Projection dans le plan
Cours enrichi du Tronc Commun Scientifique : activités au fil des notions, définitions, propriétés, figures originales et applications corrigées.
I.Projection sur une droite
1. Projection parallèle
On donne une droite \((d)\) et une direction \((\Delta)\) non parallèle à \((d)\). On construit, pour chaque point \(M\), la parallèle à \((\Delta)\) passant par \(M\) : elle coupe \((d)\) en \(M^{\prime}\).
- Construire les projetés \(A^{\prime}\) et \(B^{\prime}\).
- Quelle est l’image d’un point appartenant à \((d)\) ?
- Deux points distincts peuvent-ils avoir le même projeté ? Justifier.
Une projection parallèle sur \((d)\), suivant une direction \((\Delta)\) non parallèle à \((d)\), associe à chaque point \(M\) l’unique point \(M^{\prime}\in(d)\) obtenu en menant par \(M\) une parallèle à \((\Delta)\).
Pour \(M\notin(d)\), le point \(M^{\prime}\) est son projeté si et seulement si \(M^{\prime}\in(d)\) et \((MM^{\prime})\parallel(\Delta)\). Si \(M\in(d)\), son projeté est \(M\) lui-même.
Deux points distincts ont le même projeté si et seulement si la droite qui les joint est parallèle à la direction de projection.
Une projection parallèle ne conserve pas en général les longueurs ni les angles. Elle conserve cependant certaines relations vectorielles, étudiées dans la troisième partie.
2. Projection orthogonale
Construire les points \(H\) et \(K\), pieds des perpendiculaires issues de \(U\) et \(V\) à \((d)\).
Que peut-on dire des droites \((UH)\) et \((VK)\) ?
La projection orthogonale sur \((d)\) est la projection suivant une direction perpendiculaire à \((d)\). Si \(M\notin(d)\), son projeté orthogonal \(H\) vérifie :
Un point de \((d)\) est son propre projeté.
APPLICATION 1 — Même pied de perpendiculaire
Les points \(R\) et \(S\) appartiennent à une même perpendiculaire à \((d)\), passant par \(T\in(d)\). Déterminer leurs projetés orthogonaux sur \((d)\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Tous les points de la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(T\) ont pour projeté orthogonal \(T\), y compris \(T\) lui-même. Les deux projetés sont donc confondus avec \(T\).
3. Projection sur un axe
Sur l’axe \((OI)\), orienté de \(O\) vers \(I\), on construit le projeté orthogonal \(M^{\prime}\) de \(M\). Identifier son abscisse sur la figure, puis placer les points d’abscisses \(-2\) et \(3\).
Un axe est une droite orientée, munie d’un point origine \(O\) et d’un point unité \(I\) distinct de \(O\). Tout point \(P\) de cet axe a une unique abscisse \(x\in\mathbb R\) telle que :
Pour obtenir l’abscisse du projeté d’un point du plan, il faut préciser la direction de projection.
L’abscisse d’un point peut être négative ; une distance est toujours positive. Si l’abscisse de \(P\) vaut \(-2\), alors \(\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{OI}\), tandis que \(OP=2\,OI\).
II.Théorème de Thalès
1. Sens direct
Dans le triangle \(OAB\), les points \(C\in[OA]\) et \(D\in[OB]\) vérifient \((CD)\parallel(AB)\). On donne \(OA=9\), \(OC=6\), \(OB=12\) et \(AB=15\).
- Écrire les rapports de Thalès.
- Déterminer les longueurs \(OD\) et \(CD\).
Soient \(O,A,B\) non alignés, \(C\in[OA]\) et \(D\in[OB]\), avec \(C\ne D\). Si \((CD)\parallel(AB)\), alors :
APPLICATION 2 — Rapports et distances
Reprendre les données de l’activité 4. Déterminer \(OD\) et \(CD\).
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2. Réciproque de Thalès
Dans un triangle \(MNP\), on prend \(U\in[MN]\) et \(V\in[MP]\), avec \(MN=15\), \(MU=6\), \(MP=10\) et \(MV=4\). Comparer les rapports \(\frac{MU}{MN}\) et \(\frac{MV}{MP}\), puis conclure.
