Suites numériques : exercices MPM 1 à 4

Exercices MPM 1 à 4 — Suites numériques

2e Bac Sciences Mathématiques — Perfectionnement

Cette série de quatre exercices propose un approfondissement du chapitre des suites numériques en deuxième année du baccalauréat Sciences Mathématiques. Les problèmes portent sur des suites définies par récurrence, deux suites adjacentes, le contrôle de la vitesse de convergence et l'étude d'une famille de suites dépendant d'un paramètre.

Chaque exercice est construit autour d'un objet mathématique précis. Les premières questions permettent d'établir les propriétés nécessaires à l'étude des termes suivants. Les questions de perfectionnement demandent ensuite de combiner plusieurs résultats : monotonie, convergence, transformations algébriques, suites auxiliaires, comparaisons et passages à la limite. L'enjeu n'est donc pas seulement de réaliser des calculs, mais de comprendre pourquoi une propriété du cours peut être appliquée.

Les repères de cours sont placés avant chaque énoncé afin de rappeler les résultats utiles. Les indications de méthode qui suivent les questions expliquent comment organiser la recherche, sans fournir les démonstrations complètes ni les résultats à déterminer. Cette présentation permet de travailler les exercices de manière autonome tout en reliant chaque difficulté aux notions étudiées en classe.

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Exercice MPM 1

Repères de cours — Récurrence, monotonie, convergence et suites géométriques

Une suite définie par une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) dépend de son premier terme et de la fonction utilisée pour passer d'un rang au suivant. Avant d'étudier sa convergence, il est souvent nécessaire de rechercher un intervalle stable : lorsque \(u_n\) appartient à cet intervalle, la relation de récurrence doit permettre d'établir que \(u_{n+1}\) y appartient aussi. Le principe de récurrence permet alors de garantir cette propriété à tous les rangs.

Pour étudier la monotonie, on peut comparer deux termes consécutifs en examinant le signe de \(u_{n+1}-u_n\). Une fois la monotonie connue, le théorème de convergence des suites monotones peut être appliqué si la borne nécessaire a été établie. Lorsque la suite converge et que la fonction \(f\) est continue au voisinage de sa limite, cette limite vérifie la relation obtenue en passant à la limite dans la récurrence. Il faut cependant avoir démontré la convergence avant d'utiliser ce raisonnement.

Une majoration de l'écart à la limite par une suite géométrique permet d'obtenir une information quantitative sur la convergence. Pour certaines récurrences homographiques, une transformation appropriée des termes fait apparaître une suite géométrique auxiliaire. La formule du terme général et celle de la somme géométrique peuvent ensuite être mobilisées.

On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par

\[ u_0=3 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}= \frac{8u_n-10}{u_n+1} \quad(n\in\mathbb N). \]

1. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),

\[ 2\lt u_n\lt5. \]

2. a) Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),

\[ u_{n+1}-u_n = \frac{(5-u_n)(u_n-2)}{u_n+1}. \]

b) En déduire que \((u_n)\) est croissante, puis montrer qu'elle est convergente et déterminer sa limite.

3. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),

\[ 0\lt5-u_n \le 2\left(\frac34\right)^n. \]

Quelle information cet encadrement donne-t-il sur la vitesse avec laquelle \(u_n\) se rapproche de sa limite ?

4. On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\),

\[ w_n=\frac{5-u_n}{u_n-2}. \]

a) Montrer que \((w_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac12\).

b) Exprimer \(w_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).

c) Calculer

\[ S_n=w_0+w_1+\cdots+w_n \]

et déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\).

Comment organiser la recherche ?

La première question demande de montrer que tous les termes restent entre deux bornes strictes. Au moment de l'hérédité, il faut contrôler le signe du dénominateur de la relation de récurrence et établir séparément les deux inégalités recherchées. Les comparaisons avec les bornes de l'intervalle peuvent être plus faciles à étudier sous forme de différences.

