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Projection dans le plan — Exercices 1 à 12 corrigés — Tronc Commun Scientifique

PARCOURS MATHS MAROC — PMM
Professeur Hammou Boudraa · Lycée Oum Rabiaâ — M’Rirt · 2026–2027

Projection dans le plan — Exercices corrigés

12 exercices PMM originaux, de difficulté progressive. Chaque question possède sa propre correction : rappels ciblés du cours, justification et conclusion.

TCS · Maroc12 exercices gratuitsQuestion → RéponseMathJax2026–2027
Méthode PMM. Lisez d’abord la question, cherchez votre raisonnement, puis ouvrez uniquement sa réponse. Toutes les relations vectorielles doivent être justifiées, sans utiliser une méthode extérieure au cours.

I.Consolidation raisonnée

EXERCICE 1 — Un projeté commun

Question 1

Une projection sur \((d)\) suivant une direction \((\Delta)\) transforme \(A,B,C\) en \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}\). On suppose \(A^{\prime}\ne B^{\prime}\) et :

\[\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}.\]

Exprimer \(\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\) en fonction de \(\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\), puis situer \(C^{\prime}\) sur \((d)\).

Méthode. Appliquer la conservation du coefficient, puis utiliser sa valeur pour situer le projeté.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. La projection conserve le coefficient de colinéarité.
\[\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}=2\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}.\]

Puisque \(2>1\), les vecteurs sont de même sens et \(C^{\prime}\) se trouve sur la demi-droite \([A^{\prime} B^{\prime})\), au-delà de \(B^{\prime}\).

Question 2

On place un point \(D\ne B\) sur la parallèle à \((\Delta)\) passant par \(B\). Que vaut son projeté \(D^{\prime}\) ?

Méthode. Reconnaître deux points sur une même droite de projection.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Deux points situés sur une même droite de projection ont la même image.
\[\boxed{D^{\prime}=B^{\prime}}.\]

Question 3

L’égalité \(\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}=2\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\) permet-elle, à elle seule, de retrouver \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\) ?

Méthode. Examiner ce qui change lorsque le point est déplacé sur sa droite de projection.
Lire la correction +Masquer la correction −

Non : déplacer \(C\) sur sa droite de projection ne change pas \(C^{\prime}\), mais peut détruire l’égalité initiale. La réciproque est donc fausse en général.

EXERCICE 2 — Milieux et projection orthogonale

Question 1

Deux points distincts \(U,V\) sont situés sur une même perpendiculaire à \((d)\) en \(H\). Déterminer leurs projetés orthogonaux.

Méthode. Utiliser la définition de la projection orthogonale.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Tous les points de la perpendiculaire à (d) passant par H ont pour projeté H, y compris H lui-même.
\[\boxed{U^{\prime}=V^{\prime}=H}.\]

Question 2

Soit \(K\) le milieu de \([UV]\). Déterminer son projeté orthogonal.

Méthode. Situer le milieu sur la droite de projection des deux extrémités.
Lire la correction +Masquer la correction −

Le segment \([UV]\) appartient à la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(H\). Son milieu \(K\) appartient donc à cette droite. Son projeté est \(H\).

\[\boxed{K^{\prime}=H}.\]

Question 3

On choisit un point \(W\) dont le projeté orthogonal \(T\) est distinct de \(H\). Si \(J\) est le milieu de \([UW]\), déterminer son projeté \(J^{\prime}\).

Méthode. Appliquer la conservation du milieu.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Une projection conserve les milieux.

L’image du milieu de \([UW]\) est le milieu de \([U^{\prime} W^{\prime}]=[HT]\).

Donc \(J^{\prime}\) est le milieu du segment \([HT]\).

EXERCICE 3 — Abscisses et projection

Question 1

Un axe \((OI)\) est orienté de \(O\) vers \(I\). Les projetés \(U^{\prime}\) et \(V^{\prime}\) ont pour abscisses respectives \(-3\) et \(5\). Exprimer \(\overrightarrow{U^{\prime} V^{\prime}}\) en fonction de \(\overrightarrow{OI}\).

