Correction des exercices 42 à 45 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction des exercices 42 à 45 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Application des critères algébriques de symétrie des courbes : invariance par x↦2a−x et symétrie centrale par f(2a−x)+f(x)=2b.

Les symétries permettent de compléter une étude de fonction à partir d’une partie de sa courbe. Un axe vertical d’abscisse a se vérifie par \(f(2a-x)=f(x)\) ; un centre \((a;b)\) par \(f(2a-x)+f(x)=2b\), avec un domaine stable par la transformation.

Le changement de variable \(x=a+t\) simplifie souvent ces calculs : on recherche une expression paire ou une expression impaire après soustraction de b. On justifie ensuite comment la symétrie transporte les variations.

Repère de cours — Axes et centres de symétrie

Un axe x=a se caractérise par f(2a−x)=f(x) lorsque les domaines se correspondent ; un centre Ω(a,b) par f(2a−x)+f(x)=2b. Vérifier toujours l’invariance du domaine.

Exercice 42 — Quatre axes de symétrie

Énoncé. Montrer que les droites données sont des axes de symétrie.

Question 1

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2-4x+1},\qquad\Delta:\ x=2\]

Méthode et stratégie.

Vérifier que le domaine est invariant par x ↦ 4−x, puis comparer les radicandes de f(4−x) et f(x).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On vérifie que le domaine est stable par symétrie, puis :

\[\sqrt[3]{(4-x)^2-4(4-x)+1}=\sqrt[3]{x^2-4x+1}\]

Cela donne \(f(2a-x)=f(x)\), ce qui est le critère d’un axe vertical.

\[\boxed{\Delta\text{ est un axe de symétrie}}\]

Question 2

\[f(x)=\sin^4x-5\cos^2x+7,\qquad\Delta:\ x=\frac{\pi}{2}\]

Méthode et stratégie.

Utiliser les formules de sin(π−x) et cos(π−x), en tenant compte des puissances paires.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On vérifie que le domaine est stable par symétrie, puis :

\[\sin(\pi-x)=\sin x,\quad \cos^2(\pi-x)=\cos^2x\]

Cela donne \(f(2a-x)=f(x)\), ce qui est le critère d’un axe vertical.

\[\boxed{\Delta\text{ est un axe de symétrie}}\]

Question 3

\[f(x)=\frac1{x(x+4)},\qquad\Delta:\ x=-2\]

Méthode et stratégie.

Contrôler que la réflexion x ↦ −4−x échange les deux valeurs interdites ; transformer ensuite le produit au dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On vérifie que le domaine est stable par symétrie, puis :

\[(-4-x)(-x)=x(x+4)\]

Cela donne \(f(2a-x)=f(x)\), ce qui est le critère d’un axe vertical.

\[\boxed{\Delta\text{ est un axe de symétrie}}\]

Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{-4;0\}\). La transformation \(x\mapsto-4-x\) échange précisément les deux valeurs interdites ; elle conserve donc le domaine. Pour tout x autorisé, \(f(-4-x)=\frac{1}{[(-4-x)(-x)]}=\frac{1}{[x(x+4)]}=f(x)\).

Question 4

\[f(x)=\frac{2-\sin^4x}{\cos x+3},\qquad\Delta:\ x=0\]

Méthode et stratégie.

Vérifier que le dénominateur reste non nul, puis utiliser la parité du sinus à la puissance quatre et du cosinus.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On vérifie que le domaine est stable par symétrie, puis :

\[\sin^4(-x)=\sin^4x,\quad\cos(-x)=\cos x\]

Cela donne \(f(2a-x)=f(x)\), ce qui est le critère d’un axe vertical.

\[\boxed{\Delta\text{ est un axe de symétrie}}\]

Exercice 43 — Cinq centres de symétrie

Énoncé. Pour chaque fonction, établir le critère de centre \(\Omega(a,b)\).

Question 1

\[f(x)=x^3-3x^2+x+1,\qquad\Omega(1;0)\]

Méthode et stratégie.

Translater l’abscisse en écrivant x=1+t ; rechercher une expression impaire après soustraction de l’ordonnée du centre.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Poser x=1+t ; on obtient f(1+t)=t³−2t : fonction impaire de t.

Le domaine est stable par \(x\mapsto2a-x\). Ainsi \(f(2a-x)+f(x)=2b\).

\[\boxed{\Omega(1;0)\text{ centre de symétrie}}\]

Question 2

\[f(x)=\frac{3x^2+8x+4}{x+1},\qquad\Omega(-1;2)\]

Méthode et stratégie.

Faire la division polynomiale puis écrire x=−1+t ; vérifier que f(−1+t)−2 est impaire.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La division donne f(x)=3x+5−\(\frac1{x+1}\) ; après x=−1+t on obtient 2+3t−\(\frac1t\).

Le domaine est stable par \(x\mapsto2a-x\). Ainsi \(f(2a-x)+f(x)=2b\).

\[\boxed{\Omega(-1;2)\text{ centre de symétrie}}\]

Avec \(t\ne0\), on a \(f(-1+t)-2=3t-\frac{1}{t}\), expression impaire en t. Remplacer t par -t donne donc \(f(-1-t)-2=-(f(-1+t)-2)\). En additionnant, on obtient \(f(-1-t)+f(-1+t)=4\), ce qui vérifie le centre proposé.

Question 3

\[f(x)=2x+1+\frac1{x-2},\qquad\Omega(2;5)\]

Méthode et stratégie.

