Exercices MPM 5 à 10 — Suites numériques
2e Bac Sciences Mathématiques — Perfectionnement
Cette série de six exercices prolonge l'étude des suites numériques par des situations qui demandent de combiner plusieurs notions du cours. Les suites étudiées ne sont pas toujours données par une formule explicite : elles peuvent dépendre de deux termes précédents, être définies comme les racines d'une famille de polynômes, provenir de quotients de nombres entiers ou faire intervenir un paramètre.
Pour comprendre de telles suites, il faut commencer par vérifier leur bonne définition, établir un encadrement ou identifier une propriété conservée d'un rang au suivant. On peut ensuite déterminer le sens de variation, démontrer la convergence, étudier des sous-suites ou transformer une récurrence afin d'obtenir une information plus précise. Les résultats de chaque question constituent souvent les outils indispensables aux questions suivantes.
La série accorde une place importante à la précision de convergence. Un encadrement géométrique, une identité télescopique ou une relation quadratique entre deux erreurs permet parfois d'obtenir une borne numérique sans calculatrice. D'autres questions conduisent à distinguer plusieurs comportements selon la valeur d'un paramètre, ou à interpréter la convergence de sous-suites de sens contraires.
Pour chaque exercice, les repères de cours rappellent les propriétés utiles. Les conseils méthodologiques qui suivent l'énoncé aident à organiser la recherche et à vérifier les hypothèses des théorèmes. Les démonstrations et les résultats demandés restent à établir par l'élève.
Exercice MPM 5 — Récurrence d'ordre 2 et convergence
Une relation faisant intervenir deux termes consécutifs ne permet de construire la suite qu'à partir de deux valeurs initiales. Pour démontrer un encadrement de tous les termes, l'hérédité doit donc utiliser les deux informations disponibles au rang considéré. Une méthode consiste à établir simultanément l'appartenance de deux termes successifs à un même intervalle et à montrer que le terme suivant appartient encore à cet intervalle.
Une suite croissante et majorée est convergente. Lorsque la relation de récurrence contient plusieurs termes, le passage à la limite ne peut être effectué qu'après avoir établi la convergence. Si une limite existe, les termes de rangs voisins ont la même limite et une relation algébrique peut alors caractériser celle-ci. Une valeur vérifiant l'équation obtenue n'est cependant pas automatiquement la limite : la preuve de convergence reste nécessaire.
Pour mesurer la proximité de la suite à une limite candidate, on introduit parfois l'écart entre cette valeur et le terme de rang n. Une majoration reliant un écart à ceux de deux rangs antérieurs peut être exploitée séparément sur les indices pairs et impairs. Elle permet également d'étudier une suite dont les deux premiers termes ont été choisis arbitrairement, même si cette nouvelle suite n'est pas monotone.
On considère la suite \((u_n)_{n\ge 0}\) définie par
On pose \(\alpha=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\).
1. Une valeur remarquable. Vérifier que \(\alpha^2+\alpha=1\) et \(3\alpha=1+\alpha+\alpha^3\). Calculer \(u_2\) et \(u_3\).
2. Encadrement par récurrence. Démontrer que
3. Variations et limite. Montrer que
En déduire la convergence de \((u_n)\), puis déterminer sa limite exacte.
4. Précision de la convergence. On pose \(e_n=\alpha-u_n\).
a) Vérifier que, pour tout \(n\ge0\),
b) En utilisant \(\dfrac13+\alpha^2\lt\dfrac34\), établir \(e_{n+2}\le\dfrac34e_n\).
c) En déduire, pour tout \(n\ge0\),
5. Défi : deux termes initiaux quelconques. Soient \(a,b\in[0;\alpha]\). On considère la suite \((v_n)\) définie par
Montrer que \(0\le v_n\le\alpha\) pour tout \(n\), puis que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=\alpha\), sans supposer que \((v_n)\) est monotone.
Commencer par exploiter les propriétés algébriques de \(\alpha\) : elles expliquent pourquoi cette valeur intervient dans le choix de l'intervalle et dans la relation de récurrence. Pour la question 2, vérifier les deux valeurs initiales, puis utiliser les bornes sur \(u_n\) et \(u_{n+1}\) pour encadrer \(u_{n+2}\). Il est essentiel de ne pas appliquer une récurrence qui ne contrôlerait qu'un seul terme.
