Dérivation — Exercices 01 à 09 de perfectionnement

2e Bac Sciences Mathématiques · Parcours Maths Maroc

Présentation et objectifs

Cette série de neuf exercices de perfectionnement s’adresse aux élèves de deuxième année du baccalauréat Sciences Mathématiques. Elle propose des problèmes construits autour d’une même fonction, d’une famille de fonctions ou d’une équation dépendant d’un paramètre. Les questions mobilisent la dérivabilité en un point, les tangentes et demi-tangentes, les variations, les symétries, la fonction réciproque, les changements de concavité, les points d’inflexion et les branches infinies. Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis interviennent aussi bien pour établir des propriétés qualitatives que pour obtenir des inégalités précises. Avant tout calcul, il est utile de repérer les points délicats, les intervalles où les expressions sont dérivables et les hypothèses du théorème envisagé. Chaque exercice constitue un enchaînement de questions : les résultats précédents éclairent souvent les suivants. Les énoncés sont proposés pour un travail autonome et une rédaction mathématique rigoureuse.

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Exercice 01 — Tangentes, symétrie et inflexion

Cet exercice fait travailler ensemble la symétrie centrale, les dérivées unilatérales et les changements de concavité. La présence de racines cubiques ne doit pas conduire à supposer automatiquement la dérivabilité aux points où leur argument s’annule.

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \[f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{(x-2)^2}.\] On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Une symétrie cachée. Montrer que \(f(2-x)=-f(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\). En déduire que \(I(1;0)\) est un centre de symétrie de \(C_f\). Calculer \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

2. Demi-tangentes verticales. Étudier les limites, à gauche et à droite, des taux d’accroissement de \(f\) en \(0\), puis en \(2\). Interpréter géométriquement les quatre résultats.

3. Variations et image. Calculer \(f'(x)\) en tout point où elle existe. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\), puis déterminer exactement \(f(\mathbb R)\).

4. Inflexion et tangente. Calculer \(f''(x)\) pour \(x\in]0;2[\). Montrer que \(I\) est un point d’inflexion de \(C_f\), puis déterminer l’équation de la tangente \((T)\) en \(I\).

5. Défi géométrique. Démontrer que la droite \((T)\) et la courbe \(C_f\) ont exactement trois points communs. Préciser les intervalles contenant leurs abscisses, sans chercher à les calculer.

Repère de cours

On commence par identifier le domaine, puis on utilise le taux d’accroissement en un point délicat. Sur un intervalle où la dérivée existe, son signe permet d’étudier la monotonie ; celui de la dérivée seconde permet d’analyser la concavité.

Exercice 02 — Raccordement et dérivabilité avec paramètre

Le paramètre modifie la fonction tout en conservant le même type de raccordement. Le travail demande de distinguer continuité, dérivabilité et monotonie : aucune de ces propriétés ne doit être affirmée sans vérifier ses hypothèses.

Énoncé

Soit \(a\in]-2;2[\) et \(b\in\mathbb R\). On considère \[f_{a,b}(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x^2+ax+1}-1}{x},&x\ne0,\\[4pt]b,&x=0.\end{cases}\]

1. Prolongement. Justifier que \(x^2+ax+1>0\) sur \(\mathbb R\). Déterminer l’unique valeur de \(b\) pour laquelle \(f_{a,b}\) est continue en \(0\).

2. Dérivée au point de raccordement. Pour cette valeur de \(b\), calculer \(f'_{a,b}(0)\) directement à partir du taux d’accroissement.

3. Une dérivée positive. En posant \(s(x)=\sqrt{x^2+ax+1}\), établir, pour \(x\ne0\), \[f'_{a,b}(x)=\frac{4-a^2}{2s(x)[2s(x)+2+ax]}.\] En déduire le sens de variation de \(f_{a,b}\) sur \(\mathbb R\).

4. Bijection. Calculer les limites de \(f_{a,b}\) en \(-\infty\) et \(+\infty\). Montrer que \(f_{a,b}\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(]-1;1[\).

5. Réciproque exacte. Exprimer \(f_{a,b}^{-1}(t)\) pour \(t\in]-1;1[\), puis calculer \((f_{a,b}^{-1})'(a/2)\) de deux manières différentes.