Méthode. Appliquer Chasles en faisant intervenir l’origine O.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. L’abscisse \(x\) de \(P\) est définie par \(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OI}\).
\[\begin{aligned}\overrightarrow{U^{\prime} V^{\prime}}&=\overrightarrow{U^{\prime} O}+\overrightarrow{OV^{\prime}}\\&=3\overrightarrow{OI}+5\overrightarrow{OI}=8\overrightarrow{OI}.\end{aligned}\]
\[\boxed{\overrightarrow{U^{\prime} V^{\prime}}=8\overrightarrow{OI}}.\]

Question 2

On construit \(Q^{\prime}\) sur l’axe tel que \(\overrightarrow{U^{\prime} Q^{\prime}}=\frac34\overrightarrow{U^{\prime} V^{\prime}}\). Quelle est son abscisse ?

Méthode. Calculer le vecteur depuis O à partir de la relation donnée.
Lire la correction +Masquer la correction −
\[\overrightarrow{OQ^{\prime}}=\overrightarrow{OU^{\prime}}+\overrightarrow{U^{\prime} Q^{\prime}}=-3\overrightarrow{OI}+\frac34\cdot8\overrightarrow{OI}=3\overrightarrow{OI}.\]

L’abscisse de \(Q^{\prime}\) est \(\boxed{3}\).

EXERCICE 4 — Thalès et vecteurs

Question 1

Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB=12\), \(AC=15\) et \(BC=18\) (mêmes unités). Le point \(E\in[AB]\) vérifie \(AE=8\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(E\) coupe \([AC]\) en \(F\). Calculer \(AF\) et \(EF\).

ABCEF
Configuration géométrique originale pour le théorème de Thalès.
Méthode. Justifier Thalès par le parallélisme, puis calculer le rapport commun.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. On a \((EF)\parallel(BC)\) : le théorème direct de Thalès s’applique.
\[\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac8{12}=\frac23.\]
\[AF=\frac23\times15=10,\qquad EF=\frac23\times18=12.\]
\[\boxed{AF=10\qquad EF=12}.\]

Question 2

Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\), en justifiant le signe du coefficient.

Méthode. Traduire le rapport en relation vectorielle et contrôler le sens.
Lire la correction +Masquer la correction −

Les points \(E\in[AB]\), \(F\in[AC]\), et les côtés correspondants \(EF\) et \(BC\) ont la même direction et le même sens dans cette configuration.

\[\boxed{\overrightarrow{EF}=\frac23\overrightarrow{BC}}.\]

II.Approfondissement

EXERCICE 5 — Réciproque : comparaison

Question 1

Dans un triangle \(MNP\), les points \(U\in[MN]\) et \(V\in[MP]\) vérifient \(MN=15\), \(MU=9\), \(MP=20\) et \(MV=12\). Démontrer que \((UV)\parallel(NP)\).

Méthode. Vérifier les positions des points et comparer les deux rapports.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Vérifier les positions des points et l’égalité des rapports avant de conclure.
\[\frac{MU}{MN}=\frac9{15}=\frac35,\qquad\frac{MV}{MP}=\frac{12}{20}=\frac35.\]

Par la réciproque de Thalès, \(\boxed{(UV)\parallel(NP)}\).

Question 2

On choisit \(W\in[MP]\) tel que \(MW=11\). La droite \((UW)\) est-elle parallèle à \((NP)\) ?

Méthode. Raisonner par contradiction à l’aide du théorème direct de Thalès.
Lire la correction +Masquer la correction −
\[\frac{MU}{MN}=\frac35\neq\frac{11}{20}=\frac{MW}{MP}.\]

Si \((UW)\) était parallèle à \((NP)\), Thalès imposerait l’égalité des rapports : contradiction.

Donc \(\boxed{(UW)\not\parallel(NP)}\).

EXERCICE 6 — Deux milieux projetés

Question 1

Soit \(ABC\) un triangle. On projette sur \((AB)\) suivant la direction \((AC)\). Déterminer les projetés de \(A\), \(B\) et \(C\).

Méthode. Identifier les points fixes et la droite de projection de C.
Lire la correction +Masquer la correction −

Les points \(A\) et \(B\) appartiennent à \((AB)\), donc ils sont fixes. La parallèle à \((AC)\) passant par \(C\) est \((AC)\), qui coupe \((AB)\) en \(A\).

\[p(A)=A,\quad p(B)=B,\quad p(C)=A.\]

Question 2

Si \(H\) est le milieu de \([BC]\), situer son projeté \(H^{\prime}\).