Pour les variations, comparer deux termes voisins en tenant compte de la présence simultanée de \(u_{n+1}\) et de \(u_n^3\). Les premiers termes sont utiles pour initialiser le raisonnement. Une fois la croissance et la majoration obtenues, identifier précisément le théorème assurant la convergence avant de faire intervenir la relation de récurrence dans la détermination de la limite.
L'étude de l'erreur permet de passer d'une simple convergence à une estimation quantitative. La question 4 demande d'utiliser l'encadrement déjà établi pour majorer une différence de cubes, puis d'itérer une relation qui relie des rangs séparés de deux unités. Il faut donc distinguer soigneusement les indices pairs et impairs.
Dans le défi final, les valeurs initiales changent et la monotonie précédente n'est plus acquise. Chercher une majoration commune aux écarts de deux termes successifs, puis vérifier qu'elle décroît lorsque l'on avance de deux rangs. Cette démarche doit reposer uniquement sur la stabilité de l'intervalle et les estimations établies, sans invoquer une croissance qui n'a pas été démontrée.
Exercice MPM 6 — Racines de polynômes et convergence
Une suite peut être définie non par une récurrence, mais par une équation différente à chaque rang. Pour s'assurer que cette définition a un sens, il faut montrer que chaque équation possède une solution et que celle-ci est unique dans l'intervalle annoncé. Le théorème des valeurs intermédiaires fournit l'existence lorsque la fonction est continue et prend des valeurs de signes opposés aux extrémités de l'intervalle. Une propriété de stricte monotonie permet ensuite de justifier l'unicité.
Pour comparer les solutions associées à deux rangs consécutifs, il est souvent préférable de comparer les fonctions qui les définissent, plutôt que de rechercher des formules explicites pour les racines. Une fois la monotonie de la suite établie, un encadrement approprié conduit à la convergence. Une identité obtenue par factorisation ou à l'aide de la formule d'une somme géométrique peut renforcer cet encadrement.
Les questions de vitesse de convergence demandent de dépasser le seul calcul de la limite. Lorsqu'une petite différence est multipliée par une puissance croissante, il faut rechercher une identité exacte dans laquelle apparaît un facteur auxiliaire de limite connue. La conclusion doit découler d'une factorisation et d'un passage à la limite justifié, sans recourir à un développement limité.
Pour tout entier \(n\ge2\), on considère le polynôme
On désigne par \(\alpha_n\) son éventuelle racine dans \(\left]\dfrac12;1\right[\).
1. Existence et unicité. Montrer que \(P_n(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \(\left]\dfrac12;1\right[\). Calculer \(\alpha_2\).
2. Une suite implicite. Montrer que \((\alpha_n)_{n\ge2}\) est strictement décroissante et que
Établir ensuite l'identité
3. Convergence et première précision. Montrer que
En déduire la limite de la suite \((\alpha_n)\).
4. Défi : vitesse exacte de convergence. On pose
a) Montrer que \(0\lt T_n\le(n+1)\left(\dfrac23\right)^n\) et en déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}T_n=0\).
b) Prouver, par factorisation, que
c) En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}2^{n+2}\left(\alpha_n-\frac12\right)\).
5. Perfectionnement final. Déterminer, en justifiant soigneusement, la limite
Pour établir l'existence de \(\alpha_n\), étudier d'abord les valeurs du polynôme aux deux bornes de l'intervalle. Justifier sa continuité, puis son caractère strictement croissant sur l'intervalle considéré. L'unicité et l'existence reposent sur deux arguments distincts, à faire apparaître dans la rédaction.
La comparaison de \(\alpha_n\) et de \(\alpha_{n+1}\) doit exploiter le fait que les polynômes successifs ne diffèrent que d'un terme. Pour obtenir l'identité de la question 2, utiliser la relation vérifiée par la racine et la formule de la somme des puissances d'un réel différent de 1. Les encadrements déjà démontrés suffisent ensuite à contrôler la puissance qui apparaît.
Dans la question 4, la somme \(T_n\) n'est pas à calculer terme par terme. Commencer par majorer chacun de ses termes au moyen de la borne disponible sur \(\alpha_n\). Pour comprendre la factorisation demandée, rechercher l'identité générale qui exprime la différence entre deux puissances de même exposant ; elle fait naturellement apparaître une somme de produits.
