}(x-1)^4}\quad(x\gt 0,\ x\ne1)\]Le dénominateur est positif. Les racines du numérateur sont \(\frac{(-5\pm2\sqrt{10})}{15}\) ; seule \(a=\frac{(-5+2\sqrt{10})}{15}\) est positive. Le trinôme est négatif entre 0 et a, positif au-delà. La courbe est concave sur \(]0;a]\), convexe sur \([a;1[\) et \(]1;+\infty[\). Le point d’inflexion est \(I(a;f(a))\), tandis que 1 est exclu.
Question 10
Interpréter la puissance avec une racine cinquième réelle ; traiter séparément le point où 2x−1 s’annule.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=\frac{4}{5(\sqrt[5]{2x-1})^3}\quad(x\ne\frac{1}{2})\]\[f''(x)=-\frac{24}{25(\sqrt[5]{2x-1})^8}\]La puissance huitième au dénominateur est strictement positive pour \(x\ne\frac{1}{2}\). La dérivée seconde est donc négative de chaque côté de \(\frac{1}{2}\). La courbe est concave sur chacun des deux intervalles ; aucun changement de concavité n’a lieu en \(\frac{1}{2}\). Il n’y a pas de point d’inflexion.
Question 11
Réécrire les racines en puissances de x+4 pour dériver deux fois et mettre f″ au même dénominateur.
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On calcule les deux dérivées sur les intervalles où elles existent :
\[f'(x)=1-\frac{1}{8\sqrt{x+4}}+\frac{1}{2(x+4)^{\frac{3}{2}}}\quad(x\gt -4)\]\[f''(x)=\frac{1}{16(x+4)^{\frac{3}{2}}}-\frac{3}{4(x+4)^{\frac{5}{2}}}=\frac{x-8}{16(x+4)^{\frac{5}{2}}}\]Le dénominateur est positif sur \(]-4;+\infty[\). Le signe de \(f''\) est donc celui de \(x-8\). La courbe est concave sur \(]-4;8]\) et convexe sur \([8;+\infty[\). Comme \(f(8)=9-\frac{2\sqrt3}{3}\), son point d’inflexion est \(I(8;9-\frac{2\sqrt3}{3})\).
Exercice 41 — Cinq fonctions trigonométriques
Question 1
Utiliser le signe de −cos x+2sin x sur l’intervalle imposé, sans diviser partout par cos x.
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Par deux dérivations :
\[f\prime(x)=-\sin x-2\cos x,\qquad f\prime\prime(x)=-\cos x+2\sin x.\]Sur \([0;\frac{\pi}{2}[\), le signe de \(f\prime\prime\) est celui de \(2\tan x-1\). Il existe un unique \(\alpha\in]0;\frac{\pi}{2}[\) tel que \(\tan\alpha=\frac{1}{2}\). Sur \([\frac{\pi}{2};\pi]\), \(f\prime\prime\gt0\). La courbe est concave sur \([0;\alpha]\), convexe sur \([\alpha;\pi]\). Comme \(\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt5}\) et \(\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt5}\), \(f(\alpha)=3\). Le point d’inflexion est \(I(\alpha;3)\).
Question 2
Repérer les zéros de cos(2x+\(\frac{\pi}{4}\)) dans l’intervalle demandé puis tenir compte du signe moins de f″.
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La règle de dérivation d’une composée donne :
\[f\prime(x)=-2\sin(2x+\frac{\pi}{4}),\qquad f\prime\prime(x)=-4\cos(2x+\frac{\pi}{4}).\]Sur \([0;\pi]\), la dérivée seconde est négative sur \([0;\frac{\pi}{8}[\), positive sur \(]\frac{\pi}{8};\frac{5\pi}{8}[\), puis négative sur \(]\frac{5\pi}{8};\pi]\). La courbe est donc successivement concave, convexe et concave. Les points d’inflexion sont \((\frac{\pi}{8};0)\) et \((\frac{5\pi}{8};0)\).
Question 3
Exclure les zéros de cos(2x) ; exploiter une identité trigonométrique avant de dériver deux fois.
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Sur \([0;\pi]\), le domaine exclut \(\frac{\pi}{4}\) et \(\frac{3\pi}{4}\), où \(\cos(2x)=0\). Le quotient donne :
\[f'(x)=\frac{\sin(2x)\cos(2x)+2\sin^2x\sin(2x)}{\cos^2(2x)}=\frac{\sin(2x)}{\cos^2(2x)}.\]\[f''(x)=\frac2{\cos(2x)}+\frac{4\sin^2(2x)}{\cos^3(2x)}=\frac{2(1+\sin^2(2x))}{\cos^3(2x)}.\]Le numérateur est positif ; le signe est celui de \(\cos(2x)\). La courbe est convexe sur \([0;\frac{\pi}{4}[\) et \(]\frac{3\pi}{4};\pi]\), concave sur \(]\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}[\). Les deux changements de signe ont lieu en des abscisses exclues : aucun point d’inflexion.
Question 4
Exprimer f″ en fonction de sin x, factoriser et limiter l’étude du signe à l’intervalle donné.
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En dérivant chaque terme :
\[f'(x)=2\cos x\sin x-2\cos x,\quad f''(x)=2\cos(2x)+2\sin x.\]Avec \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\), on factorise :
\[f''(x)=2(1-\sin x)(2\sin x+1).\]Sur \([0;\pi]\), \(0\le\sin x\le1\), donc les deux facteurs sont positifs ou nuls. La courbe est convexe sur tout l’intervalle. La dérivée seconde s’annule en \(\frac{\pi}{2}\) sans changer de signe : ce point n’est pas un point d’inflexion.
Question 5
Exprimer f″ à l’aide de cos x, résoudre les équations de ses facteurs et vérifier les changements de signe.
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La règle du produit donne successivement :
\[f'(x)=-2\sin x(\cos x+1),\quad f''(x)=-2\cos(2x)-2\cos x.\]En utilisant \(\cos(2x)=2\cos^2x-1\), on obtient :
\[f''(x)=-2(2\cos x-1)(\cos x+1).\]Sur \([0;\pi]\), \(\cos x+1\ge0\), et \(2\cos x-1\) est positif avant \(\frac{\pi}{3}\), négatif après. La courbe est concave sur \([0;\frac{\pi}{3}]\), convexe sur \([\frac{\pi}{3};\pi]\). Comme \(f(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{4}\), le point d’inflexion est \(I(\frac{\pi}{3};\frac{1}{4})\). L’annulation de \(f''\) à l’extrémité π ne crée pas un autre point d’inflexion.
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