Méthode. Projeter les extrémités du segment, puis utiliser le milieu.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Le projeté du milieu est le milieu du segment formé par les deux projetés.

Le projeté de \(H\) est donc le milieu de \([BA]\).

\[\boxed{\overrightarrow{AH^{\prime}}=\frac12\overrightarrow{AB}}.\]

Question 3

Si \(J\) est le milieu de \([BH]\), exprimer \(\overrightarrow{AJ^{\prime}}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).

Méthode. Projeter le milieu de [BH], puis appliquer Chasles depuis A.
Lire la correction +Masquer la correction −

Le projeté \(J^{\prime}\) est le milieu de \([BH^{\prime}]\). Comme \(\overrightarrow{AH^{\prime}}=\frac12\overrightarrow{AB}\), on a \(\overrightarrow{BH^{\prime}}=-\frac12\overrightarrow{AB}\).

\[\begin{aligned}\overrightarrow{AJ^{\prime}}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ^{\prime}}\\&=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BH^{\prime}}=\frac34\overrightarrow{AB}.\end{aligned}\]
\[\boxed{\overrightarrow{AJ^{\prime}}=\frac34\overrightarrow{AB}}.\]

EXERCICE 7 — Deux parallèles successives

Question 1

Dans un triangle \(ABC\), le point \(E\in[AB]\) vérifie \(\overrightarrow{AE}=\frac34\overrightarrow{AB}\). La parallèle à \((BC)\) issue de \(E\) coupe \([AC]\) en \(F\). Exprimer \(\overrightarrow{AF}\).

Méthode. Appliquer le théorème direct de Thalès.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. La réciproque et le sens direct de Thalès relient les points des deux côtés du triangle.
\[\boxed{\overrightarrow{AF}=\frac34\overrightarrow{AC}}.\]

Question 2

Soit \(G\) le milieu de \([EF]\). La parallèle à \((AB)\) passant par \(G\) coupe \([AF]\) en \(H\). Montrer que \(H\) est le milieu de \([AF]\).

Méthode. Appliquer le théorème des milieux dans le triangle FEA.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Dans le triangle \(FEA\), une droite passant par le milieu de \([FE]\) et parallèle à \((EA)\) coupe \([FA]\) en son milieu.

Puisque \(G\) est le milieu de \([FE]\) et \((GH)\parallel(EA)\), le théorème des milieux donne que \(H\) est le milieu de \([FA]\).

Question 3

En déduire \(\overrightarrow{AH}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{HG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).

Méthode. Utiliser les deux milieux et remplacer le vecteur de A vers E.
Lire la correction +Masquer la correction −
\[\overrightarrow{AH}=\frac12\overrightarrow{AF}=\frac38\overrightarrow{AC}.\]

Dans le triangle \(FEA\), \(H\) et \(G\) sont les milieux de \([FA]\) et \([FE]\). Ainsi \(\overrightarrow{HG}=\frac12\overrightarrow{AE}=\frac38\overrightarrow{AB}\).

\[\boxed{\overrightarrow{AH}=\frac38\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{HG}=\frac38\overrightarrow{AB}}.\]

EXERCICE 8 — Rapports intérieurs et extérieurs

Question 1

Soit \(PQR\) un triangle. Les points \(X\in[PQ]\) et \(Y\in[PR]\) sont définis par \(\overrightarrow{PX}=\frac25\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{PY}=\frac25\overrightarrow{PR}\). Montrer que \((XY)\parallel(QR)\).

Méthode. Utiliser la réciproque de Thalès avec le même coefficient intérieur.
Lire la correction +Masquer la correction −

Les deux coefficients sont identiques et appartiennent à l’intervalle numérique \(]0;1[\). Par la réciproque de Thalès :

\[\boxed{(XY)\parallel(QR)}.\]

Question 2

Les points \(Z\) et \(W\) vérifient \(\overrightarrow{PZ}=\frac75\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{PW}=\frac75\overrightarrow{PR}\). Exprimer \(\overrightarrow{ZW}\) en fonction de \(\overrightarrow{QR}\), puis conclure sur les droites.

Méthode. Appliquer Chasles en faisant intervenir P.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. La relation de Chasles reste valable pour des points au-delà des côtés du triangle.
\[\begin{aligned}\overrightarrow{ZW}&=\overrightarrow{ZP}+\overrightarrow{PW}\\&=-\frac75\overrightarrow{PQ}+\frac75\overrightarrow{PR}\\&=\frac75\overrightarrow{QR}.\end{aligned}\]

Les vecteurs sont colinéaires non nuls, donc \((ZW)\parallel(QR)\).