Dans la deuxième question, l'identité demandée est conçue pour faire intervenir l'encadrement précédent. La factorisation permet d'étudier le signe de la différence entre deux termes consécutifs. Pour la limite, il faut distinguer soigneusement la preuve de convergence de la recherche des valeurs qui peuvent satisfaire l'équation de point fixe. Parmi ces valeurs, seules celles compatibles avec les propriétés déjà démontrées peuvent être retenues.

La troisième question introduit une estimation de l'erreur. Il faut comprendre pourquoi le facteur qui apparaît dans la relation entre deux écarts successifs peut être majoré par une constante strictement comprise entre \(0\) et \(1\). Une majoration géométrique ne donne pas nécessairement la vitesse exacte de convergence : cette distinction fait partie de l'interprétation.

Enfin, la définition de \(w_n\) fait intervenir les deux bornes étudiées au début de l'exercice. Avant de calculer \(w_{n+1}\), on doit vérifier que le quotient est bien défini. Une fois la nature géométrique établie, il convient d'utiliser successivement la formule du terme général, une transformation algébrique pour retrouver \(u_n\), puis la formule de la somme d'une suite géométrique.

Exercice MPM 2

Repères de cours — Suites adjacentes, invariants et encadrement de l'erreur

Deux suites peuvent être définies simultanément lorsque les termes de rang \(n+1\) dépendent des deux termes de rang \(n\). Dans ce cas, leur étude doit tenir compte des relations qui les unissent. Il peut être nécessaire de démontrer d'abord leur positivité et leur ordre pour garantir la bonne définition des expressions et justifier les comparaisons suivantes.

Le théorème des suites adjacentes affirme que deux suites, l'une croissante et l'autre décroissante, convergent vers une même limite lorsque leur différence tend vers zéro, dans l'ordre approprié. La vérification de ces conditions doit être explicite. Un encadrement géométrique positif de leur différence constitue notamment un moyen de montrer que cet écart tend vers zéro.

Une quantité indépendante du rang est appelée un invariant. Pour montrer qu'une expression construite à partir des termes de deux suites est constante, on peut comparer sa valeur au rang \(n+1\) à celle du rang \(n\). Cet invariant peut ensuite fournir une équation vérifiée par une éventuelle limite commune.

Enfin, connaître la limite d'une suite ne précise pas automatiquement l'erreur commise à un rang donné. Des majorations successives de la différence entre deux suites permettent d'obtenir des estimations plus fines et, parfois, de justifier une précision numérique sans calculatrice.

On considère les deux suites numériques \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par

\[ u_0=1,\qquad v_0=4, \qquad \begin{cases} u_{n+1}=\dfrac{2u_nv_n}{u_n+v_n},\\[6pt] v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}, \end{cases} \quad(n\in\mathbb N). \]

1. a) Montrer par récurrence que \(0\lt u_n\lt v_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

b) Démontrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),

\[ u_n\lt u_{n+1}\lt v_{n+1}\lt v_n. \]

2. a) Montrer que la quantité \(u_nv_n\) est indépendante de \(n\) et déterminer sa valeur.

b) On pose \(d_n=v_n-u_n\). Établir

\[ d_{n+1} = \frac{d_n^2}{2(u_n+v_n)} \le\frac12d_n. \]

c) En déduire que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes, puis déterminer leur limite commune.

3. a) Démontrer que \(u_n+v_n\ge4\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

b) En déduire l'inégalité plus précise

\[ d_{n+1}\le\frac{d_n^2}{8}. \]

4. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),

\[ 0\lt d_n \le 8\left(\frac38\right)^{2^n}. \]

En déduire un encadrement de \(u_n\) et de \(v_n\) faisant intervenir leur limite et cette borne.

