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Correction des exercices 8 à 12 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction des exercices 08 à 12 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Étude des dérivées unilatérales, des tangentes, des graphiques et de la dérivabilité des fonctions définies par morceaux.

Pour une fonction définie par morceaux, on compare d’abord les limites de chaque expression au point de raccordement. La dérivabilité exige ensuite deux taux d’accroissement de même limite finie ; la continuité seule ne suffit pas.

Les valeurs absolues se retirent selon le signe de leur argument. Pour les racines, on distingue une dérivée unilatérale finie d’un taux qui tend vers l’infini : ce dernier décrit une demi-tangente verticale.

Repère de cours — Dérivabilité aux bornes et raccordements

Avant de dériver, contrôler le domaine et la continuité. En un point de raccordement, calculer séparément les limites des taux d’accroissement. Une limite infinie indique une demi-tangente verticale.

Exercice 08 — Valeur absolue et dérivées unilatérales

Énoncé. \(f(x)=\frac{x^2-2x-3}{|x-2|-2}\)
Méthode. Écrire l’expression sans valeur absolue de part et d’autre de 2 et simplifier si possible.

Question 1

Déterminer \(D_f\).
Méthode et stratégie.

Le dénominateur est un produit : exclure les zéros de chacun de ses facteurs.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le dénominateur s’annule si \(|x-2|=2\), soit \(x=0\) ou \(x=4\).

\[\boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{0;4\}}\]

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Question 2

Étudier les dérivées à droite et à gauche en \(2\) ; interpréter.
Méthode et stratégie.

Enlever la valeur absolue selon le côté de 2, vérifier la continuité puis calculer les deux taux d’accroissement.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La valeur absolue change d’expression en 2. On utilise \(|x-2|=2-x\) à gauche et \(|x-2|=x-2\) à droite. Les deux expressions rationnelles se prolongent en 2 avec la même valeur \(\frac{3}{2}\) ; leurs dérivées en ce point donnent donc les dérivées unilatérales.

Pour \(x<2\) : \(|x-2|-2=-x\), d’où \(f(x)=-x+2+\frac{3}{x}\). Pour \(x>2\) : \(|x-2|-2=x-4\). Au point \(2\), \(f(2)=\frac{3}{2}\). Alors :

\[f'_{g}(2)=-1-\frac3{2^2}=-\frac74,\qquad f'_{d}(2)=\frac{(2x-2)(x-4)-(x^2-2x-3)}{(x-4)^2}\bigg|_{x=2}=-\frac14\]

Les dérivées unilatérales étant différentes, la fonction n’est pas dérivable en 2.

\[\boxed{f'_g(2)=-\frac74\ne-\frac14=f'_d(2)}\]
Deux demi-tangentes distinctes passent par le point \((2,\frac{3}{2})\).

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Exercice 09 — Raccordement polynomial

Énoncé. \(f(x)=\begin{cases}ax^2+bx,&x\leqslant1,\\x^3+3x^2-5,&x>1,\end{cases}\) où \((a,b)\in\mathbb R^2\).
Méthode. Imposer l’égalité des limites (continuité), puis celle des dérivées unilatérales.

Question 1

Déterminer les réels \(a\) et \(b\) assurant la dérivabilité en 1.
Méthode et stratégie.

Imposer d’abord la continuité au raccord ; égaler ensuite les deux dérivées et vérifier les conditions obtenues.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La dérivabilité en 1 entraîne la continuité : la limite de l’expression de gauche doit être égale à la valeur de l’expression de droite. Une fois cette égalité imposée, on égalise les deux dérivées unilatérales. Les deux conditions sont nécessaires ; le système obtenu les rend aussi suffisantes.

Continuité : \(a+b=1+3-5=-1\). Dérivées : à gauche \(2a+b\), à droite \(3+6=9\). On résout le système :

\[\begin{cases}a+b=-1\\2a+b=9\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}a=10\\b=-11.\end{cases}\]
\[\boxed{(a,b)=(10,-11)}\]

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Exercice 10 — Raccordement avec racines

Énoncé. \(f(x)=\begin{cases}\sqrt[3]{x^3+3x^2},&x\geqslant0,\\4\sqrt{1-x}+x-4,&x<0.\end{cases}\)
Méthode. Vérifier la continuité puis le taux d’accroissement gauche en zéro.

Question 1

Montrer la continuité en 0.
Méthode et stratégie.

Calculer les limites de chaque branche au raccord et les comparer à la valeur définie en 0.

