Exercices MPM 11 à 18 — Suites numériques
2e Bac Sciences Mathématiques — Perfectionnement
Les huit exercices de cette série approfondissent l’étude des suites numériques à partir de sommes, de produits finis, de récurrences et de familles dépendant d’un paramètre. Chaque situation demande de relier une transformation algébrique à une propriété du cours : positivité, monotonie, convergence des suites adjacentes ou encadrement.
Une difficulté fréquente consiste à confondre la convergence avec la seule observation des premiers termes. Ici, plusieurs exercices demandent précisément de construire la preuve : comprendre pourquoi deux suites se rapprochent, identifier la raison pour laquelle une suite est convergente ou divergente, ou transformer une expression pour obtenir une somme télescopique.
La recherche d’une précision est également centrale : il ne suffit pas de connaître une limite, il faut parfois établir une borne explicite, comparer des puissances et déterminer un rang garantissant une inégalité stricte. Les indications méthodologiques ne remplacent pas le raisonnement : elles servent à identifier l’outil pertinent, à vérifier ses hypothèses et à organiser les étapes de la démonstration.
Pour chaque exercice, les repères de cours précèdent l’énoncé intégral, suivi de conseils de méthode. Les calculs et les réponses restent à établir par l’élève.
Exercice MPM 11 — Sommes à radicaux et suites adjacentes
Les différences de deux racines carrées peuvent être étudiées par multiplication par la quantité conjuguée. Cette transformation transforme une comparaison de radicaux en une comparaison de dénominateurs positifs, ce qui facilite l'étude du signe d'une différence.
Deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre décroissante, et que leur différence tend vers zéro. Le théorème des suites adjacentes assure alors une même limite, encadrée entre leurs termes.
La connaissance d'une limite finie d'une différence du type S_n-2√n permet d'identifier le terme prépondérant de S_n sans calculer cette limite. Les encadrements des suites adjacentes fournissent en outre des contrôles d'erreur quantitatifs.
Pour \(n\ge1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{k}}\), puis
1. Deux comparaisons essentielles. Pour \(n\ge1\), comparer \(\dfrac1{\sqrt{n+1}}\) aux deux réels
2. Monotonies opposées. Démontrer que \((a_n)\) est strictement croissante et que \((b_n)\) est strictement décroissante.
3. Une limite cachée. Vérifier que \(a_n<b_n\) et que \(b_n-a_n\to0\). En déduire que ces deux suites sont adjacentes. On note \(L\) leur limite commune.
4. Deux limites de synthèse. Sans chercher à calculer \(L\), déterminer
5. Défi : une erreur contrôlée. Montrer que, pour \(n\ge1\),
En déduire un rang à partir duquel cette erreur est strictement inférieure à \(10^{-2}\).
Pour la première comparaison, rationaliser les différences de racines, puis vérifier soigneusement l'ordre des dénominateurs. Reprendre ces inégalités aux rangs adaptés lorsqu'il faut examiner a_{n+1}-a_n et b_{n+1}-b_n.
La différence b_n-a_n se simplifie directement, sans développer la somme S_n. Après avoir obtenu la limite commune, exploiter la relation entre S_n et l'une des deux suites pour déterminer les deux limites de synthèse.
Dans la dernière question, placer L entre a_n et b_n avant de majorer l'erreur. Lors du choix d'un rang, distinguer l'inégalité stricte exigée de la simple majoration disponible.
Exercice MPM 12 — Produits finis et télescopage
Un produit fini de facteurs rationnels peut souvent être simplifié par factorisation, puis par annulation entre numérateurs et dénominateurs successifs. Les facteurs strictement positifs et inférieurs à 1 permettent ensuite de discuter le sens de variation.
Une somme est télescopique lorsqu'on peut écrire chaque terme comme la différence de deux expressions successives. Dans ce cas, les termes intérieurs se compensent et la somme ne dépend plus que des termes extrêmes.
Pour déterminer un rang garantissant deux précisions à la fois, il faut résoudre les deux conditions strictes et retenir le plus grand des seuils. La minimalité se justifie en contrôlant le rang immédiatement précédent.
Pour \(n\ge1\), on définit le produit
1. Factorisation décisive. Montrer que
En déduire une expression de \(P_n\) ne contenant plus de produit.
2. Monotonie et limite. Démontrer que \((P_n)\) est strictement décroissante, minorée par \(\dfrac12\), et déterminer sa limite.
3. Une somme inattendue. On pose
Montrer que \(\dfrac1{P_k}-\dfrac1{P_{k-1}}=\dfrac1{(k+1)^2P_k}\). Calculer exactement \(A_n\).