Enfin, la limite du quotient de la question 5 ne découle pas du simple fait que le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro. Il faut réutiliser l'identité exacte de la question 4, l'appliquer à deux rangs consécutifs, puis justifier chaque limite des facteurs obtenus.
Exercice MPM 7 — Quotients, adjacence et précision
Une suite d'entiers définie par une récurrence peut engendrer de nouvelles suites, notamment lorsqu'on forme les quotients de deux termes consécutifs. Il est alors indispensable de vérifier que les dénominateurs ne sont pas nuls. Une identité algébrique entre trois termes voisins peut permettre d'étudier le signe des différences de quotients et de repérer un comportement alterné.
Deux sous-suites extraites d'une même suite peuvent évoluer en sens contraires. Pour appliquer le théorème des suites adjacentes, il faut prouver que l'une est croissante, que l'autre est décroissante, qu'elles restent dans le bon ordre et que leur différence tend vers zéro. L'existence d'une limite commune ne suffit pas, à elle seule, à en donner la valeur : il faut encore exploiter une relation vérifiée par les quotients et les propriétés de la limite.
Une somme de différences successives est dite télescopique : presque tous ses termes se compensent. Enfin, lorsqu'une limite est décrite par une équation simple, une identité supplémentaire peut mesurer exactement l'écart d'un terme à cette limite. Elle complète les encadrements usuels de convergence.
On considère la suite \((F_n)_{n\ge0}\) définie par
1. Une croissance dissimulée. Montrer que, pour tout \(n\ge1\), \(F_n\gt0\) et \(F_{n+2}\ge2F_n\). En déduire que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}F_n=+\infty\).
2. Une identité remarquable. Démontrer par récurrence que
3. Des quotients oscillants. Pour \(n\ge1\), on pose \(r_n=\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\). Établir les deux identités
4. Deux suites adjacentes. On pose, pour tout \(n\ge0\),
Montrer que \((a_n)\) est strictement croissante, que \((b_n)\) est strictement décroissante et qu'elles sont adjacentes. Déterminer leur limite commune, notée \(\varphi\).
5. Défi final : précision et télescopage.
a) Montrer que, pour tout \(n\ge1\),
b) Pour \(N\ge1\), on pose
Exprimer \(S_N\) à l'aide de \(r_{N+1}\), puis déterminer \(\displaystyle\lim_{N\to+\infty}S_N\).
c) En utilisant \(\varphi^2=\varphi+1\), prouver par récurrence que
En déduire une expression exacte de \(r_n-\varphi\).
La positivité des \(F_n\) doit être établie avant toute définition de quotient. La première majoration concerne deux rangs d'écart : elle permet de traiter les indices pairs et impairs et de démontrer que tous les termes deviennent arbitrairement grands. Pour l'identité de la question 2, comparer l'expression au rang suivant à celle du rang courant.
Dans la question 3, utiliser directement la récurrence initiale pour transformer \(r_{n+1}\). Pour la différence \(r_{n+1}-r_n\), mettre les fractions au même dénominateur, puis reconnaître l'identité obtenue à la question précédente. Le signe alterné fournit une première information, mais l'étude des sous-suites exige de comparer des termes séparés de deux rangs.
Pour montrer l'adjacence, établir d'abord l'ordre des suites extraites. Examiner ensuite leur différence et exploiter la croissance sans borne des dénominateurs. Une fois leur convergence commune assurée, la relation entre les quotients successifs permet de former une équation satisfaite par la limite ; il faudra ensuite vérifier que la valeur retenue respecte les signes connus.
Pour la précision, situer \(\varphi\) entre deux quotients consécutifs. Dans la somme \(S_N\), reconnaître le terme général de la différence étudiée à la question 3 : développer quelques termes permet de comprendre le télescopage. Enfin, l'identité de la question 5c réclame une récurrence indépendante ; elle fournit une autre description de l'erreur, cette fois exacte.
Exercice MPM 8 — Oscillations et précision de convergence
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), un intervalle stable permet de garantir que les termes successifs restent dans le domaine où la fonction est étudiée. Si \(f\) est décroissante, deux termes successifs peuvent se situer de part et d'autre d'une valeur d'équilibre : la suite entière n'est alors pas nécessairement monotone. Les sous-suites de rang pair et impair peuvent cependant posséder chacune un sens de variation déterminé.