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On a \(f(0)=0\). À droite, \(f(x)=\sqrt[3]{x^2(x+3)},\qquad \lim_{x\to0}\left(f(x)\right)=0\). À gauche, \(\lim_{x\to0}\left(4\sqrt{1-x}+x-4\right)=0\). Les limites coïncident avec \(f(0)\).

\[\boxed{f\text{ est continue en }0}\]

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Question 2

Étudier la dérivabilité à gauche en 0 et interpréter.
Méthode et stratégie.

Utiliser uniquement la branche gauche dans le taux d’accroissement ; rationaliser la différence des racines.

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Pour \(x<0\) :

\[\frac{f(x)-f(0)}x=4\frac{\sqrt{1-x}-1}x+1=1-\frac4{\sqrt{1-x}+1},\qquad \lim_{x\to0^-}\left(\frac{f(x)-f(0)}x\right)=-1\]
\[\boxed{f'_g(0)=-1}\]
Demi-tangente gauche d’équation \(y=-x\). À droite, le taux d’accroissement croît sans borne ; la fonction n’est pas dérivable en 0 au sens bilatéral.

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Exercice 11 — Raccordement à une singularité

Énoncé. \(f(x)=\begin{cases}x-\sqrt[3]{1-x},&x<1,\\\dfrac1{2-\sqrt x},&x\geqslant1,\ x\ne4.\end{cases}\)
Méthode. Vérifier en premier lieu la continuité en \(1\), puis les quotients unilatéraux.

Question 1

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche en 1.
Méthode et stratégie.

Écrire séparément les deux quotients en 1+h selon le signe de h ; contrôler l’effet de la racine à chaque côté.

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Posons \(h=1-x\), donc \(x=1-h\). Lorsque \(x\to1^-\), on a \(h\to0^+\).

On a \(f(1)=1\). À gauche, pour \(h>0\) :

\[\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}=1+\frac{1}{h^{\frac{2}{3}}},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\right)=+\infty\]

À droite, la dérivée de \(x\mapsto(2-\sqrt x)^{-1}\) au point 1 est \(\frac{1}{2}\).

\[\boxed{f'_g(1)\text{ n'existe pas dans }\mathbb R,\quad f'_d(1)=\frac12}\]

Pour le calcul à droite, posons \(v(x)=2-\sqrt x\). Près de 1, v ne s’annule pas et \((\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}\). Comme \(v'(x)=-\frac{1}{(2\sqrt x)}\), on obtient \(f'_d(1)=\frac{1}{[2\sqrt1(2-\sqrt1)^2]}=\frac{1}{2}\).

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Question 2

Interprétation géométrique.
Méthode et stratégie.

Associer à chaque limite du taux une demi-tangente ; distinguer une pente finie d’une direction verticale.

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Au point \((1,1)\), la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche et une demi-tangente de pente \(\frac{1}{2}\) à droite.

\[\boxed{T_d:\ y=1+\frac12(x-1)}\]

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Exercice 12 — Limites des quotients à la jonction

Énoncé. \(f(x)=\begin{cases}(1+x)\sqrt{1-x^2},&0\leqslant x\leqslant1,\\\sqrt[3]{x^3-x},&x>1.\end{cases}\)
Méthode. Comparer les limites du quotient par \(x-1\) de part et d’autre de 1.

Question 1

Étudier les dérivées gauche et droite en 1.
Méthode et stratégie.

Calculer chaque taux d’accroissement avec la branche correspondante ; ne pas remplacer ce calcul par la limite d’une dérivée.

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On a \(f(1)=0\). Si \(x<1\), alors \[\frac{f(x)}{(x-1)}=-\frac{(1+x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{1-x}},\qquad \lim_{x\to1^-}\left(\frac{f(x)}{(x-1)}\right)=-\infty\]. Si \(x>1\), on écrit \(x^3-x=(x-1)x(x+1)\) ; par suite le taux d’accroissement tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\infty,\quad \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty}\]

À droite, on explicite le calcul pour \(x\gt 1\) proche de 1 :

\[\frac{\sqrt[3]{x^3-x}}{x-1}=\frac{\sqrt[3]{x(x+1)}}{(\sqrt[3]{x-1})^2},\qquad \lim_{x\to1^+}\left(\frac{\sqrt[3]{x^3-x}}{x-1}\right)=+\infty\]

Le numérateur tend vers \(\sqrt[3]2\gt 0\) et le dénominateur vers \(0^+\), ce qui justifie le signe de la limite.

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Question 2

Interprétation géométrique.
Méthode et stratégie.

Une limite infinie donne une demi-tangente verticale ; vérifier les deux côtés au même point de la courbe.

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Les deux branches possèdent des demi-tangentes verticales en \((1,0)\) ; les taux d’accroissement divergent avec des signes opposés.

\[\boxed{x=1\text{ (deux demi-tangentes verticales)}}\]

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