Question 3

Exprimer \(\overrightarrow{ZW}\) en fonction de \(\overrightarrow{XY}\).

Méthode. Exprimer les deux vecteurs avec le même vecteur directeur.
Lire la correction +Masquer la correction −
\[\overrightarrow{XY}=\frac25\overrightarrow{QR},\quad \overrightarrow{ZW}=\frac75\overrightarrow{QR}=\frac72\overrightarrow{XY}.\]
\[\boxed{\overrightarrow{ZW}=\frac72\overrightarrow{XY}}.\]

III.Synthèse et raisonnement

EXERCICE 9 — Le sens d’une projection

Question 1

Une projection parallèle envoie \(A,B,C\) sur \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}\), avec \(A^{\prime}\ne B^{\prime}\). On suppose :

\[\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}.\]

Déterminer \(\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\) en fonction de \(\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\).

Méthode. Projeter la relation, puis isoler le vecteur demandé.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Le coefficient négatif indique un sens opposé : inutile d’introduire une valeur absolue.
\[\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=-2\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}=-\frac12\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}}.\]

Question 2

Quel est l’ordre des points \(C^{\prime},A^{\prime},B^{\prime}\) ? Comparer \(A^{\prime} C^{\prime}\) et \(A^{\prime} B^{\prime}\).

Méthode. Utiliser le signe du coefficient pour le sens et sa valeur absolue pour les longueurs.
Lire la correction +Masquer la correction −

Les vecteurs \(\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\) et \(\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\) sont de sens opposés : \(A^{\prime}\) est entre \(C^{\prime}\) et \(B^{\prime}\). Le coefficient \(-\frac12\) donne \(A^{\prime} C^{\prime}=\frac12 A^{\prime} B^{\prime}\).

Question 3

La relation projetée suffit-elle à démontrer l’égalité \(\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}\) dans la figure initiale ?

Méthode. Examiner les déplacements possibles le long des droites de projection.
Lire la correction +Masquer la correction −

Non. Déplacer l’un des points le long de sa droite de projection ne change pas son projeté, mais modifie en général ses vecteurs vers les autres points. La réciproque est fausse.

EXERCICE 10 — Un milieu après Thalès

Question 1

Dans un triangle \(ABC\), on place \(E\in[AB]\) tel que \(AE=\frac23 AB\), puis la parallèle à \((BC)\) passant par \(E\) coupe \([AC]\) en \(F\). Si \(AC=18\), déterminer \(AF\).

Méthode. Appliquer Thalès en utilisant le rapport donné sur [AB].
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Thalès est applicable parce que \((EF)\parallel(BC)\).
\[\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac23\quad\Longrightarrow\quad\boxed{AF=12}.\]

Question 2

On projette sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Le point \(I\) est le milieu de \([BE]\), et son projeté est \(I^{\prime}\). Montrer que \(I^{\prime}\) est le milieu de \([CF]\).

Méthode. Identifier les images de B et E, puis projeter leur milieu.
Lire la correction +Masquer la correction −

Les projetés de \(B\) et \(E\) sont respectivement \(C\) et \(F\), car \((BC)\) et \((EF)\) sont des droites de projection. La projection conserve le milieu : \(I^{\prime}\) est celui de \([CF]\).

Question 3

Calculer \(AI^{\prime}\) et \(FI^{\prime}\).

Méthode. Calculer FC et utiliser le milieu de [FC].
Lire la correction +Masquer la correction −

On a \(AC=18\), \(AF=12\), donc \(FC=6\). Puisque \(I^{\prime}\) est le milieu de \([FC]\), on a \(FI^{\prime}=3\) et \(AI^{\prime}=AF+FI^{\prime}=15\).

\[\boxed{AI^{\prime}=15\qquad FI^{\prime}=3}.\]

EXERCICE 11 — Deux points sur un côté

Question 1

Dans un triangle \(RST\), on projette sur \((RS)\) parallèlement à \((RT)\). Les points \(J,K\in[ST]\) vérifient :

\[\overrightarrow{SJ}=\frac14\overrightarrow{ST},\qquad \overrightarrow{SK}=\frac34\overrightarrow{ST}.\]

Exprimer \(\overrightarrow{SJ^{\prime}}\) et \(\overrightarrow{SK^{\prime}}\) en fonction de \(\overrightarrow{SR}\).