Repère de cours

Une expression indéterminée au premier regard peut se simplifier par la quantité conjuguée. Pour dériver au point de raccordement, la définition du nombre dérivé reste prioritaire ; pour inverser la fonction, la bijection doit d’abord être démontrée.

Exercice 03 — Raccordement, variations et inflexion

Une fonction définie par morceaux exige une lecture séparée de chaque branche. Le comportement au point de jonction détermine d’abord la régularité de la fonction ; ensuite, le paramètre règle la forme de la branche parabolique.

Énoncé

Pour \(a,b\in\mathbb R\), on définit \(f_{a,b}\) sur \(\mathbb R\) par \[f_{a,b}(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}+1},&x<0,\\[4pt]ax^2+bx,&x\ge0.\end{cases}\]

1. Raccordement. Montrer que \(f_{a,b}\) est continue en \(0\) pour tout \((a,b)\). Déterminer la condition sur \(b\) pour que \(f_{a,b}\) soit dérivable en \(0\).

2. Dérivée et variations. On suppose désormais \(b=\dfrac12\). Calculer \(f'_{a,1/2}(x)\) pour \(x<0\) et \(x>0\). Discuter, suivant le signe de \(a\), les variations sur \(\mathbb R\).

3. Image et injectivité. Déterminer \(f_{a,1/2}(\mathbb R)\) pour \(a\ge0\), puis pour \(a<0\). Préciser dans quels cas la fonction est injective.

4. Concavité. Étudier la concavité de la courbe de \(f_{a,1/2}\) de part et d’autre de \(0\). Pour quelles valeurs de \(a\) le point \(O(0;0)\) est-il un point d’inflexion ?

5. Équation avec paramètre. Déterminer, selon \(a\), le nombre de solutions réelles de \[f_{a,1/2}(x)=-\frac12.\] Si \(a<0\), donner les deux solutions sous forme exacte.

Repère de cours

Les limites et dérivées se calculent branche par branche. Au point de raccordement, la dérivabilité nécessite l’égalité des dérivées unilatérales, en plus de la continuité. Une équation doit être résolue en respectant l’intervalle propre à chaque expression.

Exercice 04 — Réciproque, inflexion et équations

Le raisonnement prend ici pour objet la fonction réciproque : son existence n’est pas une simple notation. Une fois la bijection acquise, la dérivée de la réciproque donne une méthode efficace pour étudier sa géométrie.

Énoncé

Soit \(F(x)=x+\operatorname{Arctan}(x)\), pour \(x\in\mathbb R\). On note \(G=F^{-1}\) lorsque cette fonction réciproque existe.

1. Bijection. Montrer que \(F\) est impaire, strictement croissante sur \(\mathbb R\), puis bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\).

2. Dérivée de la réciproque. Montrer que \(G\) est impaire et dérivable sur \(\mathbb R\), et que \[G'(t)=\frac{1+G(t)^2}{2+G(t)^2}.\] En déduire l’équation de la tangente à sa courbe en \(O\).

3. Inflexion. Calculer \(G''(t)\) en fonction de \(G(t)\). Étudier son signe et montrer que \(O\) est un point d’inflexion de la courbe de \(G\).

4. Position relative. Déterminer le signe de \(G(t)-t/2\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\).

5. Discussion de perfectionnement. Pour \(\lambda\in\mathbb R\), déterminer le nombre de solutions réelles de \[G(t)=\lambda t.\] On pourra étudier, pour \(x>0\), la fonction \(\dfrac{x}{x+\operatorname{Arctan}(x)}\).

Repère de cours

Pour une fonction continue strictement monotone sur un intervalle, l’existence de la réciproque se lit sur son image. Si sa dérivée ne s’annule pas, la réciproque est dérivable et sa dérivée se calcule avec la formule du cours.

Exercice 05 — Racines cubiques et équation paramétrée

Les racines cubiques permettent de définir la fonction sur toute la droite réelle, y compris pour des arguments négatifs. La fonction présente une symétrie moins immédiate qu’une parité ordinaire et des points à examiner soigneusement pour la dérivabilité.