Le théorème des suites adjacentes s'applique lorsque ces sous-suites se rapprochent tout en évoluant en sens opposés. Pour mesurer ce rapprochement, on peut introduire la valeur absolue de la différence entre deux termes consécutifs. Une inégalité du type \(d_{n+1}\le qd_n\), avec \(0\le q\lt1\), entraîne une majoration géométrique de l'écart et donc sa convergence vers zéro.
Si la fonction est continue au point limite, toute limite d'une suite récurrente convergente vérifie l'équation \(f(\ell)=\ell\). Il faut toutefois distinguer l'existence de la limite, la résolution de cette équation et l'unicité de la solution. Une comparaison algébrique de \(f(x)\) et de \(f(y)\) peut remplacer une étude de dérivée lorsqu'une question le demande explicitement.
On considère la suite \((u_n)_{n\ge0}\) définie par
On pose \(I=[1;\sqrt2]\) et \(f(x)=\sqrt{1+\dfrac1x}\) pour \(x\in I\).
1. Stabilité et changement de sens. Montrer que \(f(I)\subset I\), puis que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\), sans utiliser de dérivée. En déduire que \(u_n\in I\) pour tout \(n\ge0\).
2. Deux sous-suites de sens contraires. Vérifier que \(u_2\gt u_0\). Montrer que \((u_{2n})\) est strictement croissante, que \((u_{2n+1})\) est strictement décroissante, et que
3. Adjacence et limite implicite. En posant \(d_n=|u_{n+1}-u_n|\), établir que
En déduire que \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont adjacentes. Montrer que leur limite commune \(\ell\) est l'unique solution dans \(I\) de
4. Précision garantie sans calculatrice. Démontrer que, pour tout \(n\ge0\),
En déduire que \(|u_{16}-\ell|\lt10^{-5}\).
5. Défi final : vitesse et indépendance du départ.
a) Montrer que \(u_n\ne\ell\) pour tout \(n\), puis calculer
b) Pour \(a\in I\), on définit \(v_0=a\) et \(v_{n+1}=f(v_n)\). Montrer que \(|v_n-\ell|\le\dfrac{|a-\ell|}{2^n}\), puis déterminer la limite de \((v_n)\).
La première question fixe le domaine sur lequel tous les raisonnements devront être réalisés. Pour comparer les images de deux réels positifs, examiner successivement l'effet du passage aux inverses, de l'addition de 1 et de la racine carrée. Ces opérations permettent de justifier la décroissance sans faire appel à une dérivée. L'appartenance de tous les termes à \(I\) relève ensuite du raisonnement par récurrence.
Une fonction décroissante inverse le sens d'une inégalité. Il faut donc comparer deux termes séparés de deux rangs pour obtenir les variations des sous-suites paires et impaires. Utiliser une récurrence adaptée à ces deux suites, puis déterminer leur position relative avant d'appliquer le théorème des suites adjacentes.
Dans l'étude de \(d_n\), transformer une différence de racines carrées en quotient à l'aide d'une multiplication par une somme conjuguée. Exploiter les bornes issues de \(I\) pour minorer le dénominateur. Une majoration géométrique de \(d_n\) justifie le rapprochement des deux sous-suites et sert ensuite à encadrer l'erreur à un rang fixé.
Pour les dernières questions, distinguer deux démarches : l'unicité de la valeur limite découle d'une étude de l'équation de point fixe, tandis que la vitesse locale dépend du quotient entre deux écarts successifs. Avant d'étudier ce quotient, justifier que son dénominateur ne s'annule jamais. Le raisonnement par encadrement s'adapte ensuite à une autre valeur initiale de \(I\).
Exercice MPM 9 — Deux suites liées et un paramètre
Dans une récurrence couplée, chaque nouveau terme peut dépendre de deux suites. La combinaison de plusieurs relations peut toutefois révéler une quantité conservée d'un rang au suivant, appelée invariant. Cette quantité simplifie l'étude des suites et peut permettre de retrouver séparément leurs termes à partir de leur différence.