4. Un second télescopage. Soit
Montrer que \(B_n=1-P_n\) puis exprimer \(A_n\) à l’aide de \(B_n\) et de \(P_n\). Déterminer les limites de \(A_n\) et \(B_n\).
5. Précision simultanée. Déterminer le plus petit rang \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
Dans le produit, séparer les facteurs en deux quotients, puis écrire quelques termes pour repérer précisément les facteurs qui se simplifient. Ne pas déduire la limite d'une intuition sur les facteurs avant d'avoir obtenu la formule exacte.
Pour la somme A_n, la relation proposée entre deux inverses de produits fait apparaître la forme d'un télescopage ; pour B_n, comparer P_k et P_{k-1} à l'aide du facteur qui définit leur rapport.
À la dernière question, exploiter les expressions exactes précédemment obtenues. Examiner soigneusement la stricte inégalité et la condition simultanée pour que le rang annoncé soit réellement le plus petit.
Exercice MPM 13 — Sommes géométriques pondérées
Lorsqu'un réel q vérifie 0 Les sommes pondérées par k ou k² se calculent sans dérivation en soustrayant la somme multipliée par q : les indices se décalent et les coefficients se simplifient. Un quotient de limites ne peut être formé qu'après avoir établi la convergence du numérateur et du dénominateur, et vérifié que la limite du dénominateur est non nulle. Une équation rationnelle en q peut ensuite être résolue par transformations algébriques.
Soit \(q\in]0;1[\). Pour tout \(n\ge1\), on définit
1. Une décroissance cachée. En étudiant le quotient de deux termes consécutifs, montrer que
2. Première somme pondérée. En calculant \(A_n-qA_n\), établir
En déduire la limite de \((A_n)\).
3. Une identité de degré supérieur. En posant \(G_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}q^k\), prouver que
4. Deux limites liées. Déterminer \(\lim B_n\), puis
5. Détermination inverse du paramètre. Trouver l’unique valeur de \(q\in]0;1[\) pour laquelle
Justifier l’unicité sans utiliser de dérivée.
Comparer (n+1)²q^{n+1} et n²qⁿ et utiliser le fait que leur quotient se rapproche de q. Pour A_n, écrire A_n puis qA_n en décalant les indices ; regrouper les coefficients de chaque puissance.
Le calcul de B_n s'organise de façon analogue, mais la différence de deux carrés apparaît dans les coefficients : elle doit être rapprochée des sommes A_n et G_n données dans l'énoncé.
Pour le paramètre final, réutiliser le quotient des limites déjà établi. Montrer par une équivalence algébrique que l'équation possède une seule solution dans l'intervalle imposé, sans utiliser de dérivée.
Exercice MPM 14 — Un paramètre change la convergence
Le quotient uₙ₊₁/uₙ et la différence uₙ₊₁−uₙ déterminent le sens de variation d'une suite positive. Pour établir sa limite, il faut toutefois ajouter un argument de convergence ou de divergence : la monotonie seule ne suffit pas.
La somme harmonique diverge. Ce fait se démontre au lycée en regroupant les fractions dans des blocs dont les longueurs doublent, chacun apportant une contribution uniformément positive.
Comparer deux suites construites avec des paramètres voisins peut ramener une question sur n·uₙ ou uₙ/n à un comportement déjà obtenu dans la discussion principale. Cela évite le calcul d'un produit explicite et l'emploi de logarithmes.
Pour \(a>0\), on considère la suite \((u_n(a))\) définie par
1. Le rôle de \(a\). Montrer que \(u_n(a)>0\) et étudier la monotonie de \((u_n(a))\) suivant la position de \(a\) par rapport à 1.
2. Un rappel à démontrer. En regroupant les termes par blocs de longueurs \(1,2,4,8,\ldots\), montrer que
3. Discussion complète. Écrire
À l’aide de la question 2, déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(a)\) dans les trois cas \(a<1\), \(a=1\) et \(a>1\).
4. Une relation entre paramètres. Prouver que, pour tout \(a>0\) et tout \(n\ge0\),
5. Défi : deux comportements plus fins. Sans calculer explicitement \(u_n(a)\), établir
Étudier d'abord le signe du facteur (n+a)/(n+1)-1. Dans la question sur les sommes harmoniques, organiser correctement les blocs pour obtenir une borne inférieure indépendante du numéro du bloc.
Pour discuter les limites, exploiter la différence u_{n+1}-u_n et la divergence harmonique. Distinguer la décroissance vers une limite éventuelle, la constance et la croissance vers l'infini.
La relation entre a et a+1 est un outil de transfert. Pour les deux dernières limites, choisir judicieusement le paramètre décalé afin d'utiliser, et non de redémontrer, la discussion de la question 3.