Énoncé

On étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \[f(x)=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}.\]

1. Symétrie. Montrer que \(f(x)>0\) et que \(f(-1-x)=f(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\). En déduire un axe de symétrie de sa courbe.

2. Dérivabilité et variations. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(-1\) et en \(0\). Calculer \(f'(x)\) ailleurs et déterminer les variations de \(f\).

3. Image exacte. Calculer les limites de \(f\) aux deux infinis. Montrer que \[f(\mathbb R)=]0;\sqrt[3]{4}].\]

4. Une équation simple en apparence. Résoudre exactement dans \(\mathbb R\) l’équation \(f(x)=1\).

5. Discussion complète. Pour \(\lambda>0\), discuter le nombre de solutions réelles de \(f(x)=\lambda\). Lorsque \(0<\lambda<\sqrt[3]{4}\), déterminer explicitement les deux solutions à l’aide du changement de variable \[m=\frac{\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x}}{2}.\]

Repère de cours

Pour une racine cubique, la formule de dérivation habituelle requiert un argument non nul. La discussion des solutions d’une équation s’appuie d’abord sur les variations et l’image, avant de rechercher des expressions exactes.

Exercice 06 — Rolle, racines et contrôle des paramètres

Le théorème de Rolle établit un lien entre les zéros d’un polynôme et ceux de sa dérivée. Dans cet exercice, ce lien devient un outil pour limiter le nombre de racines, puis pour les localiser et mesurer leur déplacement quand le paramètre varie.

Énoncé

Pour \(\lambda\in\mathbb R\), on considère le polynôme \[P_\lambda(x)=x^5-5x+\lambda.\]

1. Variations. Calculer \(P_\lambda'(x)\). Étudier les variations de \(P_\lambda\) sur \(\mathbb R\) et déterminer ses valeurs en \(-1\) et en \(1\).

2. Théorème de Rolle. Montrer que \(P_\lambda\) ne peut pas posséder quatre racines réelles distinctes.

3. Discussion suivant \(\lambda\). Déterminer le nombre de racines réelles distinctes de \(P_\lambda\) selon les valeurs de \(\lambda\).

4. Symétrie. Comparer les racines de \(P_\lambda\) et celles de \(P_{-\lambda}\). Résoudre exactement \(P_0(x)=0\).

5. Stabilité des racines. Pour \(0\le\lambda\le2\), on note \(\alpha_\lambda\) l’unique racine de \(P_\lambda\) dans \(]1;+\infty[\). Montrer que \[\frac54<\alpha_\lambda<\frac32,\] puis, pour \(\lambda,\mu\in[0;2]\), utiliser le TAF pour établir \[|\alpha_\lambda-\alpha_\mu|\le\frac{256}{1845}|\lambda-\mu|.\]

Repère de cours

Si une fonction continue sur un segment et dérivable à l’intérieur prend la même valeur aux extrémités, Rolle garantit une annulation de sa dérivée. Le TAF permet ensuite de comparer quantitativement des valeurs de fonctions sur un intervalle.

Exercice 07 — TAF, tangentes et équation à paramètres

La convexité apparaît à la fois sous une forme analytique et géométrique : elle gouverne les pentes des sécantes, l’emplacement des tangentes et le nombre d’intersections avec une droite.

Énoncé

On considère \(f(x)=\sqrt{1+x^2}\) pour \(x\in\mathbb R\). Pour \(a\in\mathbb R\), \((T_a)\) désigne la tangente à sa courbe au point d’abscisse \(a\).

1. Dérivées et TAF. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\). En déduire, pour \(a<b\), \[f'(a)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(b).\]

2. Tangente d’appui. Donner l’équation de \((T_a)\) et montrer que la courbe est strictement au-dessus de \((T_a)\) pour \(x\ne a\).

3. Écart quadratique exact. Démontrer l’identité \[f(x)-\frac{1+ax}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{(x-a)^2}{\sqrt{1+a^2}\left[\sqrt{(1+x^2)(1+a^2)}+1+ax\right]}.\] Calculer la limite du quotient de gauche par \((x-a)^2\) lorsque \(x\to a\).

4. Minimum avec paramètre. Soit \(m\in]-1;1[\). Étudier les variations et l’image de \(h_m(x)=f(x)-mx\) sur \(\mathbb R\).