Méthode. Identifier les images de S et T, puis conserver chaque coefficient.
Lire la correction +Masquer la correction −

Par la projection choisie, \(p(S)=S\) et \(p(T)=R\). Le coefficient de colinéarité est conservé :

\[\boxed{\overrightarrow{SJ^{\prime}}=\frac14\overrightarrow{SR},\quad \overrightarrow{SK^{\prime}}=\frac34\overrightarrow{SR}}.\]

Question 2

En déduire \(\overrightarrow{J^{\prime} K^{\prime}}\) et comparer \(J^{\prime} K^{\prime}\) à \(RS\).

Méthode. Appliquer Chasles en faisant intervenir S.
Lire la correction +Masquer la correction −
\[\begin{aligned}\overrightarrow{J^{\prime} K^{\prime}}&=\overrightarrow{J^{\prime} S}+\overrightarrow{SK^{\prime}}\\&=-\frac14\overrightarrow{SR}+\frac34\overrightarrow{SR}\\&=\frac12\overrightarrow{SR}.\end{aligned}\]
\[\boxed{J^{\prime} K^{\prime}=\frac12 RS}.\]

Question 3

Soit \(L\) le milieu de \([JK]\). Montrer que son projeté \(L^{\prime}\) est le milieu de \([SR]\).

Méthode. Projeter le milieu, puis calculer son vecteur depuis S.
Lire la correction +Masquer la correction −

Le point \(L^{\prime}\) est le milieu de \([J^{\prime} K^{\prime}]\). En calculant :

\[\overrightarrow{SL^{\prime}}=\frac12\left(\overrightarrow{SJ^{\prime}}+\overrightarrow{SK^{\prime}}\right)=\frac12\overrightarrow{SR}.\]

Donc \(L^{\prime}\) est le milieu de \([SR]\).

EXERCICE 12 — Une synthèse vectorielle

Question 1

Dans un triangle \(ABC\), les points \(E\in[AB]\) et \(F\in[AC]\) vérifient :

\[\overrightarrow{AE}=\frac25\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AF}=\frac25\overrightarrow{AC}.\]

Justifier le parallélisme de \((EF)\) et \((BC)\), puis exprimer \(\overrightarrow{EF}\).

Méthode. Justifier Thalès, puis appliquer Chasles.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. La réciproque de Thalès s’applique aux deux côtés issus de \(A\).

Les deux coefficients coïncident : \((EF)\parallel(BC)\). Par Chasles :

\[\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=\frac25(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac25\overrightarrow{BC}.\]

Question 2

On projette le plan sur \((AB)\) suivant la direction \((AC)\). Si \(I\) est le milieu de \([BF]\), déterminer son projeté \(I^{\prime}\).

Méthode. Identifier les images de B et F, puis projeter leur milieu.
Lire la correction +Masquer la correction −

Les projetés de \(B\) et \(F\) sont \(B\) et \(A\), puisque \(F\in(AC)\). Le projeté de \(I\) est donc le milieu de \([BA]\).

\[\boxed{\overrightarrow{BI^{\prime}}=\frac12\overrightarrow{BA}}.\]

Question 3

On définit \(G\) par \(\overrightarrow{BG}=\frac32\overrightarrow{BI}\). Exprimer \(\overrightarrow{AG^{\prime}}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), puis situer \(G^{\prime}\).

Méthode. Projeter la relation de définition de G et appliquer Chasles depuis A.
Lire la correction +Masquer la correction −
Rappel du cours. Le coefficient \(\frac32\) est conservé par la projection.
\[\overrightarrow{BG^{\prime}}=\frac32\overrightarrow{BI^{\prime}}=\frac34\overrightarrow{BA}.\]
\[\overrightarrow{AG^{\prime}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG^{\prime}}=\frac14\overrightarrow{AB}.\]

Donc \(G^{\prime}\in[AB]\), avec \(\boxed{AG^{\prime}=\frac14 AB}\).

PARCOURS MATHS MAROC — PMM. 12 exercices originaux et gratuits. Les réponses se déplient question par question.
Toutes les constructions et formulations de ce dossier sont rédigées pour PMM, sans scan de manuel.
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