Exercice MPM 15 — Récurrence avec forçage géométrique
Une récurrence linéaire uₙ₊₁=quₙ+rₙ avec 0 La convergence n'exige pas toujours la monotonie. Lorsque la somme contient à la fois des puissances de q et des fractions dépendant de n, la couper en deux zones permet d'utiliser, dans chacune, le facteur qui apporte la plus forte majoration. Pour déterminer la limite de nuₙ, une première majoration de uₙ ne suffit pas : on compare la somme pondérée à la somme géométrique de même longueur et on contrôle précisément leur différence.
Soit \(q\in]0;1[\). On considère la suite définie par
1. Positivité et majoration. Montrer que \(u_n>0\) pour \(n\ge1\), puis établir
2. Expression comme une somme. Démontrer par récurrence que
3. Convergence sans monotonie. En séparant la dernière somme en deux parties selon que \(j\le n/2\) ou \(j>n/2\), montrer que \(u_n\to0\).
4. Vitesse exacte. Avec la même séparation et la majoration
démontrer que
5. Paramètre à retrouver. Déterminer l’unique \(q\in]0;1[\) pour lequel la limite de \((nu_n)\) est égale à 3. En déduire la limite de \(n(u_{n+1}-u_n)\) pour ce paramètre.
Écrire quelques itérations de la récurrence pour deviner la forme de la somme, puis en vérifier rigoureusement la formule par récurrence. L'encadrement de la première question peut être obtenu par comparaison avec une somme géométrique finie.
Dans les questions 3 et 4, séparer les indices j petits et grands par rapport à n/2. Pour les petits indices, contrôler les dénominateurs ; pour les grands indices, exploiter les puissances géométriques très petites. Éviter d'invoquer un échange de limite et de somme sans justification.
Une fois la limite de nuₙ obtenue, l'équation numérique détermine q. Réécrire enfin n(u_{n+1}-u_n) à l'aide de la récurrence initiale, ce qui évite de soustraire directement deux limites mal adaptées.
Exercice MPM 16 — Deux paramètres et une compensation
Multiplier une récurrence par un facteur simple dépendant de n peut faire disparaître les coefficients devant le terme précédent. La nouvelle suite vérifie alors une relation portant sur la différence de deux termes consécutifs.
La divergence de la somme harmonique et le fait que Hₙ/n tende vers zéro se démontrent sans logarithme, par regroupements ou comparaisons élémentaires. Ils permettent de discuter la taille d'une somme après division par n.
Lorsqu'un paramètre annule le coefficient devant le terme divergent, une compensation exacte apparaît. La limite ordinaire peut masquer un comportement plus fin, qu'une transformation algébrique met en évidence.
On note \(H_0=0\) et \(H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k\) pour \(n\ge1\). Soient \(a,b\in\mathbb R\). On définit
1. Une suite auxiliaire. En posant \(v_n=(n+1)u_n\), montrer que
2. Formule exacte. Établir par télescopage que
3. Deux faits à démontrer. Prouver, sans logarithme, que
4. Discussion suivant \((a,b)\). Montrer que \(u_n\to0\) pour tous \(a,b\). Déterminer ensuite \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nu_n\) selon le signe de \(a+b\).
5. Défi : compensation parfaite. Lorsque \(a+b=0\), montrer que
Déterminer alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2\left(u_n+\frac an\right)\) (pour \(n\ge1\)).
Le choix v_n=(n+1)u_n est imposé pour éliminer le facteur (n+1)/(n+2). Une fois la différence v_{n+1}-v_n obtenue, sommer de 0 à n−1 puis exploiter Hₙ et Hₙ₊₁.
Pour démontrer Hₙ/n→0, distinguer les premiers termes de la somme, peu nombreux, des termes restants, dont chacun est petit. Les résultats obtenus permettent de traiter uₙ et nuₙ de façon séparée.
Dans le cas a+b=0, remplacer b par −a dans la formule exacte, puis mettre au même dénominateur l'expression de la dernière limite. Vérifier attentivement les puissances de n avant de conclure.
Exercice MPM 17 — Synthèse : un seuil et une convergence rapide
Pour une suite définie par itération d'une fonction rationnelle, la première précaution consiste à vérifier que le dénominateur ne s'annule pas et qu'un intervalle est stable.
Une substitution auxiliaire peut transformer une récurrence fractionnaire en une relation simple sur des puissances. Dans ce cas, le sens de variation et les limites se déduisent de la position du terme initial par rapport à 1.
Une erreur dont l'exposant double à chaque rang décroît extrêmement vite. Une précision numérique s'obtient par comparaison de puissances entières, sans logarithme ni calculatrice.