Écrire x=2+t : la partie affine recentrée et le terme \(\frac1t\) doivent être impairs sur un domaine symétrique.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour x=2+t : f(2+t)=5+2t+\(\frac1t\) ; la partie variable est impaire.

Le domaine est stable par \(x\mapsto2a-x\). Ainsi \(f(2a-x)+f(x)=2b\).

\[\boxed{\Omega(2;5)\text{ centre de symétrie}}\]

Question 4

\[f(x)=\frac{1+2x}{x^2+x-2},\qquad\Omega(- \frac{1}{2};0)\]

Méthode et stratégie.

Centrer le quotient en x=−\(\frac{1}{2}\) ; vérifier la symétrie des pôles et la parité du numérateur et du dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour x=−\(\frac{1}{2}\)+t, le numérateur vaut 2t et le dénominateur t²−\(\frac{9}{4}\) ; la fonction obtenue est impaire.

Le domaine est stable par \(x\mapsto2a-x\). Ainsi \(f(2a-x)+f(x)=2b\).

\[\boxed{\Omega(- \frac{1}{2};0)\text{ centre de symétrie}}\]

Question 5

\[f(x)=\sqrt3\cos(2x)+\sin(2x),\qquad\Omega(\frac{\pi}{3};0)\]

Méthode et stratégie.

Calculer f(a+t)+f(a−t) avec a=\(\frac{\pi}{3}\) et les formules d’addition trigonométriques.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On a f(\(\frac{\pi}{3}\))=0 ; la formule d’addition montre f(\(\frac{\pi}{3}\)+t)+f(\(\frac{\pi}{3}\)−t)=2f(\(\frac{\pi}{3}\))cos(2t)=0.

Le domaine est stable par \(x\mapsto2a-x\). Ainsi \(f(2a-x)+f(x)=2b\).

\[\boxed{\Omega(\frac{\pi}{3};0)\text{ centre de symétrie}}\]

Exercice 44 — Symétrie et transfert de monotonie

Énoncé. \[f(x)=\frac1{(x-3)^2(x-5)^2}\]

Question 1

Domaine.

Méthode et stratégie.

Factoriser le dénominateur et exclure tous ses zéros avant toute étude de symétrie.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le dénominateur ne doit pas s’annuler : \(x\ne3\) et \(x\ne5\).

\[\boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{3;5\}}\]

Question 2

Montrer que \(x=4\) est un axe de symétrie.

Méthode et stratégie.

Poser x=4+t pour faire apparaître une expression paire en t ; vérifier aussi le domaine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En posant \(x=4+t\), on trouve \(f(4+t)=\frac{1}{(t^2-1)^2}\), expression paire en \(t\).

\[\boxed{\forall x\in D_f,\quad f(8-x)=f(x)}\]

Question 3

Déterminer le sens de variation sur \(]-\infty;-1[\), intervalle demandé dans le manuel.

Méthode et stratégie.

Réfléchir l’intervalle par x ↦ 8−x ; une symétrie axiale inverse le sens de variation.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La symétrie donne la croissance sur tout \(]-\infty;3[\), donc en particulier sur l’intervalle demandé \(]-\infty;-1[\).

La transformation \(x\mapsto8-x\) échange \(]-\infty;3[\) avec \(]5;+\infty[\), mais inverse leur ordre. Puisque \(f\) décroît strictement sur \(]5;+\infty[\), elle croît strictement sur \(]-\infty;3[\).

\[\boxed{f\text{ est strictement croissante sur }]-\infty;3[}\]

Exercice 45 — Centre de symétrie d’un polynôme

Énoncé. \[f(x)=3x^5-5x^3-180x+2\]

Question 1

Montrer que \(\Omega(0;2)\) est un centre.

Méthode et stratégie.

Soustraire 2 et observer les puissances impaires ; contrôler l’identité f(−x)+f(x)=4.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le polynôme \(f(x)-2=3x^5-5x^3-180x\) est impair : \(f(-x)+f(x)=4\) pour tout \(x\).

\[\boxed{\Omega(0;2)\text{ centre de symétrie}}\]

Question 2

Transférer le sens de variation de \([2;+\infty[\) à \(]-\infty;-2]\).

Méthode et stratégie.

La symétrie centrale renverse à la fois l’ordre des abscisses et celui des ordonnées ; écrire les deux comparaisons.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La symétrie centrale conserve le sens de croissance lorsque l’on inverse simultanément les deux coordonnées : si \(x_1<x_2\leqslant-2\), alors \(-x_2<-x_1\). Avec \(f(-x)=4-f(x)\), la croissance sur \([2;+\infty[\) entraîne la croissance sur \(]-\infty;-2]\).

\[\boxed{f\text{ strictement croissante sur }]-\infty;-2]}\]

Voici l’inégalité qui formalise le transfert : pour \(x_1\lt x_2\le-2\), on a \(2\le-x_2\lt -x_1\). La croissance sur \([2;+\infty[\) donne \(f(-x_2)\lt f(-x_1)\), soit \(4-f(x_2)\lt 4-f(x_1)\). On en déduit \(f(x_1)\lt f(x_2)\).

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Exercice 42 — Quatre axes de symétrie

Question 1

Question 2

Question 3

Question 4

Exercice 43 — Cinq centres de symétrie

Question 1

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Exercice 44 — Symétrie et transfert de monotonie

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Exercice 45 — Centre de symétrie d’un polynôme

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