Correction des exercices 50 à 51 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 50 à 51 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Fonctions primitives : reconnaissance de dérivées et identités trigonométriques.

Cette série apprend à construire une primitive en reconnaissant une dérivée : puissance, fonction composée ou identité trigonométrique. Pour chaque réponse, on précise un intervalle de définition, on propose F puis on calcule sa dérivée afin de retrouver la fonction de départ.

Les constantes sont indépendantes sur deux intervalles disjoints. Dans l’exercice 51, on utilise d’abord la dérivée seconde pour transformer la puissance quatrième du sinus ; la condition finale détermine ensuite une seule constante.

Exercice 50 — Fonctions primitives

Déterminer une primitive de chaque fonction et préciser ses intervalles de définition. Les deux questions numérotées 10 dans le manuel sont repérées 10a et 10b.

Méthode. Reconnaître une dérivée, puis vérifier le résultat par dérivation. Toutes les primitives s’obtiennent en ajoutant une constante sur chaque intervalle considéré.

Question 1

\[f(x)=5x^3-6x^2+4x-7\]

Méthode et stratégie.

Intégrer séparément chaque monôme ; augmenter son exposant de 1 et diviser par le nouvel exposant.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Dériver terme à terme.

\[\boxed{F(x)=\frac54x^4-2x^3+2x^2-7x}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=\frac54\times4x^3-2\times3x^2+2\times2x-7=5x^3-6x^2+4x-7\]

Question 2

\[f(x)=\frac1{x^2}+\frac3{x^3}\]

Méthode et stratégie.

Réécrire les fractions en puissances négatives, puis appliquer la formule des primitives de puissances sur chaque intervalle du domaine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Utiliser les puissances négatives.

\[\boxed{F(x)=-\frac1x-\frac3{2x^2}}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=]-\infty;0[\ \text{ou}\ ]0;+\infty[\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=(-x^{-1})'-\frac32(x^{-2})'=x^{-2}+3x^{-3}\]

Question 3

\[f(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+10}}\]

Méthode et stratégie.

Reconnaître au numérateur la moitié de la dérivée du polynôme sous la racine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Poser \(u=x^2-6x+10=(x-3)^2+1>0\), avec \(u'=2(x-3)\).

\[\boxed{F(x)=\sqrt{x^2-6x+10}}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[u=x^2-6x+10,\quad (\sqrt u)'=\frac{2x-6}{2\sqrt u}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+10}}\]

Question 4

\[f(x)=x\sqrt{x^2+1}\]

Méthode et stratégie.

Poser mentalement u(x)=x²+1 : sa dérivée fournit le facteur x, à un coefficient près.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Reconnaître \(x=\frac12(x^2+1)'\).

\[\boxed{F(x)=\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[\left(\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}\right)'=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\times2x=x\sqrt{x^2+1}\]

Question 5

\[f(x)=\frac1{x^2}\left(\frac1x-1\right)^3\]

Méthode et stratégie.

Reconnaître une puissance de u(x)=\(\frac1x\)−1 multipliée par sa dérivée ; contrôler le signe de celle-ci.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Poser \(u=\frac{1}{x}-1\), avec \(u'=-\frac{1}{x^2}\).

\[\boxed{F(x)=-\frac14\left(\frac1x-1\right)^4}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=]-\infty;0[\ \text{ou}\ ]0;+\infty[\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[u=\frac{1}{x}-1,\quad (-\frac{u^4}{4})'=-u^3u'=\frac{u^3}{x^2}\]

Question 6

\[f(x)=\sqrt[3]{x+1}\]

Méthode et stratégie.

Utiliser la primitive d’une puissance de x+1 ; vérifier la dérivée au point où la racine cubique s’annule.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On propose \(F(x)=\frac34\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^4\). Pour \(x\ne-1\), la règle de composition donne

\[F'(x)=\frac34\times4\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^3\times\frac1{3\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2}=\sqrt[3]{x+1}=f(x).\]

Au point −1, \(F(-1)=0\). Pour \(x\ne-1\),

\[\frac{F(x)-F(-1)}{x+1}=\frac34\sqrt[3]{x+1}.\]

Par continuité de la racine cubique,

\[F'(-1)=\lim_{x\to-1}\frac{F(x)-F(-1)}{x+1}=0=f(-1).\]

\[\boxed{F(x)=\frac34\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^4\text{ est une primitive de }f\text{ sur }\mathbb R.}\]

Question 7

\[f(x)=x\sqrt[3]{x^2-1}\]

Méthode et stratégie.