5. Précision. Vérifier que \(\left(\dfrac38\right)^4\lt\dfrac1{50}\), puis justifier, sans calculatrice, que

\[ 2-10^{-8}\lt u_5\lt2\lt v_5\lt2+10^{-8}. \]

De deux suites liées à une précision numérique

La première question doit être traitée dans l'ordre proposé. La positivité des deux suites permet de justifier les opérations sur les dénominateurs. La comparaison des termes au même rang peut ensuite être reliée à une expression algébrique dont le signe est connu. Pour les variations, on compare chaque terme au terme suivant de la même suite, sans confondre cette comparaison avec l'inégalité entre les deux suites.

Dans la deuxième question, l'objectif est d'identifier une propriété commune aux deux relations de récurrence. Le produit proposé doit être étudié en utilisant les expressions des deux termes au rang suivant. La différence \(d_n\) mesure ensuite la distance entre les suites. Pour pouvoir appliquer le théorème des suites adjacentes, il faudra démontrer que cette différence tend vers zéro, et pas seulement qu'elle est positive.

Les questions 3 et 4 introduisent une estimation plus fine de cette différence. Une information sur le produit de deux nombres positifs peut aider à majorer ou à minorer leur somme. Lorsque l'écart au rang suivant dépend du carré de l'écart au rang précédent, une majoration dont l'exposant double à chaque étape peut devenir particulièrement adaptée. L'étape d'hérédité doit expliquer précisément ce changement d'exposant.

La dernière question ne demande pas d'utiliser une valeur décimale approchée. Il faut transformer les puissances pour exploiter l'inégalité numérique donnée, puis comparer exactement les fractions obtenues. La conclusion doit résulter de l'encadrement démontré précédemment et de la position de la limite commune entre les deux suites.

Exercice MPM 3

Repères de cours — Sommes télescopiques, convergence et théorème des gendarmes

Lorsqu'une suite est définie par une relation contenant une racine carrée, il peut être utile d'examiner les carrés de ses termes. Cette démarche exige de contrôler les signes, car une comparaison portant sur des carrés ne se traduit en une comparaison des termes que sous des hypothèses appropriées. La relation obtenue peut ensuite permettre de reconstruire les termes par addition de différences successives.

Une somme est dite télescopique lorsque les termes intermédiaires se compensent après développement. Cette technique est particulièrement utile pour établir des majorations et des minorations de sommes dépendant de \(n\). Lorsqu'une suite est croissante, une telle majoration peut conduire, par le théorème de convergence monotone, à l'existence d'une limite.

Le théorème des gendarmes permet d'obtenir la limite d'une expression encadrée par deux expressions ayant la même limite. Il s'applique également aux expressions faisant intervenir l'erreur entre un terme et la limite d'une suite convergente. Les différences de carrés constituent souvent un moyen de relier un encadrement déjà connu à une nouvelle expression dont on recherche la limite.

On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par

\[ u_0=1,\qquad u_{n+1} = \sqrt{u_n^2+\frac1{(n+1)^2}} \quad(n\in\mathbb N). \]

1. Premières propriétés.

a) Montrer que \((u_n)\) est positive et strictement croissante.

b) Établir pour tout \(n\ge1\), que

\[ u_n^2 = 1+\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}. \]

2. Convergence. En utilisant \(\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k(k-1)}\) pour \(k\ge2\), montrer que \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\), et que

\[ \frac32\lt\ell\lt\frac53. \]

3. Encadrement de l'erreur. Pour \(m\gt n\ge1\), établir

\[ \frac1{n+1}-\frac1{m+1} \le u_m^2-u_n^2 \le \frac1n-\frac1m. \]

En déduire, pour tout \(n\ge1\), un encadrement de \(\ell^2-u_n^2\).

4. Vitesse de convergence. Déterminer, en justifiant chaque passage à la limite,

\[ \lim_{n\to+\infty}n(\ell-u_n). \]

5. Perfectionnement. Déterminer successivement

\[ \lim_{n\to+\infty} n^2(u_{n+1}-u_n) \]

et

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{\ell-u_n} {n(u_{n+1}-u_n)}. \]

Des propriétés élémentaires aux limites précises

Dans la première question, il faut distinguer la positivité, qui découle de la construction des termes, et la croissance stricte, qui demande une véritable comparaison. La formule portant sur les carrés peut être établie par récurrence ou en additionnant des relations entre deux rangs successifs. Les indices de la somme doivent être suivis attentivement.