Une suite géométrique de raison \(q\) a un comportement qui dépend du signe et de la valeur absolue de \(q\). Lorsque \(0\lt q\lt1\), ses termes positifs décroissent vers zéro ; lorsque \(-1\lt q\lt0\), les signes alternent tandis que les valeurs absolues diminuent. Si \(q=0\), tous les termes de rang au moins 1 sont nuls. Ces distinctions peuvent entraîner des comportements très différents pour deux suites définies par les mêmes formules mais avec des paramètres distincts.
Un encadrement géométrique peut également servir à déterminer un rang garantissant une précision choisie. Lorsqu'une question demande le plus petit rang, il faut à la fois prouver que la précision est atteinte à partir de ce rang et qu'elle ne l'est pas au rang précédent. Des comparaisons entre puissances d'entiers peuvent remplacer les logarithmes.
Soit \(\lambda\in\left]0;1\right[\). On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par
1. Stabilité et invariant. Montrer par récurrence que \(u_n,v_n\in[0;3]\). Établir ensuite que
2. Découverte d'une suite auxiliaire. On pose \(d_n=v_n-u_n\) et \(q=1-\dfrac{3\lambda}{2}\). Montrer que \((d_n)\) est géométrique. En déduire les expressions exactes
3. Trois comportements suivant le paramètre.
a) Si \(0\lt\lambda\lt\dfrac23\), montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.
b) Que se passe-t-il lorsque \(\lambda=\dfrac23\) ?
c) Si \(\dfrac23\lt\lambda\lt1\), montrer que \(u_n-v_n\) change de signe à chaque rang et étudier le sens de variation des quatre sous-suites \((u_{2n})\), \((u_{2n+1})\), \((v_{2n})\) et \((v_{2n+1})\).
Dans tous les cas, déterminer les limites de \((u_n)\) et \((v_n)\).
4. Précision garantie sans logarithme. Pour \(\lambda=\dfrac34\), déterminer le plus petit entier \(N\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
Justifier la minimalité de \(N\) par des comparaisons d'entiers.
5. Défi final : retrouver le paramètre. On ignore la valeur de \(\lambda\), mais on sait que \(u_2=\dfrac{15}{8}\). Déterminer toutes les valeurs possibles de \(\lambda\in\left]0;1\right[\). Montrer que l'information supplémentaire \(u_3\gt2\) permet d'identifier \(\lambda\) de façon unique.
Pour la stabilité de \([0;3]\), observer que les nouveaux termes sont obtenus comme des combinaisons des termes précédents avec des coefficients positifs dont la somme vaut 1. Il faut vérifier ces propriétés à partir de l'intervalle admis pour \(\lambda\). L'invariant se découvre ensuite en calculant la combinaison indiquée au rang suivant.
La différence \(d_n\) est destinée à simplifier le système. Calculer \(d_{n+1}\) à partir des deux relations, puis déterminer sa raison géométrique. Une fois sa formule explicite établie, associer la différence à l'invariant pour retrouver \(u_n\) et \(v_n\), sans résoudre séparément deux récurrences.
L'étude du paramètre doit être menée par intervalles. Dans le premier cas, examiner le signe de la raison géométrique et en déduire les variations de chaque suite. Dans le cas où cette raison est nulle, préciser à partir de quel rang la situation se stabilise. Dans le dernier cas, séparer les indices pairs et impairs avant de parler de monotonie : une alternance de signes ne signifie pas que chacune des suites initiales est monotone.
Pour la précision, traduire les deux inégalités en une condition sur une puissance entière et contrôler séparément le rang qui convient et celui qui le précède. Pour retrouver \(\lambda\), utiliser l'expression exacte du terme de rang 2 ; plusieurs valeurs du paramètre peuvent satisfaire une même égalité. La donnée sur le terme de rang 3 sert alors à lever cette ambiguïté.
Exercice MPM 10 — Une convergence quadratique
L'étude d'une suite récurrente commence souvent par un intervalle stable et par la comparaison de deux termes successifs. Une factorisation de \(f(x)-\ell\), où \(\ell\) est un point fixe éventuel, permet d'étudier la position des termes par rapport à cette valeur. La convergence peut ensuite être établie à l'aide du théorème des suites monotones, à condition d'avoir justifié une borne appropriée.