Reconnaître u(x)=x²−1 et le facteur x ; traiter aussi les points où u s’annule lors de la vérification.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Poser \(u=x^2-1\), avec \(u'=2x\). La fonction \(t\mapsto(\sqrt[3]t)^4\) est dérivable sur R, y compris en 0, où sa dérivée est nulle.

\[\boxed{F(x)=\frac38\left(\sqrt[3]{x^2-1}\right)^4}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=\frac38\times\frac43\sqrt[3]{x^2-1}\times2x=x\sqrt[3]{x^2-1}\quad(x\ne\pm1)\]

Question 8

\[f(x)=x^2+\sqrt x+\sqrt[3]x\]

Méthode et stratégie.

Intégrer les trois puissances séparément sur le domaine commun, sans confondre racine carrée et racine cubique.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Dériver chaque puissance. La fonction se prolonge en 0, avec une dérivée à droite nulle.

\[\boxed{F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=]0;+\infty[\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=x^2+\frac{2}{3}\times\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}\times\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=x^2+\sqrt x+\sqrt[3]x\]

Question 9

\[f(x)=(2x-3)\sqrt[3]{x^2-3x+8}\]

Méthode et stratégie.

Comparer 2x−3 à la dérivée de x²−3x+8 pour reconnaître une primitive composée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le trinôme est strictement positif et sa dérivée est \(2x-3\).

\[\boxed{F(x)=\frac{3}{4}(x^2-3x+8)^{\frac{4}{3}}}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[u=x^2-3x+8=(x-\frac{3}{2})^2+\frac{23}{4}\gt 0,\quad (\frac{3u^{\frac{4}{3}}}{4})'=u^{\frac{1}{3}}(2x-3)\]

Question 10a

\[f(x)=\tan^2x\]

Méthode et stratégie.

Remplacer le carré de la tangente par une expression faisant intervenir la dérivée de la tangente.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Utiliser \(\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}-1\).

\[\boxed{F(x)=\tan x-x}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=]-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi[\ (k\in\mathbb Z)\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=\frac1{\cos^2x}-1=\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}=\tan^2x\]

Question 10b

\[f(x)=\sin x\cos^3x\]

Méthode et stratégie.

Utiliser u(x)=cos x ; le facteur sin x fournit sa dérivée avec un signe moins.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Poser \(u=\cos x\), avec \(u'=-\sin x\).

\[\boxed{F(x)=-\frac14\cos^4x}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=-\frac14\times4\cos^3x(-\sin x)=\sin x\cos^3x\]

Question 11

\[f(x)=\sin x\sin(2x)\]

Méthode et stratégie.

Transformer le produit de sinus en différence de cosinus avant d’intégrer.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Utiliser \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\).

\[\boxed{F(x)=\frac23\sin^3x}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=\frac23\times3\sin^2x\cos x=\sin x(2\sin x\cos x)=\sin x\sin(2x)\]

Question 12

\[f(x)=3\cos(\frac{x}{2})-5\sin(\frac{2x}{3})+\sin(2x+\frac{\pi}{3})\]

Méthode et stratégie.

Pour chaque sinus ou cosinus de ax+b, compenser le facteur a issu de la dérivation.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Tenir compte des coefficients intérieurs lors de la dérivation.

\[\boxed{F(x)=6\sin(\frac{x}{2})+\frac{15}{2}\cos(\frac{2x}{3})-\frac{1}{2}\cos(2x+\frac{\pi}{3})}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=6\times\frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2})-\frac{15}{2}\times\frac{2}{3}\sin(\frac{2x}{3})+\frac{1}{2}\times2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\]

Question 13

\[f(x)=\sin x\cos x\sqrt{1-\cos(2x)}\]

Méthode et stratégie.

Poser u(x)=1−cos(2x) et rapprocher sa dérivée du produit sin x cos x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Poser \(u=1-\cos(2x)\ge0\), avec \(u'=4\sin x\cos x\). La dérivée vaut aussi 0 aux zéros de u, car \(t\mapsto t^{\frac{3}{2}}\) a une dérivée à droite nulle en 0.

\[\boxed{F(x)=\frac{1}{6}(1-\cos(2x))^{\frac{3}{2}}}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[u=1-\cos(2x),\quad u'=2\sin(2x)=4\sin x\cos x,\quad (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{6})'=\frac{1}{4}\sqrt u\,u'=\sin x\cos x\sqrt u\]

Question 14

\[f(x)=\sin(3x)\cos(5x)\]

Méthode et stratégie.