Soit \(a\in]0;1[\). On définit la suite \((u_n)\) par
1. Un intervalle stable. Montrer par récurrence que \(0<u_n<1\) pour tout \(n\ge0\).
2. La bonne suite auxiliaire. Poser
Montrer que \(v_{n+1}=v_n^2\), puis exprimer exactement \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(a\) et de \(n\).
3. Trois comportements différents. Discuter la monotonie et la limite de \((u_n)\) selon les cas \(0<a<\dfrac12\), \(a=\dfrac12\) et \(\dfrac12<a<1\).
4. Symétrie et reconstruction. Montrer que, pour tout \(n\ge0\),
Déterminer ensuite l’unique \(a\in]0;1[\) tel que \(u_2(a)=\dfrac{16}{17}\).
5. Défi final : une précision extrême. Pour \(a=\dfrac23\), établir
Déterminer le plus petit entier \(N\) tel que \(1-u_n<10^{-6}\) pour tout \(n\ge N\). Justifier la minimalité sans calculatrice.
Pour l'invariance de ]0;1[, comparer numérateur et dénominateur en utilisant la stricte positivité des deux carrés. La transformation (1−u)/u est ensuite à substituer exactement dans la récurrence, avant d'itérer.
La valeur seuil est révélée par la suite auxiliaire : comparer son premier terme à 1. Pour la symétrie, écrire les deux expressions correspondant aux valeurs initiales a et 1−a et examiner le rôle de leurs quotients.
Pour l'unicité de a et la question de précision, traduire les égalités ou inégalités portant sur uₙ en égalités ou inégalités entre puissances positives. Comparer deux rangs consécutifs pour assurer la minimalité.
Exercice MPM 18 — Synthèse finale : alternance et précision
Les sommes alternées peuvent être étudiées par les sous-suites de rangs pairs et impairs. La différence de deux termes de même parité est une différence entre deux fractions successives, dont le signe est déterminable directement.
La convergence des sous-suites adjacentes définit une limite sans recourir à une formule usuelle. L'écart entre une sous-suite et cette limite peut s'écrire comme la limite d'une somme de différences successives positives.
La comparaison terme à terme avec des sommes télescopiques fournit des encadrements fins. Le théorème d'encadrement permet alors d'obtenir des limites de produits et de quotients d'erreurs ; ces résultats se passent d'intégrales et de logarithmes.
Pour \(n\ge1\), on définit la somme alternée
On pose, pour \(n\ge1\), \(a_n=S_{2n}\) et \(b_n=S_{2n+1}\).
1. Deux sens de variation. Montrer que \((a_n)\) est strictement croissante, que \((b_n)\) est strictement décroissante et que
2. Une limite sans formule usuelle. Démontrer que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes. On note \(L\) leur limite commune. Établir \(a_n<L<b_n\).
3. La clé : une somme positive. En posant \(E_n=L-a_n\), montrer que
4. Encadrement fin sans intégrale. En comparant chaque terme à des fractions télescopiques, prouver
En déduire les limites de \(n(L-a_n)\) et de \(n(b_n-L)\).
5. Défi de synthèse. On pose \(H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k\). Démontrer que
Quelle est alors la limite de \((H_{2n}-H_n)\) ?
Former a_{n+1}−a_n et b_{n+1}−b_n en groupant correctement deux termes successifs de Sₙ. Vérifier ensuite la différence b_n−a_n avant d'appliquer les conditions exactes du théorème des suites adjacentes.
L'erreur L−a_n est obtenue en sommant les accroissements positifs de a_n, puis en faisant tendre le dernier indice vers l'infini. Pour son encadrement, chercher deux différences de fractions rationnelles consécutives qui encadrent chaque terme.
La dernière question relie trois descriptions d'une même limite : somme alternée, différence de sommes harmoniques et écart des suites adjacentes. Construire la conclusion à partir des résultats démontrés, sans employer une valeur de L non établie dans l'exercice.
Les changements de forme sont décisifs pour comprendre les suites : une somme de fractions se simplifie par télescopage ; un produit donne parfois une expression rationnelle ; un facteur de récurrence disparaît après l’introduction d’une suite auxiliaire. Avant chaque transformation, il faut vérifier les conditions permettant de l’effectuer.
Les théorèmes de convergence des suites monotones et des suites adjacentes ne s’appliquent que lorsque leurs hypothèses ont été démontrées. Pour les suites dépendant d’un paramètre, il faut traiter distinctement les cas imposés et expliquer ce qui change à la valeur seuil.
Enfin, un résultat de précision repose sur une estimation justifiée de l’erreur : une borne supérieure et un rang choisi ne suffisent pas toujours à établir la minimalité. Les exercices montrent comment utiliser les encadrements, les puissances géométriques et les comparaisons de sommes sans faire appel aux développements limités ou à la règle de L’Hôpital.
Professeur Hammou Boudraa
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