5. Discussion géométrique. Selon \(b\in\mathbb R\), donner le nombre d’intersections de la droite \(y=mx+b\) avec la courbe. Dans le cas de deux intersections, déterminer leurs abscisses exactes.

Repère de cours

Une dérivée seconde strictement positive entraîne une dérivée première strictement croissante. La tangente constitue alors une droite d’appui. Pour une équation avec droite mobile, l’étude du minimum de la différence entre la courbe et la droite précède le calcul algébrique.

Exercice 08 — Rolle et une équation transcendante

Une équation transcendante ne se résout pas toujours par une formule explicite. La dérivation permet néanmoins d’en connaître le nombre de solutions, les éventuels seuils sur le paramètre et un encadrement rigoureux de ses racines.

Énoncé

Pour \(a>0\) et \(b\in\mathbb R\), on étudie l’équation \[x-a\operatorname{Arctan}(x)=b\qquad(E_{a,b}).\] On pose \(H_a(x)=x-a\operatorname{Arctan}(x)\).

1. Inégalité préalable. Montrer, pour \(t>0\), \[\operatorname{Arctan}(t)>\frac{t}{1+t^2}.\]

2. Variations. Étudier \(H_a\) suivant que \(0<a\le1\) ou \(a>1\). Calculer ses limites aux deux infinis.

3. Trois solutions possibles. Si \(a>1\), poser \[c=\sqrt{a-1},\qquad M=a\operatorname{Arctan}(c)-c.\] Montrer que \(M>0\) et discuter le nombre de solutions de \((E_{a,b})\) selon \(b\).

4. Rôle du théorème de Rolle. Retrouver, sans tableau de variations, que \((E_{a,b})\) admet au plus trois solutions distinctes.

5. Un encadrement exact. Pour \(a=2\) et \(b=0\), montrer que les solutions sont \(-r,0,r\), avec \[\sqrt3<r<\pi.\]

Repère de cours

Pour discuter le nombre de solutions de \(H_a(x)=b\), on examine la continuité, les variations et l’image des branches monotones. Le théorème de Rolle fournit aussi une borne sur le nombre de solutions sans qu’il soit nécessaire de les calculer.

Exercice 09 — Concavité, asymptote et droites sécantes

Cette étude relie trois descriptions d’une courbe : son sens de parcours, sa courbure et ses branches infinies. Les droites parallèles à l’asymptote fournissent ensuite une famille d’équations dont le nombre de solutions dépend d’un paramètre.

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \[f(x)=x+\frac{x}{1+x^2}.\] On note \(C_f\) sa courbe dans un repère orthonormé.

1. Bijection et symétrie. Montrer que \(f\) est impaire et strictement croissante sur \(\mathbb R\). En déduire que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\).

2. Trois points d’inflexion. Démontrer que \[f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}.\] Dresser le tableau de concavité et préciser les abscisses des points d’inflexion.

3. Tangentes remarquables. Déterminer les équations des tangentes à \(C_f\) en \(x=0\), \(x=-\sqrt3\) et \(x=\sqrt3\).

4. Branches infinies. Déterminer l’asymptote oblique de \(C_f\) aux deux infinis. Étudier la position relative de la courbe et de son asymptote.

5. Droites parallèles à l’asymptote. Montrer que \[-\frac12\le f(x)-x\le\frac12.\] Discuter, suivant \(c\in\mathbb R\), le nombre de solutions de \(f(x)=x+c\) et donner leur expression exacte lorsqu’elles sont distinctes.

Repère de cours

Une asymptote oblique \(y=ax+b\) se vérifie par la limite de \(f(x)-(ax+b)\). La position relative est donnée par le signe de cette différence. Pour les intersections avec ses parallèles, on étudie directement les valeurs prises par cette différence.

Pour conclure

Ces neuf problèmes ont été conçus pour entraîner la maîtrise des hypothèses, le choix d’une méthode adaptée et la cohérence des arguments. Vérifier le domaine et les points non dérivables, distinguer valeur et limite, justifier les changements de signe et contrôler les éventuelles solutions parasites sont des réflexes indispensables.

Parcours Maths Maroc — PMM · Professeur Hammou Boudraa · 2e Bac Sciences Mathématiques