Soient \(M,N,P\) non alignés, \(U\in[MN]\), \(V\in[MP]\), avec \(U\ne M\), \(U\ne N\), \(V\ne M\) et \(V\ne P\). Si :
alors \((UV)\parallel(NP)\).
APPLICATION 3 — Vérifier une réciproque
Dans la configuration de l’activité 5, démontrer que \((UV)\parallel(NP)\).
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Comme \(U\in[MN]\) et \(V\in[MP]\), la réciproque de Thalès s’applique.
La seule égalité numérique des rapports ne suffit pas : préciser les droites supports, la position des points et les conditions de la réciproque.
3. Écriture vectorielle de Thalès
Dans le triangle \(ABC\), les points \(E\in[AB]\) et \(F\in[AC]\) vérifient \((EF)\parallel(BC)\) et \(\frac{AE}{AB}=\frac35\).
- Exprimer \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{AF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).
- Déduire, avec Chasles, une expression de \(\overrightarrow{EF}\).
Dans un triangle \(OAB\), soient \(C\in[OA]\) et \(D\in[OB]\), distincts des extrémités. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- \((CD)\parallel(AB)\) ;
- il existe un réel \(k\) tel que \(0\lt k\lt 1\), \(\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OB}\).
Dans ce cas, on a aussi :
Si \(k=1\), alors \(C=A\) et \(D=B\) : les deux droites sont confondues. Cette situation est exclue dans l’énoncé précédent.
APPLICATION 4 — La relation vectorielle qui suit Thalès
Dans un triangle \(ABC\), \(E\in[AB]\) et \(F\in[AC]\) avec \(\overrightarrow{AE}=\frac35\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=\frac35\overrightarrow{AC}\). Montrer \((EF)\parallel(BC)\) et exprimer \(\overrightarrow{EF}\).
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Par la réciproque de Thalès, \((EF)\parallel(BC)\). Par Chasles :
III.Conservation du coefficient de colinéarité
Les points \(A,B,C\) ont pour projetés \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}\) par une même projection parallèle. On sait que \(\overrightarrow{AC}=\frac32\overrightarrow{AB}\) et que \(A^{\prime}\ne B^{\prime}\).
- Comparer les longueurs \(A^{\prime} C^{\prime}\) et \(A^{\prime} B^{\prime}\).
- Préciser le sens des vecteurs et écrire la relation vectorielle correspondante.
Soient \(A,B,C,D\) quatre points du plan et \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime},D^{\prime}\) leurs images par une même projection parallèle sur une droite. Alors, pour tout \(k\in\mathbb R\),
En particulier, la projection d’un milieu est le milieu des projetés de ses extrémités.
La projection conserve le coefficient vectoriel, pas nécessairement les longueurs. La réciproque de l’implication ci-dessus est fausse en général.
APPLICATION 5 — Projeté du milieu
Soit \(I\) le milieu de \([PQ]\). On projette \(P,Q,I\) en \(P^{\prime},Q^{\prime},I^{\prime}\). Montrer que \(I^{\prime}\) est le milieu de \([P^{\prime} Q^{\prime}]\).
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Donc \(I^{\prime}\) est le milieu de \([P^{\prime} Q^{\prime}]\), y compris si \(P^{\prime}=Q^{\prime}\).
Application de synthèse guidée
APPLICATION 6 — Une projection et deux constructions
Soit \(RST\) un triangle. On projette le plan sur \((RS)\) suivant la direction \((RT)\) ; \(p\) désigne cette projection.
- Déterminer \(p(R)\), \(p(S)\) et \(p(T)\).
- Si \(I\) est le milieu de \([ST]\), construire son projeté \(I^{\prime}\).
- Si \(J\) vérifie \(\overrightarrow{TJ}=\frac32\overrightarrow{TS}\), exprimer \(\overrightarrow{RJ^{\prime}}\) en fonction de \(\overrightarrow{RS}\).
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Les points \(R,S\) sont sur la droite d’arrivée, et la direction de projection est \((RT)\).
Comme \(I\) est le milieu de \([ST]\), son projeté est le milieu de \([SR]\) :
Enfin, la projection conserve le coefficient de colinéarité :
Le point \(J^{\prime}\) appartient à la demi-droite \([RS)\), au-delà de \(S\).
Figures spécialement créées pour PMM ; aucune reproduction de page de manuel.
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