Pour la convergence, l'inégalité fournie dans l'énoncé n'est pas à utiliser isolément : son intérêt apparaît lorsque l'on additionne plusieurs termes. La forme des fractions comparées permet de rechercher une compensation dans la somme. L'encadrement demandé pour \(\ell\) exige ensuite des estimations suffisamment précises. Une borne très générale peut établir la convergence sans être assez fine pour répondre complètement à la question.

La troisième question introduit deux entiers \(m\) et \(n\). Il est important de conserver leurs rôles : l'un fixe le rang à partir duquel on mesure l'erreur, tandis que l'autre permet de comparer ce terme à un terme plus éloigné. Le passage à la limite doit être effectué après avoir établi les inégalités demandées pour tous les indices admissibles.

Les deux dernières questions portent sur des expressions qui tendraient directement vers zéro si l'on considérait seulement leurs facteurs. Il faut donc transformer ces expressions avant de passer à la limite. Le comportement d'une différence de carrés, celui d'une différence de termes consécutifs et les limites déjà démontrées sont à rapprocher avec rigueur. Aucun développement limité n'est nécessaire.

Exercice MPM 4

Repères de cours — Récurrence non linéaire, encadrements et monotonie sans dérivée

Une famille de suites peut dépendre d'un paramètre initial tout en obéissant à la même relation de récurrence. Les propriétés demandées doivent alors être démontrées pour toute valeur admissible de ce paramètre. La positivité des termes joue souvent un rôle essentiel : elle permet de contrôler les dénominateurs, d'étudier la monotonie et de prendre les inverses lorsque cela est nécessaire.

Le raisonnement par récurrence s'applique également aux encadrements dépendant de \(n\). Pour établir une borne au rang suivant, on doit partir de l'hypothèse au rang courant et vérifier les signes des expressions obtenues. Lorsqu'une indication fournit une factorisation, elle sert généralement à transformer l'inégalité recherchée en une comparaison dont le signe peut être déterminé.

Une relation entre les inverses de deux termes consécutifs peut simplifier l'étude d'une suite récurrente. En additionnant de telles relations, on obtient parfois une somme télescopique permettant de construire un encadrement. Le théorème des gendarmes peut ensuite être utilisé pour étudier une suite transformée, par exemple une expression faisant intervenir le produit du rang et du terme.

Enfin, la stricte monotonie d'une fonction n'exige pas toujours le calcul d'une dérivée. Sur un intervalle donné, elle peut être établie directement en comparant les images de deux réels ordonnés. Une fonction strictement monotone sur un intervalle est injective : deux éléments de cet intervalle ayant la même image sont nécessairement égaux.

Soit \(a\gt0\). On considère la suite \((u_n)\) définie par

\[ u_0=a,\qquad u_{n+1} = \frac{u_n}{1+(n+1)u_n^2} \quad(n\in\mathbb N). \]

On note \(u_n(a)\) son terme de rang \(n\) pour la valeur initiale \(a\).

1. Premières propriétés. Montrer que \((u_n)\) est strictement positive et strictement décroissante. Vérifier que \(0\lt u_1\le\dfrac12\) et préciser le cas d'égalité.

2. Encadrement par récurrence. Montrer que, pour tout \(n\ge1\),

\[ 0\lt u_n\le\frac1{n+1}. \]

Indication : pour \(0\lt t\le\dfrac1{n+1}\), étudier le signe de \((1-t)(1-(n+1)t)\).

3. Convergence et limite précise. Établir l'identité

\[ \frac1{u_{n+1}}-\frac1{u_n} = (n+1)u_n. \]

En déduire que, pour tout \(n\ge1\),

\[ \frac1{n-1+a+\frac1a} \le u_n\le\frac1{n+1}, \]

puis déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nu_n\).