Utiliser une identité produit-somme pour ramener le produit à deux sinus simples.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Utiliser \(2\sin(3x)\cos(5x)=\sin(8x)-\sin(2x)\).

\[\boxed{F(x)=-\frac1{16}\cos(8x)+\frac14\cos(2x)}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=\mathbb R\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=\frac12\sin(8x)-\frac12\sin(2x)=\sin(3x)\cos(5x)\]

Question 15

\[f(x)=\frac1{(2x+1)^2}-\frac1{(x-1)^2}+\frac{x+1}{(x^2+2x+7)^2}\]

Méthode et stratégie.

Intégrer les deux puissances affines séparément ; pour le dernier terme, reconnaître la dérivée de x²+2x+7.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Reconnaître des dérivées de quotients \(-\frac{u'}{u^2}\). Le trinôme \(x^2+2x+7=(x+1)^2+6\) est strictement positif.

\[\boxed{F(x)=-\frac1{2(2x+1)}+\frac1{x-1}-\frac1{2(x^2+2x+7)}}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=]-\infty;-\frac{1}{2}[\ \text{ou}\ ]-\frac{1}{2};1[\ \text{ou}\ ]1;+\infty[\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=\frac1{(2x+1)^2}-\frac1{(x-1)^2}+\frac{2x+2}{2(x^2+2x+7)^2}\]

Question 16

\[f(x)=\frac{x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}+\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3-1}}\]

Méthode et stratégie.

Séparer la somme en deux compositions : utiliser x²+3 pour la première et x³−1 pour la seconde.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le premier terme provient de la dérivée de \(-(x^2+3)^{-\frac{1}{2}}\). Pour le second, poser \(u=x^3-1\) et utiliser \(u'=3x^2\), avec \(x\ne1\).

\[\boxed{F(x)=-\frac1{\sqrt{x^2+3}}+\frac12\left(\sqrt[3]{x^3-1}\right)^2}\]

La dérivation donne \(F'(x)=f(x)\) sur \(I=]-\infty;1[\ \text{ou}\ ]1;+\infty[\).

Vérification détaillée. Sur les intervalles indiqués, la dérivation de la fonction obtenue donne :

\[F'(x)=\frac{x}{(x^2+3)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\frac{3x^2}{\sqrt[3]{x^3-1}}=\frac{x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}+\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3-1}}\]

Exercice 51 — Primitive de la puissance quatrième du sinus

Soit \(f(x)=\sin^4x\) pour tout réel x.

Question 1

Calculer \(f''(x)\) pour tout réel x.

Méthode et stratégie.

Dériver deux fois en appliquant le produit et la chaîne à la puissance de sin x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les règles de la puissance composée puis du produit donnent :

\[f'(x)=4\sin^3x\cos x,\qquad f''(x)=12\sin^2x\cos^2x-4\sin^4x.\]

Avec les identités trigonométriques usuelles :

\[\boxed{f''(x)=2\cos(2x)-2\cos(4x)}\]

Question 2

Montrer que \(f(x)=-\frac14f''(x)+\frac38-\frac38\cos(4x)\).

Méthode et stratégie.

Remplacer la dérivée seconde par sa formule, puis utiliser les identités d’angle double pour vérifier l’égalité.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En remplaçant la dérivée seconde, le membre de droite devient :

\[-\frac12\cos(2x)+\frac12\cos(4x)+\frac38-\frac38\cos(4x)=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}8=\sin^4x.\]

Question 3

En déduire une primitive de f sur \(\mathbb R\).

Méthode et stratégie.

Intégrer l’identité de la question précédente : une primitive de f″ est f′.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Une primitive du membre de droite est :

\[F(x)=-\frac14f'(x)+\frac38x-\frac3{32}\sin(4x).\]

Comme \(f'(x)=\sin(2x)-\frac12\sin(4x)\), on obtient :

\[\boxed{F(x)=\frac38x-\frac14\sin(2x)+\frac1{32}\sin(4x)}\]

Question 4

Déterminer la primitive telle que \(F(\pi)=0\).

Méthode et stratégie.

Partir de la famille de primitives obtenue et déterminer la constante à l’aide de la valeur imposée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La primitive générale est \(F(x)=\frac{3x}{8}-\frac{\sin(2x)}{4}+\frac{\sin(4x)}{32}+C\). La condition \(F(\pi)=0\) donne \(C=-\frac{3\pi}{8}\).

\[\boxed{F(x)=\frac38(x-\pi)-\frac14\sin(2x)+\frac1{32}\sin(4x)}\]

MATHS PARCOURS MAROC

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