Lorsque l'erreur \(e_n=u_n-\ell\) satisfait un encadrement comportant \(e_n^2\), sa diminution peut être beaucoup plus rapide que dans une convergence géométrique ordinaire. Pour obtenir des bornes valables à tous les rangs, il faut encadrer le coefficient multiplicatif, puis utiliser la récurrence. L'exposant figurant dans la borne peut alors doubler d'une étape à l'autre.
Les limites de quotients d'erreurs donnent une information supplémentaire sur la vitesse de convergence. Il ne suffit pas d'observer que les erreurs tendent vers zéro : il faut transformer les quotients pour isoler les facteurs ayant une limite. Les demandes de précision à un rang minimal nécessitent par ailleurs un contrôle des inégalités strictes, notamment au rang immédiatement précédent.
On considère la suite \((u_n)\) définie par
1. Une identité cachée. Montrer que pour tout réel \(x\gt0\),
En déduire par récurrence que \(u_n\gt2\) pour tout \(n\ge0\).
2. Monotonie et limite exacte. Montrer que, pour tout \(n\ge0\), \(2\lt u_{n+1}\lt u_n\). En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
3. Encadrement quadratique de l'erreur. On pose \(e_n=u_n-2\). Démontrer que, pour tout \(n\ge0\),
Établir ensuite par récurrence le double encadrement
4. Précision garantie sans calculatrice. Déterminer le plus petit entier \(N\) tel que
Justifier la minimalité de \(N\) par des comparaisons d'entiers.
5. Défi final : vitesse exacte de convergence. Calculer les deux limites suivantes :
Interpréter la seconde limite en termes de vitesse de convergence.
La première identité transforme la différence entre l'image d'un réel et la valeur 2 en un produit dont le signe se lit directement. Pour la récurrence, l'initialisation et la stricte positivité des facteurs doivent être explicites. La monotonie de la question 2 se démontre par une autre comparaison : étudier cette fois \(u_{n+1}-u_n\), en utilisant l'encadrement déjà obtenu.
Dans la question 3, commencer par écrire la relation exacte satisfaite par \(e_{n+1}\) en fonction de \(e_n^2\). Le coefficient dépend de \(u_n\) : il faut donc exploiter l'intervalle dans lequel les termes ont été enfermés. Pour la récurrence sur les bornes, vérifier soigneusement les exposants au passage de \(n\) à \(n+1\).
La précision demandée est particulièrement exigeante parce qu'il faut obtenir le plus petit rang. Une majoration de l'erreur suffit à garantir que la précision est atteinte à partir d'un certain rang, mais une minoration est nécessaire pour démontrer qu'un rang antérieur ne convient pas. Les comparaisons devront porter sur des entiers et respecter le caractère strict de l'inégalité.
Enfin, pour le quotient des erreurs au carré, utiliser la relation exacte établie au début de la question 3. Pour le quotient simple, tenir compte du fait qu'il reste un facteur d'erreur après simplification. La comparaison des deux limites permet d'interpréter la rapidité de la convergence sans introduire de méthode extérieure au chapitre.
Ces exercices présentent plusieurs manières de définir une suite : récurrence d'ordre 2, racines de polynômes, quotients de termes d'une autre suite, itération d'une fonction et système dépendant d'un paramètre. Dans chaque situation, la démarche commence par les mêmes questions fondamentales : les termes sont-ils bien définis, quelles bornes peut-on établir, et quels résultats permettent de justifier une convergence éventuelle ?
Les suites adjacentes apparaissent lorsque deux sous-suites évoluent en sens contraires en se rapprochant. Les invariants et les suites auxiliaires permettent de simplifier des récurrences qui semblent complexes. Les sommes télescopiques, les majorations géométriques et les comparaisons d'entiers fournissent quant à elles des estimations de plus en plus précises.
Pour réussir ces exercices, il faut toujours distinguer une identité à démontrer, les hypothèses d'un théorème et la conclusion que l'on peut légitimement en tirer. Une limite ne s'obtient pas en remplaçant simplement les termes par une inconnue : la convergence doit avoir été établie auparavant. Enfin, une estimation de l'erreur doit être interprétée avec exactitude, surtout lorsqu'on cherche une précision garantie ou un rang minimal.
Professeur Hammou Boudraa
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