4. Deux limites de perfectionnement. Déterminer, en justifiant,

\[ \lim_{n\to+\infty} n^2(u_n-u_{n+1}) \]

et

\[ \lim_{n\to+\infty} n\left( \frac{u_n}{u_{n+1}}-1 \right). \]

5. Un phénomène de symétrie.

a) Montrer que, pour tout \(n\ge1\), \(u_n(a)=u_n\left(\dfrac1a\right)\).

b) Soient \(a,b\gt0\). Si, pour un certain \(N\ge1\), \(u_N(a)=u_N(b)\), montrer que

\[ a=b\quad\text{ou}\quad ab=1. \]

Indication : étudier, sans dérivée, la monotonie de

\[ t\longmapsto \frac{t}{1+(n+1)t^2} \]

sur \(\left[0;\dfrac1{n+1}\right]\).

Comment relier les encadrements à la symétrie ?

La première question commence par une propriété de signe. Pour la décroissance, il faut comparer deux termes consécutifs à partir de leur relation de récurrence, sans oublier que le paramètre initial est strictement positif. Dans la recherche d'un cas d'égalité, une comparaison algébrique peut être plus adaptée qu'une étude de variations.

La deuxième question utilise un encadrement qui dépend du rang. L'initialisation est importante : la propriété demandée ne commence pas au rang \(0\). Pour l'hérédité, on doit transformer l'inégalité portant sur \(u_{n+1}\) en une expression dont le signe peut être justifié grâce à l'hypothèse de récurrence.

Dans la troisième question, il est utile de remarquer que tous les termes sont strictement positifs avant de travailler avec leurs inverses. La somme des relations entre rangs successifs doit être organisée de façon à faire disparaître les termes intermédiaires. La majoration déjà établie à la question précédente peut ensuite être réutilisée.

Les deux limites de la question 4 demandent de transformer les différences et les quotients à l'aide de la relation de récurrence. Une fois les expressions réorganisées, il faut reconnaître les limites qui découlent des questions précédentes et vérifier que les dénominateurs ne s'annulent pas.

La dernière question nécessite de distinguer les valeurs initiales des valeurs obtenues après plusieurs itérations. La symétrie doit d'abord être vérifiée au rang indiqué, puis transmise par la récurrence. Dans la question réciproque, l'indication de monotonie doit être étudiée sur l'intervalle précisé, et non sur l'ensemble des réels positifs. Une comparaison de deux images peut alors fournir l'injectivité nécessaire pour remonter d'un rang au précédent.

Ce qu'il faut retenir de cette série

Ces quatre exercices montrent qu'une suite définie par récurrence ne s'étudie pas toujours à l'aide d'une formule explicite connue dès le départ. Il est souvent nécessaire d'établir d'abord la bonne définition, un encadrement, une propriété de monotonie ou une relation particulière entre plusieurs termes. Ces premières propriétés fournissent ensuite les hypothèses indispensables à l'utilisation des théorèmes de convergence.

Plusieurs techniques se retrouvent dans cette série : comparer deux termes consécutifs, rechercher une quantité invariante, introduire une suite auxiliaire, additionner des relations télescopiques et exploiter une différence de carrés. Leur intérêt dépend de la structure exacte de l'exercice. Avant d'entreprendre un calcul, il faut donc identifier la conclusion recherchée et comprendre quelle propriété du cours permet de s'en rapprocher.

Enfin, les encadrements de l'erreur et les limites faisant intervenir des puissances du rang conduisent à une étude plus précise de la convergence. Pour rédiger une démonstration rigoureuse, il convient de justifier les signes, les conditions de chaque théorème et les passages à la limite, puis de réutiliser clairement les résultats démontrés dans les questions précédentes.

Parcours Maths Maroc — PMM
Professeur Hammou Boudraa